2019-2020学年高中数学 第4讲 数学归纳法证明不等式 第1课时 数学归纳法课件 新人教A版选

第1课时数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)证明当_____________时，命题成立；(2)假设当___________________时，命题成立，证明当________时，命题也成立．综上(1)，(2)知，对任意的正整数n≥n0，命题都成立．这种证明方法称为____________．n＝n0n＝k(k≥n0，k∈N*)n＝k＋1数学归纳法1．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”时，第二步归纳假设应写成()A．假设n＝2k＋1k∈N*时，命题成立B．假设n＝2k－1k∈N*时，命题成立C．假设n＝2kk∈N*时，命题成立D．假设n＝kk∈N*时，命题成立【答案】B【解析】因为n为正奇数，所以第二步归纳假设应写为假设n＝2k－1(k∈N*)时，命题成立．故答案为B.2．证明1＋12＋13＋14＋…＋12n－1＞n2(n∈N*)，假设n＝k时成立，当n＝k＋1时，左端增加的项数是()A．1项B．k－1项C．k项D．2k项【答案】D【解析】当n＝k＋1时，不等式的左端为1＋12＋13＋14＋…＋12k－1＋12k＋12k＋1＋…＋12k＋1－1，增加的项数为2k＋1－1－2k＋1＝2·2k－2k＝2k.3．(2017年合肥期中)一个关于自然数n的命题，如果验证当n＝1时命题成立，并在假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时命题成立的基础上，证明了当n＝k＋2时命题成立，那么综合上述，则()A．一切正整数命题成立B．一切正奇数命题成立C．一切正偶数命题成立D．以上都不对【答案】B【解析】可以推出对n＝1,3,5,7，…，命题都成立，即命题对一切正奇数成立．故选B．4．已知数列11×4，14×7，17×10，…，13n－23n＋1，…，计算S1，S2，S3，S4猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明．【解析】S1＝11×4＝14，S2＝14＋14×7＝27，S3＝27＋17×10＝310，S4＝310＋110×13＝413，于是可以猜想Sn＝n3n＋1.下面用数学归纳法来证明：①当n＝1时，左边＝S1＝14，右边＝n3n＋1＝13×1＋1＝14，猜想成立．②假设当n＝kk∈N*时，猜想成立，即11×4＋14×7＋17×10＋…＋13k－23k＋1＝k3k＋1，那么，当n＝k＋1时，11×4＋14×7＋17×10＋…＋13k－23k＋1＋1[3k＋1－2][3k＋1＋1]＝k3k＋1＋13k＋13k＋4＝3k2＋4k＋13k＋13k＋4＝3k＋1k＋13k＋13k＋4＝k＋13k＋1＋1.所以当n＝k＋1时猜想也成立．由①，②可知，对一切n∈N*等式都成立．用数学归纳法证明等式【例1】用数学归纳法证明：n∈N*时，11×3＋13×5＋…＋12n－12n＋1＝n2n＋1.【解题探究】(1)这是一个与正整数有关的恒等式问题，用数学归纳法证明时，要严格按两步来证明，缺一不可．(2)用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1时等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．【解析】①当n＝1时，左边＝11×3＝13，右边＝12×1＋1＝13，左边＝右边，所以等式成立．②假设n＝kk∈N*时等式成立，即有11×3＋13×5＋…＋12k－12k＋1＝k2k＋1，则当n＝k＋1时，11×3＋13×5＋…＋12k－12k＋1＋12k＋12k＋3＝k2k＋1＋12k＋12k＋3＝k2k＋3＋12k＋12k＋3＝2k2＋3k＋12k＋12k＋3＝k＋12k＋3＝k＋12k＋1＋1.所以当n＝k＋1时，等式也成立．由①，②可知，对一切n∈N*等式都成立．(1)在本例证明过程中，步骤①考虑“n取第一个值的命题形式”时，需认真对待，一般情况是把第一个值代入通项，考察命题的真假；步骤②在由n＝k到n＝k＋1的递推过程中，必须用归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．本题证明n＝k＋1时若利用数列求和中的拆项相消法，即11×3＋13×5＋…＋12k－12k＋1＋12k＋12k＋3＝121－13＋13－15＋…＋12k－1－12k＋1＋12k＋1－12k＋3＝121－12k＋3＝k＋12k＋3，则没有用归纳假设，这是套用数学归纳法的一种伪证．(2)在步骤②的证明过程中，突出了两个“凑”字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时，命题形式之间的区别和联系．1．用数学归纳法证明：1－141－191－116…1－1n2＝n＋12n(n≥2)．【证明】(1)当n＝2时，左边＝1－122＝34，右边＝2＋12×2＝34，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥2)时，等式成立，即1－141－19…1－1k2＝k＋12k.则当n＝k＋1时，1－141－191－116…1－1k21－1k＋12＝k＋12k1－1k＋12＝k＋12k·k2＋2kk＋12＝k＋22k＋1，即n＝k＋1时，等式成立．由(1)(2)知，对于任意正整数n(n≥2)，原等式成立．【例2】用数学归纳法证明：(3n＋1)·7n－1(n∈N*)能被9整除．【解题探究】这是一个与整除有关的命题，用数学归纳法证明时，第一步应该证n＝1时命题成立，第二步要明确目标，即在假设(3k＋1)·7k－1能被9整除的前提下，证明[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1也能被9整除．用数学归纳法证明整除问题【解析】①当n＝1，原式＝4×7－1＝27能被9整除．②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，(3k＋1)·7k－1能被9整除，则当n＝k＋1时，[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1＝[(3k＋1)＋3]·(1＋6)·7k－1＝(3k＋1)·7k－1＋(3k＋1)·6·7k＋21·7k＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋27·7k.∵(3k＋1)·7k－1,18k·7k和27·7k都能被9整除，∴[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1能被9整除．∴当n＝k＋1时，(3n＋1)·7n－1也能被9整除．由①，②可知，对任何n∈N*，(3n＋1)·7n－1能被9整除．证明整除性问题的关键是“凑项”，而采用增项、减项、拆项和因式分解等手段凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题获证．2．用数学归纳法证明：(x＋1)n＋1＋(x＋2)2n－1(n∈N*)能被x2＋3x＋3整除．【证明】(1)当n＝1时，(x＋1)1＋1＋(x＋2)2－1＝x2＋3x＋3，显然命题成立．(2)假设n＝k(k∈N*，k≥1)时，命题成立，即(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1能被x2＋3x＋3整除，则当n＝k＋1时，(x＋1)k＋2＋(x＋2)2k＋1＝(x＋1)k＋2＋(x＋1)(x＋2)2k－1＋(x＋2)2k＋1－(x＋1)(x＋2)2k－1＝(x＋1)[(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1]＋(x＋2)2k－1(x2＋3x＋3)．由假设可知上式可被x2＋3x＋3整除，即n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)可知，原命题成立．【例3】平面内有n个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个圆交于一点，求证：这n个圆将平面分成n2－n＋2个部分．【解题探究】这是一个与几何有关的命题，用数学归纳法证明时，难点在于几何元素从k个变成k＋1个时，所证的几何量将增加多少．用数学归纳法证明几何问题【解析】①当n＝1时，1个圆将平面分成2部分，显然命题成立．②假设当n＝kk≥1，k∈N*时，k个圆将平面分成k2－k＋2个部分，则当n＝k＋1时，第k＋1个圆Ck＋1交前面k个圆于2k个点，这2k个点将圆Ck＋1分成2k段，每段将各自所在区域一分为二，于是增加了2k个区域，所以这k＋1个圆将平面分成k2－k＋2＋2k个部分，即k＋12－k＋1＋2个部分．故n＝k＋1时，命题成立．由①，②可知，对n∈N*命题成立．用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k＋1个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，可以先从有限个圆的情形中，归纳出所证几何量的增加量．在实在分析不出来的情况下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧．3．证明：凸n边形的对角线的条数f(n)＝12n(n－3)(n≥4)．【证明】(1)n＝4时，f(4)＝12×4×(4－3)＝2，四边形有两条对角线，命题成立．(2)假设n＝k(k∈N*，k≥4)时，命题成立，即凸k边形的对角线的条数f(k)＝12k(k－3)，则当n＝k＋1时，凸k＋1边形是在k边形的基础上增加了一边，增加了一个顶点Ak＋1，增加的对角线条数是顶点Ak＋1与不相邻顶点连线再加上原k边形的一边A1Ak，共增加的对角线条数为：(k＋1－3)＋1＝k－1，f(k＋1)＝12k(k－3)＋k－1＝12(k2－k－2)＝12(k＋1)(k－2)＝12(k＋1)[(k＋1)－3]．故n＝k＋1时，命题也成立.由(1)(2)可知，对n≥4，n∈N*公式成立．1．用数学归纳法证明时，要严格按两步来证明，缺一不可．2．数学归纳法证明的原理为无限自动递推，故证n＝k＋1时，须将假设结论作为条件，参与证明．3．运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等．4．数学归纳法证明的关键是明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时，命题形式之间的区别和联系．