2019-2020学年高中数学 第4讲 用数学归纳法证明不等式 2 用数学归纳法证明不等式举例课件

第四讲用数学归纳法证明不等式二用数学归纳法证明不等式举例学习目标：1.会用数学归纳法证明简单的不等式．(重点)2.会用数学归纳法证明贝努利不等式，了解贝努利不等式的应用条件．(难点)自主预习探新知教材整理用数学归纳法证明不等式阅读教材P50～P53，完成下列问题．1．贝努利(Bernoulli)不等式如果x是实数，且x－1，x≠0，n为大于1的自然数，那么有(1＋x)n.2．在运用数学归纳法证明不等式时，由n＝k成立，推导n＝k＋1成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行．1＋nx用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A．2B．3C．5D．6C[n取1,2,3,4时不等式不成立，起始值为5.]合作探究提素养数学归纳法证明不等式【例1】已知Sn＝1＋12＋13＋…＋1n(n1，n∈N＋)，求证：S2n1＋n2(n≥2，n∈N＋)．[精彩点拨]先求Sn再证明比较困难，可运用数学归纳法直接证明，注意Sn表示前n项的和(n1)，首先验证n＝2；然后证明归纳递推．[自主解答](1)当n＝2时，S22＝1＋12＋13＋14＝25121＋22，即n＝2时命题成立．(2)假设n＝k(k≥2，k∈N＋)时命题成立，即S2k＝1＋12＋13＋…＋12k1＋k2.当n＝k＋1时，S2k＋1＝1＋12＋13＋…＋12k＋12k＋1＋…＋12k＋11＋k2＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋11＋k2＋2k2k＋2k＝1＋k2＋12＝1＋k＋12.故当n＝k＋1时，命题也成立．由(1)(2)知，对n∈N＋，n≥2，S2n1＋n2都成立．此题容易犯两个错误，一是由n＝k到n＝k＋1项数变化弄错，认为12k的后一项为12k＋1，实际上应为12k＋1；二是12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1共有多少项之和，实际上2k＋1到2k＋1是自然数递增，项数为2k＋1－(2k＋1)＋1＝2k.1．若在本例中，条件变为“设f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N＋)，由f(1)＝112，f(3)1，f(7)32，f(15)2，…”.试问：f(2n－1)与n2大小关系如何？试猜想并加以证明．[解]数列1,3,7,15，…，通项公式为an＝2n－1，数列12，1，32，2，…，通项公式为an＝n2，∴猜想：f(2n－1)n2.下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，f(21－1)＝f(1)＝112，不等式成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时不等式成立，即f(2k－1)k2，当n＝k＋1时，f(2k＋1－1)＝f(2k－1)＋12k＋12k＋1＋…＋12k＋1－2＋12k＋1－1f(2k－1)＋12k＋1＋…＋12k＋1＝f(2k－1)＋12k2＋12＝k＋12.∴当n＝k＋1时不等式也成立．据①②知对任何n∈N＋原不等式均成立．【例2】证明：2n＋2n2(n∈N＋)．[精彩点拨]验证n＝1，2，3时不等式成立⇒假设n＝k成立，推证n＝k＋1⇒n＝k＋1成立，结论得证[自主解答](1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4；右边＝1，左边右边；当n＝2时，左＝22＋2＝6，右＝22＝4，所以左右；当n＝3时，左＝23＋2＝10，右＝32＝9，所以左右．因此当n＝1,2,3时，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥3且k∈N＋)时，不等式成立，即2k＋2＞k2(k∈N＋)．当n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－22k2－2＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3＝(k＋1)2＋(k＋1)(k－3)，∵k≥3，∴(k＋1)(k－3)≥0，∴(k＋1)2＋(k＋1)(k－3)≥(k＋1)2，所以2k＋1＋2(k＋1)2.故当n＝k＋1时，原不等式也成立．根据(1)(2)知，原不等式对于任何n∈N＋都成立．1．本例中，针对目标k2＋2k＋1，由于k的取值范围(k≥1)太大，不便于缩小．因此，用增加奠基步骤(把验证n＝1扩大到验证n＝1,2,3)的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k≥3，促使放缩成功，达到目标．2．利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由n＝k到n＝k＋1的变形．为满足题目的要求，常常要采用“放”与“缩”等手段，但是放缩要有度，这是一个难点，解决这个难题一是要仔细观察题目结构，二是要靠经验积累．2．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式1＋131＋15…1＋12n－1＞2n＋12均成立．[证明](1)当n＝2时，左边＝1＋13＝43；右边＝52.∵左边＞右边，∴不等式成立；(2)假设n＝k(k≥2，且k∈N＋)时不等式成立，即1＋131＋15…1＋12k－1＞2k＋12.则当n＝k＋1时，1＋131＋15…1＋12k－11＋12k＋1－1＞2k＋12·2k＋22k＋1＝2k＋222k＋1＝4k2＋8k＋422k＋1＞4k2＋8k＋322k＋1＝2k＋32k＋122k＋1＝2k＋1＋12.∴当n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立.不等式中的探索、猜想、证明【例3】若不等式1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋13n＋1a24对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论．[精彩点拨]先通过n取值计算，求出a的最大值，再用数学归纳法进行证明，证明时，根据不等式特征，在第二步，运用比差法较方便．[自主解答]当n＝1时，11＋1＋11＋2＋13×1＋1a24，则2624a24，∴a26.又a∈N＋，∴取a＝25.下面用数学归纳法证明1n＋1＋1n＋2＋…＋13n＋12524.(1)n＝1时，已证．(2)假设当n＝k时(k≥1，k∈N＋)，1k＋1＋1k＋2＋…＋13k＋12524，∴当n＝k＋1时，1k＋1＋1＋1k＋1＋2＋…＋13k＋1＋13k＋2＋13k＋3＋13k＋1＋1＝1k＋1＋1k＋2＋…＋13k＋1＋13k＋2＋13k＋3＋13k＋4－1k＋12524＋13k＋2＋13k＋4－23k＋1，∵13k＋2＋13k＋4＝6k＋19k2＋18k＋823k＋1，∴13k＋2＋13k＋4－23k＋10，∴1k＋1＋1＋1k＋1＋2＋…＋13k＋1＋12524也成立．由(1)(2)可知，对一切n∈N＋，都有1n＋1＋1n＋2＋…＋13n＋12524，∴a的最大值为25.1．不完全归纳的作用在于发现规律，探究结论，但结论必须证明．2．本题中从n＝k到n＝k＋1时，左边添加项是13k＋2＋13k＋3＋13k＋4－1k＋1.这一点必须清楚．3．设an＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N＋)，是否存在n的整式g(n)，使得等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝g(n)(an－1)对大于1的一切正整数n都成立？证明你的结论．[解]假设g(n)存在，那么当n＝2时，由a1＝g(2)(a2－1)，即1＝g(2)1＋12－1，∴g(2)＝2；当n＝3时，由a1＋a2＝g(3)(a3－1)，即1＋1＋12＝g(3)1＋12＋13－1，∴g(3)＝3，当n＝4时，由a1＋a2＋a3＝g(4)(a4－1)，即1＋1＋12＋1＋12＋13＝g(4)1＋12＋13＋14－1，∴g(4)＝4，由此猜想g(n)＝n(n≥2，n∈N＋)．下面用数学归纳法证明：当n≥2，n∈N＋时，等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝n(an－1)成立．(1)当n＝2时，a1＝1，g(2)(a2－1)＝2×1＋12－1＝1，结论成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时结论成立，即a1＋a2＋a3＋…＋ak－1＝k(ak－1)成立，那么当n＝k＋1时，a1＋a2＋…＋ak－1＋ak＝k(ak－1)＋ak＝(k＋1)ak－k＝(k＋1)ak－(k＋1)＋1＝(k＋1)ak＋1k＋1－1＝(k＋1)(ak＋1－1)，说明当n＝k＋1时，结论也成立，由(1)(2)可知，对一切大于1的正整数n，存在g(n)＝n使等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝g(n)(an－1)成立．当堂达标固双基1．数学归纳法适用于证明的命题的类型是()A．已知⇒结论B．结论⇒已知C．直接证明比较困难D．与正整数有关D[数学归纳法证明的是与正整数有关的命题．故应选D.]2．用数学归纳法证明不等式1＋123＋133＋…＋1n3＜2－1n(n≥2，n∈N＋)时，第一步应验证不等式()A．1＋123＜2－12B．1＋123＋133＜2－13C．1＋123＜2－13D．1＋123＋133＜2－14A[n0＝2时，首项为1，末项为123.]3．用数学归纳法证不等式1＋12＋14＋…＋12n－1＞12764成立，起始值至少取()A．7B．8C．9D．10B[左边等比数列求和Sn＝1－12n1－12＝21－12n＞12764，即1－12n＞127128，12n＜1128，∴12n＜127，∴n＞7，∴n取8，选B.]4．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n－1n(n∈N＋，n1)时，第一步证明不等式________成立．[解析]因为n1，所以第一步n＝2，即证明1＋12＋132成立．[答案]1＋12＋1325．试证明：1＋12＋13＋…＋1n2n(n∈N＋)．[证明](1)当n＝1时，不等式成立．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，不等式成立，即1＋12＋13＋…＋1k2k.那么n＝k＋1时，1＋12＋13＋…＋1k＋1k＋12k＋1k＋1＝2kk＋1＋1k＋1k＋k＋1＋1k＋1＝2k＋1.这就是说，n＝k＋1时，不等式也成立．根据(1)(2)可知不等式对n∈N＋成立．