2019-2020学年高中数学 第4章 圆的方程 4.2.1 直线与圆的位置关系课件 新人教A版必修

数学必修②·人教A版新课标导学第四章圆的方程4.2直线、圆的位置关系4.2.1直线与圆的位置关系1自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案自主预习学案早晨的日出非常美丽，如果我们把海平面看成一条直线，而把太阳抽象成一个运动着的圆，观察太阳缓缓升起的这样一个过程，你能想象到什么几何知识呢？没错，日出升起的过程可以体现直线与圆的三种特殊位置关系，你发现了吗？1．直线与圆的位置关系：(1)直线与圆________，有两个公共点；(2)直线与圆________，只有一个公共点；(3)直线与圆________，没有公共点．2．几何判定法：设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离：(1)dr⇔圆与直线________；(2)d＝r⇔圆与直线________；(3)dr⇔圆与直线________.相交相切相离相离相切相交3．代数判定法：由Ax＋By＋C＝0x－a2＋y－b2＝r2消元，得到一元二次方程的判别式Δ，则(1)Δ0⇔直线与圆________；(2)Δ＝0⇔直线与圆________；(3)Δ0⇔直线与圆________.相交相切相离1．(2018·郑州一中测试)若直线l与圆C有公共点，则直线l与圆C的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．相切或相交[解析]当只有一个公共点时，直线l与圆C相切；当有两个公共点时，直线l与圆C相交．D2．(2018·北京市海淀区检测)直线3x＋4y－13＝0与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的位置关系是()A．相离B．相交C．相切D．无法判定C[解析]由圆的方程可知，圆心坐标为(2,3)，半径r＝1，所以圆心到直线3x＋4y－13＝0的距离d＝|6＋12－13|5＝1＝r，则直线与圆的位置关系为相切．3．(全国卷Ⅰ，文)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A、B两点，若|AB|＝23，则圆C的面积为________.4π[解析]圆C的方程可化为x2＋(y－a)2＝a2＋2，可得圆心的坐标为C(0，a)，半径r＝a2＋2，所以圆心到直线x－y＋2a＝0的距离为|－a＋2a|2＝|a|2，所以(|a|2)2＋(3)2＝(a2＋2)2，解得a2＝2，所以圆C的半径为2，所以圆C的面积为4π.4．已知圆C：x2＋y2－4x＋3＝0，过原点的直线l与其交于不同的两点A、B．(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求线段AB的中点P的轨迹方程．[解析](1)圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝1，由题意可设直线l的方程为y＝kx.∵直线l与圆C有两个不同交点，∴|2k|1＋k21，∴－33k33.(2)设点P(x，y)，∵点P为线段AB的中点，∴CP⊥OP.∴kCP·kOP＝－1，即y－0x－2·yx＝－1(x≠2且x≠0)，化简得x2＋y2－2x＝0.由x2＋y2－4x＋3＝0x2＋y2－2x＝0，得x＝32y＝±32.故点P的轨迹方程为x2＋y2－2x＝0(32x≤2)．互动探究学案已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点？命题方向1⇨直线与圆的位置关系典例1[思路分析]直线与圆有两个公共点⇔直线与圆相交；直线与圆只有一个公共点⇔直线与圆相切；直线与圆没有公共点⇔直线与圆相离．[解析]解法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.∵Δ＝4m(3m＋4)，∴当Δ＞0，即m＞0或m＜－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当Δ＝0，即m＝0或m＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当Δ＜0，即－43＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．解法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为C(2,1)，半径长r＝2.圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝|2m－1－m－1|1＋m2＝|m－2|1＋m2.(1)当d＜2，即m＞0或m＜－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当d＝2，即m＝0或m＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当d＞2，即－43＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．『规律方法』(1)处理直线与圆的位置关系问题主要用几何法，即比较圆心到直线的距离和半径长的大小，而较少用联立方程．(2)注意到直线过定点(1，－1)，可以借助数形结合讨论解决．〔跟踪练习1〕已知圆的方程是x2＋(y－1)2＝2，直线y＝x－b，当b为何值时，圆与直线有两个公共点，只有一个公共点，没有公共点？[解析]圆心O(0,1)到直线y＝x－b距离d＝|1＋b|2，圆半径r＝2.当dr，即－3b1时，直线与圆相交，有两个公共点．当d＝r，即b＝－3或1时，直线与圆相切，有一个公共点．当dr，即b－3或b1时，直线与圆相离，无公共点．命题方向2⇨弦长问题典例2直线l经过点P(5,5)并且与圆C：x2＋y2＝25相交截得的弦长为45，求直线l的方程．[思路分析]先讨论直线斜率不存在的情况，可知不合题意，则可直接设出直线的点斜式方程，再根据弦长|AB|＝45求解．可以利用弦长公式，也可以利用几何法，由半径、半弦长、圆心到直线的距离d之间的关系求解．[解析]若直线l的斜率不存在，则l：x＝5，与圆C相切，不合题意，所以直线l的斜率存在．设直线l的方程为y－5＝k(x－5)与圆C相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，解法一：联立方程组y－5＝kx－5x2＋y2＝25，消去y，得(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0.∴Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)·25k(k－2)0，解得k0.又x1＋x2＝－10k1－kk2＋1，x1x2＝25kk－2k2＋1.由斜率公式，得y1－y2＝k(x1－x2)．∴|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝1＋k2x1－x22＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝1＋k2[100k21－k2k2＋12－4·25kk－2k2＋1]＝45.两边平方，整理得2k2－5k＋2＝0，解得k＝12或k＝2符合题意，故直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.解法二：如右图所示，|OH|是圆心到直线l的距离，|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半，在Rt△AHO中，|OA|＝5，|AH|＝12|AB|＝12×45＝25.∴|OH|＝|OA|2－|AH|2＝5.∴|51－k|k2＋1＝5，解得k＝12或k＝2.∴直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.『规律方法』设直线l的方程为ax＋by＋c＝0，圆O的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，求弦长的方法通常有以下两种：(1)几何法：由圆的性质知，过圆心O作l的垂线，垂足C为线段AB的中点．如图所示，在Rt△OCB中，|BC|2＝r2－d2，则弦长|AB|＝2|BC|＝2r2－d2.(2)代数法：解方程组ax＋by＋c＝0x－x02＋y－y02＝r2，消元后可得关于x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2的关系式，当斜率存在且不为0时，则|AB|＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝1＋1k2[y1＋y22－4y1y2].〔跟踪练习2〕(2019·临朐一中高一检测)若圆心坐标为(2，－1)的圆在直线x－y－1＝0上截得的弦长为22，则这个圆的方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝2B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x－2)2＋(y＋1)2＝8D．(x－2)2＋(y＋1)2＝16B[解析]由题意得，设圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝r2，圆心到直线x－y－1＝0的距离为d＝|2－－1－1|12＋12＝2，再由圆的弦长公式，可得2r2－d2＝22⇒r2－d2＝2，即r2＝d2＋2＝4，所以这个圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4，故选B．(2018·丹东一模)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为___________________.[解析]由点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，知此圆的方程为x2＋y2＝5，所以该圆在点P处的切线方程为1×x＋2×y＝5，即x＋2y－5＝0.命题方向3⇨圆的切线问题x＋2y－5＝0典例3『规律方法』求圆的切线方程的常见类型及解法类型一求斜率为k且与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2相切的圆的切线方程(1)先设切线方程为y＝kx＋M，然后化为一般式kx－y＋M＝0，利用圆心到直线的距离等于半径，列出方程求得M.(2)设切线方程为y＝kx＋M，与圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2联立，得到关于x的一元二次方程，再利用判别式Δ＝0，求出M.类型二求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程先求切点与圆心的连线的斜率k，若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线斜率为－1k，由点斜式方程可得切线方程．如果k＝0或k不存在，则由图形可直接得切线方程为y＝y0或x＝x0.如图1中，过点P1，P2的切线方程分别为l1∶x＝x1，l2∶y＝y2.图1图2类型三求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线方程先假设切线斜率存在，如图2①所示．(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，可得k，切线方程即可求出．(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0求得k，切线方程即可求出．说明：过圆外一点的切线必有两条，无论用几何法还是代数法，当求得的k值是一个时，另一条切线斜率一定不存在，可用数形结合法求出，如图2②中过点P的一条切线PB的斜率不存在．A〔跟踪练习3〕平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是()A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0[解析]∵所求直线与直线2x＋y＋1＝0平行，∴设所求的直线方程为2x＋y＋m＝0.∵所求直线与圆x2＋y2＝5相切，∴|m|1＋4＝5，∴m＝±5.即所求的直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.1．已知直线l与⊙C相离，圆心C到l的距离为d，圆半径为r，P是⊙C上任意一点，P到l的距离d1，满足d－r≤d1≤d＋r.过C作CD⊥l，垂足为D，直线CD交⊙C于A、B，过A、B、P作l的平行线l1、l2、l3，l3与CD相交于E，则有d1＝ED，而AD≤ED≤BD，∴d－r≤d1≤d＋r.数形结合思想2．P是⊙C外一点，PA是⊙C的切线，则切线长l＝|PA|＝|PC|2－r2，特别地若P(x0，y0)，⊙C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2或x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则切线长l＝x0－a2＋y0－b2－r2或l＝x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F.C典例3由直线y＝x＋1上的一点向圆x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为()A．1B．22C．7D．3[解析]解法一：在直线y＝x＋1上任取一点P(x，x＋1)，圆x2－6x＋y2＋8＝0的圆心C(3,0)，半径r＝1，∴切线长l＝|PC|2－r2＝x2－6x＋x＋12＋8＝2x2－4x＋9＝2x－12＋7≥7.故选C．解法二：切线长的最小值在直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d＝|3－0＋1|2＝22，圆的半径为1，故切线长的最小值为d2－r2＝8－1＝7.已知圆x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0和定点P(1，－1)，若过点P的圆的切线有两条，则k的取值范围是()A．(－2，＋∞)B．(－∞，2)C．(－2,2