2019-2020学年高中数学 第4章 函数应用 2 实际问题的函数建模课件 北师大版必修1

第四章函数应用§2实际问题的函数建模2.1实际问题的函数刻画2.2用函数模型解决实际问题2.3函数建模案例学习目标核心素养1.会利用已知函数模型解决实际问题．(重点)2.能建立函数模型解决实际问题．(重、难点)1.通过利用已知函数模型解决实际问题，提升数学建模素养.2.通过建立数学模型解决实际问题，培养数据分析、数学运算素养.自主探新知预习1．实际问题的函数刻画阅读教材P120～P122整节课内容，完成下列问题．在现实世界里，生物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．2．用函数模型解决实际问题阅读教材P123～P125整节课的内容，完成下列问题．(1)常用的函数模型(2)数据拟合通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们所熟悉的哪一种函数，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．表达式图像思考：解决应用问题的关键是什么？[提示]将实际问题转化为数学问题．1．下表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为()x－2－10123y11614141664A.一次函数模型B．二次函数模型C．对数函数模型D．指数函数模型[答案]D2．一辆汽车在某段路上的行驶路程s关于时间t变化的图像如图所示，那么图像所对应的函数模型为()A．分段函数B．二次函数C．指数函数D．对数函数A[由图像知，在不同时段内，路程折线图不同，故对应的函数模型为分段函数．]3．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用S1，S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则与故事情节相吻合的是()B[乌龟距离起点的距离始终在增加，符合一次函数的增长模型，兔子距离起点的距离先增加，再停止增加一段时间后又更快的增加，总之乌龟与兔子行进的路程是一样的，乌龟用的时间少，兔子用的时间长，综合以上分析，故选B.]4．用一根长为12m的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则铁框架的最大面积是________m2.9[设铁框架的一边长为xm，则其面积S＝12－2xx2＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9.由x012－2x0，得0x6.所以，当x＝3时，S取最大值9.]合作攻重难探究表格信息类建模问题【例1】某国2015年至2018年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：年份2015201620172018x(年)0123生产总值(万亿元)8.20678.94429.593310.2398(1)画出函数图形，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较；(3)利用关系式预测2019年该国的国内生产总值．[解](1)根据表中数据画出函数图形，如图所示．从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的函数为y＝kx＋b.把直线通过的两点(0,8.2067)和(3,10.2398)代入上式，解方程组，可得k＝0.6777，b＝8.2067.所以它的一个函数关系式为y＝0.6777x＋8.2067.(2)由(1)中得到的关系式为f(x)＝0.6777x＋8.2067，计算出2016年和2017年的国内生产总值分别为f(1)＝0.6777×1＋8.2067＝8.8844，f(2)＝0.6777×2＋8.2067＝9.5621.与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元．(3)2019年，即x＝4，由上述关系式，得y＝f(4)＝0.6777×4＋8.2067＝10.9175，即预测2019年该国的国内生产总值约为10.9175万亿元．(1)根据表格信息，画出图像；(2)根据图像特征，选定函数模型；(3)用待定系数法求出函数解析式；(4)检验模型．1．(1)某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：x1.99345.18y0.991.582.012.353.00现有如下5个模拟函数：()①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x；⑤y＝12x＋1.74.请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________(填序号)．(2)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价，该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表高峰月用电量(单位：千瓦时)高峰电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分0.568超过50至200的部分0.598超过200的部分0.668低谷时间段用电价格表低谷月用电量(单位：千瓦时)低谷电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分0.288超过50至200的部分0.318超过200的部分0.388若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元．(用数字作答)(1)④(2)148.4[(1)画出散点图如图所示．由图可知上述点大体在函数y＝log2x的图象上，故选择y＝log2x可以近似地反映这些数据的规律．故填④.(2)高峰时间段200千瓦时的电费为50×0.568＋150×0.598＝118.1(元)，低谷时间段100千瓦时的电费为50×0.288＋50×0.318＝30.3(元)，所以这个家庭该月应付电费为118.1＋30.3＝148.4(元)．]图像信息解读问题【例2】如图1是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图像．图1图2图3(1)试说明图1上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2、3所示．你能根据图像，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？(4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？[解](1)点A表示无人乘车时收支差额为－20元，点B表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示盈利．(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价．(3)斜率表示票价．(4)图1、2中的票价是2元，图3中的票价是4元．1．这类问题应结合图像的特征，观察坐标轴所代表的含义，紧扣题目的语言描述，并把它转化为数学特征(单调性、最值、解析式等)即可解决．2．挖掘图像中的信息是关键．2．电信局为了配合客户的不同需要，设有A，B两种优惠方案，这两种方案的应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)(注：图中MN∥CD)．试问：(1)若通话时间为2小时，按方案A，B各付话费多少元？(2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？(3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？[解]由图可知M(60,98)，N(500,230)，C(500,168)，MN∥CD.设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)，fB(x)，则fA(x)＝98，0≤x≤60，310x＋80，x60；fB(x)＝168，0≤x≤500，310x＋18，x500.(1)当通话时间为2小时，A，B两种方案的话费分别为116元、168元．(2)因为当x500时，fB(x＋1)－fB(x)＝310(x＋1)＋18－310x－18＝310＝0.3，所以方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元．(3)由题图可知，当0≤x≤60时，fA(x)fB(x)；当x500时，fA(x)fB(x)；当60x≤500时，fA(x)fB(x)，即310x＋80168，解得x8803.综上，当通话时间在8803，＋∞范围内，方案B比方案A优惠.数据拟合[探究问题]1．建立拟合函数的步骤是什么？提示：依据问题给出的数据，建立反映数据变化规律的拟合函数的探索步骤为：(1)首先建立直角坐标系，画出散点图；(2)根据散点图设出比较接近的、可能的函数模型的解析式；(3)利用待定系数法求出各解析式；(4)对模型拟合程度进行检验，若拟合程度差，重新选择拟合函数，若拟合程度好，符合实际问题，就用这个函数模型解释实际问题．2．今有一组试验数据如下表所示：t1.993.04.05.16.12u1.54.047.51218.01则能体现这些数据关系的函数模型是()A．u＝log2tB．u＝2t－2C．u＝t2－12D．u＝2t－2提示：可以先描出各点(如图)，并利用数据点直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它．由图可知，图像不是直线上的点，排除选项D；图像不符合对数函数的图像特征，排除选项A；当t＝3时，2t－2＝23－2＝6，t2－12＝32－12＝4，由表格知当t＝3时，u＝4.04，模型u＝t2－12能较好地体现这些数据关系．故选C.【例3】某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：投资A种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.651.391.8521.841.40投资B种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.250.490.7611.261.51该经营者准备下月投入12万元经营这两种商品，但不知投资A，B两种商品各多少最合算．请你帮助该经营者制订一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润．(结果保留两个有效数字)[思路探究]先画出投资额与获利的图像，再选择函数模型．[解]设投资额为x万元时，获得的利润为y万元．在直角坐标系中画出散点图并依次连接各点，如图所示，观察散点图可知图像接近直线和抛物线，因此可考虑用二次函数描述投资A种商品的利润y万元与投资额x万元之间的函数关系；用一次函数描述投资B种商品的利润y万元与投资额x万元之间的函数关系．设二次函数的解析式为y＝－a(x－4)2＋2(a＞0)，一次函数的解析式为y＝bx.把x＝1，y＝0.65代入y＝－a(x－4)2＋2(a＞0)，得0.65＝－a(1－4)2＋2，解得a＝0.15.故前六个月所获纯利润关于月投资A种商品的金额的函数关系可近似地用y＝－0.15(x－4)2＋2表示．把x＝4，y＝1代入y＝bx，得b＝0.25，故前六个月所获纯利润关于月投资B种商品的金额的函数关系可近似地用y＝0.25x表示．令下月投入A，B两种商品的资金分别为xA万元、xB万元，总利润为W万元，得W＝yA＋yB＝－0.15(xA－4)2＋2＋0.25xB，其中xA＋xB＝12，则W＝－0.15xA－1962＋0.15·1962＋2.6(0≤xA≤12)，则当xA＝196≈3.2万元时，W取得最大值，0．15·1962＋2.6≈4.1万元，此时xB＝536≈8.8(万元)．即投资A商品3.2万元，投资B商品8.8万元时，下月可获得的最大纯利润为4.1万元．此类题为开放性的探究题，函数模型不确定，需要我们去探索尝试，找到最适合的模型，此类题目解题的一般步骤为：1作图：根据已知数据作出散点图；2选择函数模型：根据散点图，结合基本初等函数的图像形状，找出比较接近的函数模型；3求出函数模型：选出几组数据代入，求出函数解析式；4利用所求得的函数模型解决问题.3．某商场经营一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系(见下表)：x…30404550…y…6030150…(1)在所给的坐标系中(如图)，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式y＝f(x)；(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润．[解]根据上表作图，点(30,60)，(40,30)，(