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第三节直线的参数方程要点直线的参数方程经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的普通方程与参数方程分别为普通方程参数方程y－y0＝或x＝y＝(t为参数)tanα(x－x0)x＝x0x0＋tcosαy0＋tsinα课时学案题型一直线参数方程的标准形式例1已知直线l：x＝－3＋32t，y＝2＋12t(t为参数)．(1)分别求t＝0，2，－2时对应的点M(x，y)；(2)求直线l的倾斜角；(3)求直线l上的点M(－33，0)对应的参数t，并说明t几何意义．【解析】(1)由直线l：x＝－3＋32t，y＝2＋12t(t为参数)知，当t＝0，2，－2时，分别对应直线l上的点(－3，2)，(0，3)，(－23，1)．(2)方法一：化直线l：x＝－3＋32t，y＝2＋12t(t为参数)为普通方程为y－2＝33(x＋3)，其中k＝tanα＝33，0≤απ.∴直线l的倾斜角α＝π6.方法二：由于直线l：x＝－3＋tcosπ6，y＝2＋tsinπ6(t为参数)，这是过点M0(－3，2)，且倾斜角α＝π6的直线，故π6为所求．(3)将M(－33，0)代入参数方程得t＝－4，∴点M对应的参数t＝－4，几何意义为|M0M→|＝4.探究1(1)一条直线可以由定点M0(x0，y0)，倾斜角α(0≤απ)唯一确定，直线上的动点M(x，y)的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)，这是直线参数方程的标准形式．特别地，当α＝π2时，直线的参数方程为x＝x0，y＝y0＋t(t为参数)．(2)直线参数方程的形式不同，参数t的几何意义也不同，过定点M0(x0，y0)，斜率为ba的直线的参数方程是x＝x0＋at，y＝y0＋bt(a、b为常数，t为参数)．当a2＋b2＝1且b0时，参数方程为标准形式，|t|的几何意义是有向线段M0M→的长度；当a2＋b2≠1且b0时，参数方程的标准形式为x＝x0＋aa2＋b2（a2＋b2t），y＝y0＋ba2＋b2（a2＋b2t），|t|的几何意义是|M0M→|的长度的1a2＋b2.思考题1若本例中，直线l的参数方程为x＝－3＋3t，y＝2＋t(t为参数)，如何解答相应的问题？【解析】(1)由直线l：x＝－3＋3t，y＝2＋t(t为参数)知，当t＝0，2，－2时，分别对应直线l上的点(－3，2)，(3，4)，(－33，0)．(2)方法一：化为直线l的普通方程，得y－2＝33(x＋3)，故k＝tanα＝33，0≤απ，∴α＝π6.方法二：化为直线l的参数方程的标准形式，得x＝－3＋32（2t），y＝2＋12（2t）.则cosα＝32，sinα＝12，∴α＝π6.(3)令x＝－3＋3t＝－33，∴t＝－2.由于M0(－3，2)，M(－33，0)，|M0M→|＝4，故|t|＝12|M0M→|，为此t的几何意义．例2一直线过P0(3，4)，倾斜角α＝π4，求此直线与直线3x＋2y＝6的交点M与P0之间的距离．【解析】设直线的参数方程为x＝3＋22t，y＝4＋22t，将它代入已知直线3x＋2y－6＝0，得3(3＋22t)＋2(4＋22t)＝6，解得t＝－1125.∴|MP0|＝|t|＝1125.探究2一般方法来解，先要确定直线的方程，再通过解方程组确定交点M的坐标，再利用两点间距离公式求出|MP0|，而利用直线的参数方程，无需求出交点坐标，由参数的几何意义可直接求得|MP0|.思考题2一直线过点M0(1，1)，倾斜角为π3，求此直线与直线x＋y＋1＝0的交点M与M0之间的距离．【解析】∵直线过点M0(1，1)，倾斜角为π3，∴直线的参数方程为x＝1＋tcosπ3，y＝1＋tsinπ3，即x＝1＋t2，y＝1＋32t(t为参数)，①将①代入已知直线x＋y＋1＝0，得1＋t2＋1＋32t＋1＝0即t＝－3(3－1)．∴|MM0|＝|t|＝3(3－1)．题型二直线的参数方程与弦长公式例3已知抛物线y2＝8x的焦点为F，过F且斜率为2的直线交抛物线于A、B两点．(1)求|AB|；(2)求AB的中点M的坐标及|FM|.【思路分析】求抛物线y2＝8x的焦点―→设直线AB的方程―→直线与抛物线联立消元―→利用一元二次方程根与系数关系求解．【解析】参数法：抛物线y2＝8x的焦点为F(2，0)，依题意，设直线AB的参数方程为x＝2＋15t，y＝25t(t为参数)，其中tanα＝2，cosα＝15，sinα＝25，α为直线AB的倾斜角，代入y2＝8x整理，得t2－25t－20＝0.则t1＋t2＝25，t1t2＝－20.(1)|AB|＝|t2－t1|＝（t1＋t2）2－4t1t2＝（25）2＋80＝10.(2)点M对应的参数为t1＋t22＝5，∴M(3，2)，|FM|＝|t1＋t22|＝5.探究3解此类问题有两种方法：(1)参数法设二次曲线C：F(x，y)＝0，直线l：x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)，如果l与C相交于A、B两点，那么将l的方程代入F(x，y)＝0后可得at2＋bt＋c＝0，则该方程有两个不等实数根t1、t2，此时M0A→＝t1e，M0B→＝t2e，e＝(cosα，sinα)，于是易得以下两个常见的公式：①|AB|＝|t1－t2|；②线段AB的中点M对应的参数t＝t1＋t22，且|M0M|＝t1＋t22.(2)普通法抛物线y2＝8x的焦点为F(2，0)，依题意，直线AB的方程为y＝2(x－2)＝2x－4，代入y2＝8x整理，得x2－6x＋4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由一元二次方程的根与系数的关系，得x1＋x2＝6，x1x2＝4.①|AB|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2＝1＋22·62－4×4＝10.②设AB的中点M(x，y)，则x＝x1＋x22＝3，y＝y1＋y22＝2（x1＋x2）－82＝2.∴M(3，2)，|FM|＝（3－2）2＋（2－0）2＝5为所求．思考题3若本例中抛物线方程不变，过焦点F的直线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝16，如何求直线的方程？【解析】方法一：抛物线y2＝8x的焦点为F(2，0)，设直线AB的方程为x＝my＋2，m∈R，代入y2＝8x，整理，得y2－8my－16＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝8m，y1y2＝－16，由|AB|＝16，得1＋m2·（y1＋y2）2－4y1y2＝16，∴1＋m2·64m2＋64＝16，解得m2＝1.∴直线AB方程为y＝x－2或y＝－x＋2.方法二：抛物线y2＝8x的焦点为F(2，0)，设直线AB的参数方程为x＝2＋tcosα，y＝tsinα(t为参数，α≠0)，代入y2＝8x，整理得sin2αt2－8cosαt－16＝0.则t1＋t2＝8cosαsin2α，t1t2＝－16sin2α.由|AB|＝16，得|t1－t2|＝16.∴（t1＋t2）2－4t1t2＝16.∴64cos2αsin4α＋64sin2α＝16即1sin2α＝2.∴sinα＝22，cosα＝22或sinα＝22，cosα＝－22.∴α＝π4或3π4，故tanα＝±1.∴直线方程为y＝x－2或y＝－x＋2.题型三直线参数方程的综合应用例4已知椭圆方程x29＋y2＝1，直线l过点A(1，0)．(1)当l的斜率为34时，求l被椭圆截得的弦长；(2)当l交椭圆于B、C两点且|AB|＝32|AC|时，求l的倾斜角的正切值．【解析】(1)设l：x＝1＋45t，y＝35t(t为参数)，代入x2＋9y2－9＝0整理，得97t2＋40t－200＝0.弦长＝|t2－t1|＝（t2＋t1）2－4t1t2＝602297.(2)设l的倾斜角为θ，则x＝1＋tcosθ，y＝tsinθ(θ为参数)，代入x2＋9y2－9＝0，整理，得t2(cos2θ＋9sin2θ)＋2tcosθ－8＝0.设点B对应t1，点C对应t2，B，C位于点A两则：t1＋t2＝－2cosθ1＋8sin2θ，①t1t2＝－81＋8sin2θ，②t1＝－32t2，③将③分别代入①②后，消去t2，得16cos2θ（1＋8sin2θ）2＝163（1＋8sin2θ）.∴1＋8sin2θ－3cos2θ＝0.∴tan2θ＝29，∴tanθ＝±23.探究4用直线的参数方程中参数的几何意义容易获得线段间关系的数学表达式，凡是利用根与系数之间的关系寻求关系式，一般要考虑Δ≥0，本题中P点的轨迹往往被认为是直线在抛物线内的部分．思考题4在抛物线y2＝2px中，若两条焦半径在一条直线上，且焦半径的长分别为m和n，则1m＋1n为定值(焦半径是指抛物线上的点到焦点的线段)．【解析】过抛物线焦点P的直线的参数方程为x＝p2＋tcosα，y＝tsinα，代入抛物线方程，得sin2α·t2－2pcosα·t－p2＝0.设方程的两根为t1和t2，则mn＝|t1·t2|＝p2sin2α，m＋n＝|t2－t1|＝（t1＋t2）2－4t1t2＝2psin2α.∴1m＋1n＝m＋nmn＝2p为定值．课后巩固1．(2017·山东师大附中月考)直线l的参数方程x＝1－tsin25°，y＝2＋tcos25°(t为参数)，那么直线l的倾斜角是()A．65°B．25°C．155°D．115°答案D解析由x＝1－tsin25°，y＝2＋tcos25°得直线参数方程的标准形式为x＝1＋tcos115°，y＝2＋tsin115°，故倾斜角α＝115°，故选D.2．以t为参数的方程x＝1－12t，y＝－2＋32t表示()A．过点(1，－2)且倾斜角为π3的直线B．过点(－1，2)且倾斜角为π3的直线C．过点(1，－2)且倾斜角为2π3的直线D．过点(－1，2)且倾斜角为2π3的直线答案C解析方法一：化参数方程x＝1－12t，y＝－2＋32t为普通方程，得y＋2＝－3(x－1)，故直线过定点(1，－2)，斜率为－3，倾斜角为2π3.方法二：参数方程x＝1－12t，y＝－2＋32t为x＝1＋cos2π3t，y＝－2＋sin2π3t.故直线过点(1，－2)，倾斜角为2π3.3．直线的参数方程为x＝－1＋t2，y＝2－32t，M0(－1，2)和M(x，y)是该直线上的定点和动点，则t的几何意义是()A．M0MB．MM0C．|M0M|D．以上都不是答案B解析x＝－1－12（－t），y＝2＋（32）（－t），∴－t的几何意义为M0M→的数量．∴t的几何意义为MM0→的数量．4．点(－3，0)到直线x＝2t，y＝22t(t为参数)的距离为________．答案1解析∵直线x＝2t，y＝22t的普通方程为x－22y＝0，∴点(－3，0)到直线的距离为d＝|－3－0|1＋（－22）2＝1.5．过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为34π的直线，它与抛物线交于A、B两点，求这两点间的距离．解析抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，设过焦点F(1，0)，倾斜角为34π的直线的参数方程为x＝1－22t，y＝22t(t为参数)，将此代入y2＝4x，得t2＋42t－8＝0.设这个方程的两个根分别为t1，t2，由根与系数的关系，得t1＋t2＝－42，t1·t2＝－8.∴|AB|＝|t1－t2|＝（t1＋t2）2－4t1t2＝（－42）2＋32＝64＝8.∴A、B两点间距离是8.