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第四章圆与方程4.2直线、圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用学习目标核心素养1.了解直线与圆的位置关系的几何性质．(重点)2．会建立平面直角坐标系，利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题．(重点、难点)3．会用数形结合的数学思想解决问题．通过学习直线与圆的方程的应用，提升数学建模、直观想象、数学运算的数学素养.自主预习探新知用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”坐标系几何元素代数几何结论1．一涵洞的横截面是半径为5m的半圆，则该半圆的方程是()A．x2＋y2＝25B．x2＋y2＝25(y≥0)C．(x＋5)2＋y2＝25(y≤0)D．随建立直角坐标系的变化而变化D[在不同坐标系下，方程也不同．]2．已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为()A．4B．3C．2D．1C[圆x2＋y2＝1的圆心(0，0)到直线x＋y＝1的距离d＝|－1|12＋12＝221，所以直线x＋y＝1与圆x2＋y2＝1相交．故选C.]3．已知点A(3，0)及圆x2＋y2＝4，则圆上一点P到点A距离的最大值和最小值分别是________．5,1[圆的半径为2，圆心到点A的距离为3，结合图形可知，圆上一点P到点A距离的最大值是3＋2＝5，最小值是3－2＝1.]合作探究提素养直线与圆的方程的实际应用问题[探究问题]1．设村庄外围所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，你能求出从村庄外围到小路的最短距离吗？[提示]从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离减去圆的半径2，即|2＋3＋2|12＋（－1）2－2＝722－2.2．已知台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，请建立适当的坐标系，用坐标法求B城市处于危险区内的时间．[提示]如图，以A为原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．射线AC为∠xAy的平分线，则台风中心在射线AC上移动．则点B到AC的距离为202千米，则射线AC被以B为圆心，以30千米为半径的圆截得的弦长为2302－（202）2＝20(千米)．所以B城市处于危险区内的时间为t＝2020＝1(小时)．【例1】为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8km到达公路上的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．思路探究：建系→求圆O和直线BC的方程→利用直线与圆的位置关系求解[解]以O为坐标原点，OB，OC所在的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝1.因为点B(8，0)，C(0，8)，所以直线BC的方程为x8＋y8＝1，即x＋y＝8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆相切所成的切点处时，DE为最短距离．此时DE的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1)km.即DE的最短距离为(42－1)km.求解直线与圆的方程的实际应用问题的四个步骤：(1)认真审题，明确题意．(2)建立平面直角坐标系，用方程表示直线和圆，从而在实际问题中建立直线与圆的方程．(3)利用直线与圆的方程的有关知识求解问题．(4)把代数结果还原为实际问题的解释．1．如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2m，水面宽12m，当水面下降1m后，水面宽为_____m.251[如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系．设圆心为C，圆的方程设为x2＋(y＋r)2＝r2(r＞0)，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2)．将点A(6，－2)代入圆的方程，得r＝10，∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.当水面下降1m后，可设点A′(x0，－3)(x0＞0)，将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝51，∴当水面下降1m后，水面宽为2x0＝251(m)．]坐标法证明几何问题【例2】如图所示，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且AB⊥CD，E为垂足．利用坐标法证明E是CD的中点．[证明]如图所示，以O为坐标原点，以直径AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设⊙O的半径为r，|OE|＝m，则⊙O的方程为x2＋y2＝r2，设C(m，b1)，D(m，b2)．则有m2＋b21＝r2，m2＋b22＝r2，即b1，b2是关于b的方程m2＋b2＝r2的根，解方程得b＝±r2－m2，不妨设b1＝－r2－m2，b2＝r2－m2，则CD的中点坐标为m，r2－m2－r2－m22，即(m，0)．故E(m，0)是CD的中点，即E是CD的中点．坐标法建立直角坐标系应坚持的原则：(1)若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴．(2)充分利用图形的对称性．(3)让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称．(4)关键点的坐标易求得．2．如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作一圆C与圆O的直径AB相切于D，圆C与圆O交于E，F，且EF与CD相交于H.求证：EF平分CD.[证明]以AB所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，设|AB|＝2r，D(a，0)，则|CD|＝r2－a2，所以C(a，r2－a2)，所以圆O：x2＋y2＝r2，圆C：(x－a)2＋(y－r2－a2)2＝r2－a2.两方程作差得直线EF的方程为2ax＋2r2－a2y＝r2＋a2.令x＝a，得y＝12r2－a2，所以Ha，12r2－a2，即H为CD的中点，所以EF平分CD.1．直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学研究中有着广泛的应用，要善于利用其解决一些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要有用坐标法解决几何问题的意识，用坐标法解决平面几何问题的思维过程：2．利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的几何量值关系分析、解决问题．当堂达标固双基1．方程y＝－4－x2对应的曲线是()ABCDA[由方程y＝－4－x2得x2＋y2＝4(y≤0)，它表示的图形是圆x2＋y2＝4在x轴上和以下的部分．]2．如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝12m，拱高CD＝4m，则拱桥的直径为________．13m[设圆心为O，半径为r，则由勾股定理得，|OB|2＝|OD|2＋|BD|2，即r2＝(r－4)2＋62，解得r＝132，所以拱桥的直径为13m．]3．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1，2)，则过点A与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为________．254[∵点A(1，2)在圆x2＋y2＝5上，∴过点A与圆O相切的切线方程为x＋2y＝5，易知切线在坐标轴上的截距分别为5，52，∴切线与坐标轴围成的三角形的面积为254.]4．某操场400m跑道的直道长为86.96m，弯道是两个半圆弧，半径为36m，以操场中心为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，求弯道所在的圆的方程.[解]易知题干图中上半个弯道所在圆的圆心坐标为C(0，43.48)，其所在圆的半径为36，故上半个弯道所在圆的方程是x2＋(y－43.48)2＝362.同理下半个弯道所在圆的方程是x2＋(y＋43.48)2＝362.