2019-2020学年高中数学 第4讲 用数学归纳法证明不等式 1 数学归纳法课件 新人教A版选修4

第四讲用数学归纳法证明不等式一数学归纳法学习目标：1.了解数学归纳法的原理及其使用范围．(重点)2.会利用数学归纳法证明一些简单问题．(重点、难点)自主预习探新知教材整理数学归纳法的概念阅读教材P46～P50，完成下列问题．一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当时命题成立；(2)假设当____________________时命题成立，证明____________时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．n＝n0n＝k＋1n＝k(k∈N＋，且k≥n0)数学归纳法证明中，在验证了n＝1时命题正确，假定n＝k时命题正确，此时k的取值范围是()A．k∈NB．k＞1，k∈N＋C．k≥1，k∈N＋D．k＞2，k∈N＋C[数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，所以k是正整数，又第一步是递推的基础，所以k大于等于1.]合作探究提素养用数学归纳法证明等式【例1】用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n.[精彩点拨]要证等式的左边共2n项，右边共n项，f(k)与f(k＋1)相比左边增二项，右边增一项，而且左、右两边的首项不同．因此，由“n＝k”到“n＝k＋1”时要注意项的合并．[自主解答]①当n＝1时，左边＝1－12＝12＝11＋1＝右边，所以等式成立．②假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k，则当n＝k＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋12k＋1－12k＋2＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋12k＋1－12k＋2＝1k＋2＋…＋12k＋12k＋1＋1k＋1－12k＋2＝1k＋2＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＝右边，所以，n＝k＋1时等式成立．由①②知，等式对任意n∈N＋成立．1．用数学归纳法证明等式的关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关．由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．2．利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点．并且一定要记住：在证明n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节．1．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)．[证明](1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，就是12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时等式也成立，根据(1)和(2)可知，等式对任何n∈N＋都成立.用数学归纳法证明整除问题【例2】用数学归纳法证明：(3n＋1)·7n－1能被9整除(n∈N＋)．[精彩点拨]先验证n＝1时命题成立，然后再利用归纳假设证明，关键是找清f(k＋1)与f(k)的关系并设法配凑．[自主解答](1)当n＝1时，原式＝(3×1＋1)×7－1＝27，能被9整除，命题成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时，(3k＋1)·7k－1能被9整除，则当n＝k＋1时，[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1＝[21(k＋1)＋7]·7k－1＝[(3k＋1)＋(18k＋27)]·7k－1＝[(3k＋1)·7k－1]＋9(2k＋3)·7k.∵[(3k＋1)·7k－1]和9(2k＋3)·7k都能被9整除，∴[(3k＋1)·7k－1]＋9(2k＋3)·7k能被9整除，即[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1能被9整除，即当n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)可知，对任何n∈N＋，命题都成立，即(3n＋1)·7n－1能被9整除(n∈N＋)．1．证明本题时关键是用归纳假设式子(3k＋1)·7k－1表示n＝k＋1时的式子．2．用数学归纳法证明整除问题关键是利用增项、减项、拆项、并项、因式分解等恒等变形的方法去凑假设、凑结论，从而利用归纳假设使问题获证．一般地，证明一个与n有关的式子f(n)能被一个数a(或一个代数式g(n))整除，主要是找到f(k＋1)与f(k)的关系，设法找到式子f1(k)，f2(k)，使得f(k＋1)＝f(k)·f1(k)＋f2(k)．2．求证：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除．[证明](1)当n＝1时，13＋(1＋1)3＋(1＋2)3＝36,36能被9整除，命题成立．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋k3＋3k2·3＋3k·32＋33＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3)，由归纳假设知，上式中两项都能被9整除，故n＝k＋1时，命题也成立．由(1)和(2)可知，对n∈N＋命题成立．证明几何命题【例3】平面内有n(n≥2，n∈N＋)条直线，其中任意两条不平行，任意三条不过同一点，那么这n条直线的交点个数f(n)是多少？并证明你的结论．[精彩点拨](1)从特殊入手，求f(2)，f(3)，f(4)，猜想出一般性结论f(n)；(2)利用数学归纳法证明．[自主解答]当n＝2时，f(2)＝1；当n＝3时，f(3)＝3；当n＝4时，f(4)＝6.因此猜想f(n)＝nn－12(n≥2，n∈N＋)．下面利用数学归纳法证明：(1)当n＝2时，两条相交直线有一个交点，又f(2)＝12×2×(2－1)＝1.∴n＝2时，命题成立．(2)假设当n＝k(k≥2且k∈N＋)时命题成立，就是该平面内满足题设的任何k条直线的交点个数为f(k)＝12k(k－1)，当n＝k＋1时，其中一条直线记为l，剩下的k条直线为l1，l2，…，lk.由归纳假设知，剩下的k条直线之间的交点个数为f(k)＝kk－12.由于l与这k条直线均相交且任意三条不过同一点，所以直线l与l1，l2，l3，…，lk的交点共有k个，∴f(k＋1)＝f(k)＋k＝kk－12＋k＝k2＋k2＝kk＋12＝k＋1[k＋1－1]2，∴当n＝k＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，命题对一切n∈N＋且n≥2时成立．1．从特殊入手，寻找一般性结论，并探索n变化时，交点个数间的关系．2．利用数学归纳法证明几何问题时，关键是正确分析由n＝k到n＝k＋1时几何图形的变化规律并结合图形直观分析，要讲清原因．3．在本例中，探究这n条直线互相分割成线段或射线的条数是多少？并加以证明．[解]设分割成线段或射线的条数为f(n)，则f(2)＝4，f(3)＝9，f(4)＝16.猜想n条直线分割成线段或射线的条数f(n)＝n2(n≥2)，下面利用数学归纳法证明．(1)当n＝2时，显然成立．(2)假设当n＝k(k≥2，且k∈N＋)时，结论成立，f(k)＝k2.则当n＝k＋1时，设有l1，l2，…，lk，lk＋1，共k＋1条直线满足题设条件．不妨取出直线l1，余下的k条直线l2，l3，…，lk，lk＋1互相分割成f(k)＝k2条射线或线段．直线l1与这k条直线恰有k个交点，则直线l1被这k个交点分成k＋1条射线或线段．k条直线l2，l3，…，lk－1中的每一条都与l1恰有一个交点，因此每条直线又被这一个交点多分割出一条射线或线段，共有k条．故f(k＋1)＝f(k)＋k＋1＋k＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2，∴当n＝k＋1时，结论正确．由(1)(2)可知，上述结论对一切n≥2且n∈N＋均成立.数学归纳法的概念[探究问题]1．数学归纳法中，n取的第一个值n0是否一定是1?[提示]n0不一定是1，指适合命题的第一个正整数，不是一定从1开始．2．如何理解数学归纳法的两个步骤之间的关系？[提示]第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的桥梁，这两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出判断，可能得出不正确的结论，因为单靠步骤(1)无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确，我们无法判断．同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就无意义了．【例4】用数学归纳法证明：1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－an＋21－a(a≠1，n∈N＋)，在验证n＝1成立时，左边计算的结果是()A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3[精彩点拨]注意左端特征，共有n＋2项，首项为1，最后一项为an＋1.C[实际是由1(即a0)起，每项指数增加1，到最后一项为an＋1，所以n＝1时，左边的最后一项应为a2，因此左边计算的结果应为1＋a＋a2.]1．验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1.2．递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障．4．当f(k)＝1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k，则f(k＋1)＝f(k)＋________.[解析]f(k＋1)＝1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋12k＋1－12k＋1，∴f(k＋1)＝f(k)＋12k＋1－12k＋1.[答案]12k＋1－12k＋2当堂达标固双基1．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)·(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式为()A．1B．1＋3C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋4C[当n＝1时左边所得的代数式为1＋2＋3.]2．某个与正整数n有关的命题，如果当n＝k(k∈N＋且k≥1)时命题成立，则一定可推得当n＝k＋1时，该命题也成立．现已知n＝5时，该命题不成立，那么应有()A．当n＝4时，该命题成立B．当n＝6时，该命题成立C．当n＝4时，该命题不成立D．当n＝6时，该命题不成立C[若n＝4时命题成立，由递推关系知n＝5时命题成立，与题中条件矛盾，所以n＝4时，该命题不成立．]3．用数学归纳法证明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N＋)时，从“n＝k到n＝k＋1”左端需乘以的代数式为()A．2k＋1B．2(2k＋1)C．2k＋1k＋1D．2k＋3k＋1B[当n＝k时，等式为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k·1·3·…·(2k－1)．当n＝k＋1时，左边＝[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]…[(k＋1)＋k][(k＋1)＋(k＋1)]＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)·(2k＋1)(2k＋2)．比较n＝k和n＝k＋1时等式的左边，可知左端需乘以2k＋12k＋2k＋1＝2(2k＋1)．故选B.]4．用数学归纳法证明：“1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2，n∈N＋”时，若n＝1，则左端应为________．[解析]当n＝1时，左端应为1×4＝4.[答案]45．用数学归纳法证明：1＋a＋a2＋…＋an－1＝1－an1－a(a≠1，n∈N＋)．[证明](1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1－a1－a＝1，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，等式成立，即1＋a＋a2＋…＋ak－1＝1－ak1－a.那么n＝k＋1时，左边＝1＋a＋a2＋…＋ak－1＋ak＝1－ak1－a＋ak＝1－ak＋ak－ak＋11－a＝1－ak＋11－a＝右边，所以等式也成立．由(1)(2)可知，对任意n∈N＋等式均成立．