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第二讲参数方程第一节曲线的参数方程第1课时参数方程的概念与圆的参数方程要点1一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数，※并且对于t的每一个允许值，由方程组※所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程※叫做这条曲线的参数方程．联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫普通方程．x＝f（t）y＝g（t）要点2圆x2＋y2＝r2的参数方程通常写为，圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程通常写为.课时学案题型一圆的参数方程例1已知参数方程x＝2cosθ，y＝2sinθ，θ∈[0，2π)，判断点A(1，3)，B(2，1)是否在方程的曲线上．【解析】方法一：∵x＝2cosθ，y＝2sinθ，θ∈[0，2π)，∴x2＋y2＝4.将A(1，3)代入，得1＋3＝4满足方程．将B(2，1)代入，得4＋1≠4不满足方程．∴A点在曲线上，而B点不在．方法二：将A、B坐标分别代入方程得1＝2cosθ，3＝2sinθ，①，2＝2cosθ，1＝2sinθ.②在[0，2π)内解①得θ＝π3，解②无解．故A点在曲线上，而B点不在．探究1(1)可将参数方程化成普通方程，然后判断点与曲线的位置关系．(2)可将点直接代入参数方程直接求解．思考题1已知C(r，0)(r0)，动点M满足|MC|＝r，根据下列选参数的方法，分别求动点M的轨迹方程．(1)以x轴正方向到CM所成角θ为参数；(2)以x轴正方向到OM所成角α为参数．【解析】(1)如图所示，依题意动点M的轨迹是以C(r，0)为圆心，r为半径的圆，设圆和x轴的正半轴交于A，OA为直径．设M(x，y)，作MN⊥Ox于N，在Rt△MCN中，|CM|＝r，∠ACM＝θ，∴x＝ON＝OC＋CN＝r＋rcosθ，y＝MN＝rsinθ.∴动点M轨迹的参数方程是x＝r（1＋cosθ），y＝rsinθ(θ为参数)．(2)设点M的坐标为M(x，y)，OA＝2r，则ON＝OAcosα·cosα＝2rcos2α，NM＝OAcosα·sinα＝2rsinα·cosα＝rsin2α.∴点M的轨迹方程是x＝2rcos2α，y＝rsin2α(α为参数)．题型二直线的参数方程例2(高考真题·湖南)极坐标ρ＝cosθ和参数方程x＝－1－t，y＝2＋t(t为参数)所表示的图形分别是()A．直线、直线B．直线、圆C．圆、圆D．圆、直线【解析】极坐标方程ρ＝cosθ化为普通方程为x2＋y2＝x，x2＋y2＝x为圆的方程，参数方程x＝－1－t，y＝2＋t化为普通方程为x＋y－1＝0，x＋y－1＝0为直线的方程，故选D.【答案】D探究2熟练极坐标，参数方程化为普通方程．思考题2(高考真题·广东)在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：x＝2s＋1，y＝s(s为参数)和直线l2：x＝at，y＝2t－1(t为参数)平行，则常数a的值为________．【解析】直线l1：x＝2y＋1，直线l2：ay＝2x－a.若l1∥l2，则k1＝k2，∴a＝4.【答案】4题型三参数方程的实际应用(理科)例3某飞机进行投弹演习，已知飞机离地面高度为H＝2000m，水平飞行速度为v1＝100m/s，如图所示．(1)求飞机投弹ts后炸弹的水平位移和离地面的高度；(2)如果飞机追击一辆速度为v2＝20m/s同向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？(g＝10m/s2)【思路分析】由题目可获取以下主要信息：①炸弹作平抛运动；②炸弹的水平位移与高度都是时刻t的函数．解答本题可以建立直角坐标系，设出炸弹对应的点的坐标的参数方程，然后利用运动学知识求解．【解析】(1)如图所示，建立平面直角坐标系，设炸弹投出机舱的时刻为0s，在时刻ts时其坐标为M(x，y)，由于炸弹作平抛运动，依题意，得x＝100t，y＝2000－12gt2，即x＝100t，y＝2000－5t2.令y＝2000－5t2＝0，得t＝20(s)．所以飞机投弹ts后炸弹的水平位移为100tm，离地面的高度为(2000－5t2)m，其中，0≤t≤20.(2)由于炸弹水平分运动和汽车的运动均为匀速直线运动，以汽车为参考系．水平方向s相对＝v相对t，所以飞机应距离汽车投弹的水平距离为s＝(v1－v2)t＝(100－20)×20＝1600(m)．探究3本题通过点的坐标的参数方程利用运动学知识使问题得解．由于水平抛出的炸弹作平抛运动，可以分解为在水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动，炸弹飞行的时间也就是它作自由落体运动所用的时间．思考题3如果本例条件不变，求：(1)炸弹投出机舱10s后这一时刻的水平位移和高度各是多少米？(2)如果飞机迎击一辆速度为v2＝20m/s相向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？【解析】(1)将t＝10代入x＝100t，y＝2000－5t2，得x＝1000，y＝1500，所以炸弹投出舱10s后，这一时刻的水平位移和高度分别是1000米和1500米．(2)由于炸弹水平运动和汽车的运动均为匀速直线运动，以汽车为参考系水平方向s相对＝v相对，所以飞机应距汽车投弹的水平距离为s＝(v1＋v2)t＝(100＋20)×20＝2400(m)．例4x2＋y2＝2y上的动点，(1)求2x＋y的取值范围；(2)若x＋y＋c≥0恒成立，求实数c的取值范围．【解析】圆的参数方程为x＝cosθ，y＝1＋sinθ.(1)2x＋y＝2cosθ＋sinθ＋1＝1＋5sin(θ＋φ)，∴1－5≤2x＋y≤1＋5.(2)若x＋y＋c≥0恒成立，即c≥－(cosθ＋sinθ＋1)对一切θ∈R成立．又－(cosθ＋sinθ＋1)的最大值是2－1，∴当且仅当c≥2－1时x＋y＋c≥0恒成立．思考题4(高考真题·陕西)已知圆C的参数方程为x＝cosα，y＝1＋sinα(α为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ＝1，则直线l与圆C的交点的直角坐标为________．【解析】∵y＝ρsinθ，∴直线l的直角坐标方程为y＝1.由x＝cosα，y＝1＋sinα，得x2＋(y－1)2＝1.由y＝1，x2＋（y－1）2＝1，得x＝－1，y＝1或x＝1，y＝1.∴直线l与圆C的交点的直角坐标为(－1，1)和(1，1)．【答案】(－1，1)和(1，1)课后巩固1．曲线x＝－2＋5t，y＝1－2t(t为参数)与坐标轴的交点是()A．(0，25)，(12，0)B．(0，15)，(12，0)C．(0，－4)，(8，0)D．(0，59)，(8，0)答案B2．下列各点在方程x＝sinθ，y＝cos2θ(θ为参数)所表示的曲线上的为()A．(2，－7)B．(13，23)C．(12，12)D．(1，0)答案C3．把圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0化为参数方程为________．答案x＝－1＋2cosθ，y＝2＋2sinθ(θ为参数)解析圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的标准方程是(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圆心为(－1，2)，半径为2，故参数方程为x＝－1＋2cosθ，y＝2＋2sinθ(θ为参数)．4．(理科做)一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行，在离灾区指定目标的水平距离还有1000m时投放救灾物资，此时飞机的飞行高度约是________m．(不计空气阻力，重力加速度g＝10m/s2)答案500解析设物资投出机舱的时刻为0s，在时刻ts时其坐标为M(x，y)，由于物资作平抛运动，点M(x，y)满足x＝100t，y＝h－12gt2，即x＝100t，y＝h－5t2.令x＝100t＝1000，得t＝10(s)．由y＝h－5t2＝h－500＝0，得h＝500m.5．(高考真题·安徽)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是x＝t＋1，y＝t－3(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为()A.14B．214C.2D．22答案D解析由题意得直线l的方程为x－y－4＝0，圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4.则圆心到直线的距离d＝2，故弦长＝2r2－d2＝22.