2019-2020学年高中数学 第3章 指数函数和对数函数 5 对数函数 5.1 对数函数的概念 5

第三章指数函数和对数函数§5对数函数5.1对数函数的概念5.2对数函数y＝log2x的图像和性质学习目标核心素养1.理解对数函数的概念以及对数函数与指数函数间的关系．2．了解指数函数与对数函数互为反函数，并会求指数函数或对数函数的反函数．(难点、易混点)3．会画具体函数的图像．(重点)1.通过对数函数的概念及反函数概念的学习，培养数学抽象素养．2．通过对数函数y＝log2x的图像研究函数的性质，培养直观想象素养.自主探新知预习阅读教材P89～P90“分析理解”以上部分，完成下列问题．1．对数函数的定义一般地，我们把函数y＝logax(a0，a≠1)叫作对数函数，其中x是，函数的定义域是，值域是R，a叫作对数函数的．底数自变量(0，＋∞)2．两类特殊的对数函数常用对数函数：y＝lgx，其底数为.自然对数函数：y＝lnx，其底数为无理数.3．反函数阅读教材P90从“分析理解”～P91“练习”间的部分，完成下列问题．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)是对数函数的反函数；同时，对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)也是指数函数_____________________的反函数，即同底的指数函数与对数函数互为反函数．y＝ax(a＞0，a≠1)10ey＝logax(a＞0，a≠1)4．函数y＝log2x的图像和性质阅读教材P91～P93有关内容，完成下列问题．图像特征函数性质过点当x＝1时，在y轴的右侧定义域是向上、向下无限延伸值域是R(0，＋∞)(1,0)y＝0在直线x＝1右侧，图像位于x轴上方；在直线x＝1左侧，图像位于x轴下方若x＞1，则；若0＜x＜1，则函数图像从左到右是上升的在(0，＋∞)上是___函数y＜0y＞0增思考：(1)指数函数y＝2x与对数函数x＝log2y的图像有什么关系？(2)指数函数y＝2x的图像与对数函数y＝log2x的图像有什么关系？[提示](1)重合．(2)关于直线y＝x对称．1．函数y＝logax的图像如图所示，则a的值可以是()A.12B．2C．eD．10A[y＝logax的图像是下降的，故a可以是12.故选A.]2．函数y＝log2(x－2)的定义域是________．(2，＋∞)[由x－20，得x2，所以其定义域是(2，＋∞)．]3．函数y＝log2(x2＋1)的值域是________．[0，＋∞)[由x2＋1≥1，得y≥0，所以，其值域是[0，＋∞)．]4．对数函数f(x)的图像经过点19，2，则f(3)＝________.－1[设f(x)＝logax(a0，且a≠1)，因为对数函数f(x)的图像经过点19，2，所以f19＝loga19＝2.所以a2＝19.所以a＝1912＝13212＝13.所以f(x)＝log13x.所以f(3)＝log133＝log1313-2＝－1.]合作攻重难探究对数函数的概念【例1】下列函数中，哪些是对数函数？(1)y＝logax(a0，且a≠1)；(2)y＝log2x＋2；(3)y＝8log2(x＋1)；(4)y＝logx6(x0，且x≠1)；(5)y＝log6x.[解](1)中真数不是自变量x，不是对数函数．(2)中对数式后加2，所以不是对数函数．(3)中真数为x＋1，不是x，系数不为1，故不是对数函数．(4)中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数．(5)中底数是6，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数．判断一个函数是对数函数的方法1．若函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________.1[由a2－a＋1＝1，解得a＝0或a＝1.又底数a＋10，且a＋1≠1，所以a＝1.]求函数的反函数【例2】求下列函数的反函数．(1)y＝10x；(2)y＝45x；(3)y＝log13x;(4)y＝log2x.[解](1)由y＝10x，得x＝lgy，∴其反函数为y＝lgx；(2)由y＝45x，得x＝log45y，∴其反函数为y＝log45x；(3)由y＝log13x，得x＝13y，∴其反函数为y＝13x；(4)由y＝log2x，得x＝2y，∴其反函数为y＝2x.反函数的求法1由y＝ax或y＝logax，解得x＝logay或x＝ay；2将x＝logay或x＝ay中的x与y互换位置，得y＝logax或y＝ax；3由y＝ax或y＝logax的值域，写出y＝logax或y＝ax的定义域.2．(1)已知函数y＝g(x)的图像与函数y＝log3x的图像关于直线y＝x对称，则g(2)的值为()A．9B．3C.2D．log32(2)若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a0，且a≠1)的反函数，其图像经过点(a，a)，则f(x)＝()A．log2xB．log12xC．2－xD．x2(1)A(2)B[(1)y＝g(x)与y＝log3x互为反函数，故g(x)＝3x，故g(2)＝32＝9.(2)由题意知(a，a)在y＝ax上，可得aa＝a＝a12，即a＝12.因为y＝12x的反函数为y＝log12x，所以f(x)＝log12x.]函数y＝log2x的图像与性质[探究问题]1．求函数y＝log2|x|的定义域，并画出它的图像．提示：函数的定义域为{x|x≠0，x∈R}．函数解析式可化为y＝log2x，x0，log2－x，x0，其图像如图所示．(其特征是关于y轴对称)．2．画出函数y＝|log2x|的图像，并写出它的单调区间．提示：y＝|log2x|＝－log2x，0x≤1，log2x，x1，其图像如图所示，增区间为[1，＋∞)，减区间为(0,1)．【例3】根据函数f(x)＝log2x的图像和性质求解以下问题：(1)若f(x－1)f(1)，求x的取值范围；(2)求y＝log2(2x－1)在x∈34，52上的最值．[思路探究]可依据y＝log2x的图像，借助函数的单调性解不等式，求最值．[解]作出函数y＝log2x的图像如图．(1)由图像知y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数．因为f(x－1)f(1)，所以x－11，解得x2，所以x的取值范围是(2，＋∞)．(2)∵34≤x≤52，∴12≤2x－1≤4，∴log212≤log2(2x－1)≤log24，所以－1≤log2(2x－1)≤2，故函数y＝log2(2x－1)在x∈34，52上的最小值为－1，最大值为2.1．(变结论)将例题中的条件不变，试比较log245与log234的大小．[解]函数f(x)＝log2x在(0，＋∞)上为增函数，又∵4534，∴log245log234.2．(变结论)将例题中的条件不变，解不等式log2(2－x)0.[解]log2(2－x)0，即log2(2－x)log21，∵函数y＝log2x为增函数，∴2－x1，∴x1.∴x的取值范围是(－∞，1)．函数fx＝log2x是最基本的对数函数，它在0，＋∞上是单调递增的，利用单调性可以解不等式，求函数值域，比较对数值的大小.1．解与对数有关的问题，首先要保证在定义域范围内解题，即真数大于零，底数大于零且不等于1，函数定义域的结果一定要写成集合或区间的形式．2．指数函数y＝ax(a0且a≠1)与对数函数y＝logax(a0且a≠1)互为反函数，它们定义域与值域相反，图像关于直线y＝x对称．3．应注意数形结合思想在解题中的应用．当堂固双基达标1．思考辨析(1)函数y＝2log2x是对数函数．()(2)函数y＝3x的反函数是y＝13x.()(3)对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数．()[答案](1)×(2)×(3)√2．函数f(x)＝lg(2－3x)的定义域是________．－∞，23[由2－3x0，得x23，所以，f(x)的定义域是－∞，23.]3．函数y＝log12x的反函数是________．y＝12x[由y＝log12x，得x＝12y，所以，其反函数为y＝12x.]4．求函数y＝log2(3＋2x－x2)的定义域和值域．[解]由3＋2x－x20，得x2－2x－30，∴－1x3，∴其定义域为(－1,3)u＝3＋2x－x2＝4－(x－1)2≤4，又y＝log2u是增函数．∴y≤log24＝2，∴其值域为(－∞，2]．Thankyouforwatching!