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第四节渐开线与摆线(选讲)要点1渐开线及其参数方程(1)把线绕在圆周上，假设线的精细可以忽略，拉着线头，保持线与圆相切，的轨迹就叫做圆的渐开线，相应的叫做渐开线的．(2)设基圆的半径为r，圆的渐开线的参数方程是．离开圆周线头定圆基圆要点2摆线及其参数方程(1)当一个圆沿着一条定直线滚动时，圆周上的的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫做．(2)设圆的半径为r，圆滚动的角为φ，那么摆线的参数方程是．无滑动地一个定点运动旋轮线注：本课的内容只需掌握课本内容另补充以下练习题1．圆的渐开线方程为x＝2（cosφ＋φsinφ），y＝2（sinφ－φcosφ）(φ为参数)，当φ＝π时，渐开线上对应的点的坐标为()A．(－2，2π)B．(－2，π)C．(4，2π)D．(－4，2π)答案A解析把φ＝π代入渐开线方程，得x＝2(cosπ＋πsinπ)＝－2，y＝2(sinπ－πcosπ)＝2π.故对应点的坐标为(－2，2π)．2．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是()A．πB．2πC．12πD．14π答案C解析根据条件可知圆的摆线的参数方程为x＝3φ－3sinφ，y＝3－3cosφ(φ为参数)，把y＝0代入，得cosφ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．而x＝3φ－3sinφ＝6kπ(k∈Z)，根据选项可知选C.3．圆的渐开线方程为x＝cosθ＋θsinθ，y＝sinθ－θcosθ(θ为参数)，当θ＝π4，π2时，渐开线上对应的点为A、B，则A、B间的距离为()A.π4B.π2C.3π4D．π答案A解析由渐开线的形成过程知，A、B两点间的距离就是基圆上A、B两点对应的弧长，由于基圆半径为1，故由弧长公式得AB＝π4.4．在圆的摆线上有点(π，0)，那么在满足条件的摆线的参数方程中，使圆的半径最大的摆线上，参数φ＝π4对应点的坐标为________．答案(π－228，2－24)解析首先根据摆线的参数方程x＝r（φ－sinφ），y＝r（1－cosφ）(φ为参数)，把点(π，0)代入可得π＝r（φ－sinφ），0＝r（1－cosφ）⇒cosφ＝1，则sinφ＝0，φ＝2kπ(k∈Z)，所以r＝π2kπ＝12k(k∈Z)．又r0，所以k∈N*，当k＝1时r最大为12.再把φ＝π4代入可得所对应点坐标为(π－228，2－24)．5．有一个半径是2a的轮子沿着直线轨道滚动，在轮辐上有一点M，与轮子中心的距离是a，求点M的轨迹方程．解析xM＝r(φ－sinφ)，yM＝r(1－cosφ)．设轮子中心为C，则xC＝r，yC＝r.而P是CM中点，则xP＝12r（2φ－sinφ），yP＝12r（2－cosφ）.