2019-2020学年高中数学 第3章 指数函数、对数函数和幂函数 3.4.1 函数与方程（第2课时

第3章指数函数、对数函数和幂函数3.4函数的应用3.4.1函数与方程第2课时用二分法求方程的近似解学习目标核心素养1.通过实例理解二分法的概念．(难点)2．了解二分法是求方程近似解的常用方法．3．能够借助计算器用二分法求方程的近似解．(重点)通过学习本节内容，培养学生的逻辑推理的数学核心素养.自主预习探新知1．二分法的定义对于在区间[a，b]上的图象________且______________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间________，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做______．连续不断f(a)·f(b)0一分为二二分法2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(1)确定区间[a，b]，使______________________.(2)求区间(a，b)的中点x1＝.(3)计算f(x1)．①若f(x1)＝0，__________________；②若f(a)·f(x1)0，则令b＝x1，此时零点x0∈____________；③若f(x1)·f(b)0，则令a＝x1，此时零点x0∈____________．(4)判断是否达到题目要求，即若达到，则得到零点近似值，否则重复步骤(2)～(4)．f(a)·f(b)0a＋b2x1就是函数的零点(a，x1)(x1，b)3．用“二分法”求方程的近似解时，应通过移项问题转化为求函数的____近似值．如求f(x)＝g(x)的近似解时可构造函数h(x)＝__________________，将问题转化为求________的零点近似值的问题．零点f(x)－g(x)h(x)1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二分法所求出的方程的解都是近似解．()(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．()(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．()(4)用“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f(x)在[a，b]内的所有零点得到．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×[提示]四句话都是错的．(1)中，二分法求出的解也有精确解，如f(x)＝x－1在(0,2)上用二分法求解时，中点为x＝1，而f(1)＝0.(2)中，f(x)＝|x|≥0，不能用二分法．(3)中，二分法求零点时，零点可以在等分区间后的右侧，也可以在左侧．(4)中f(x)在[a，b]内的近似解可能有多个，而二分法求解时，只须达到一定的精确度即可，故可能会漏掉一些，另外在等分区间后，中点的函数值与某一端点函数值同号时内部也未必没有零点，故采用“二分法”不一定求出函数的所有零点的近似解．2．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,3]上的零点的近似值，验证f(2)·f(3)＜0，取区间[2,3]的中点x1＝2＋32＝2.5，计算得f(2.5)·f(3)＞0，此时零点x0所在的区间是________．(2,2.5)[由于f2·f3＜0，f2.5·f3＞0，所以f(2)·f(2.5)＜0，所以x0∈(2,2.5)．]3．已知函数f(x)＝6x－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,4)D．(4，＋∞)C[由题意知，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又f(1)＝6－0＝60，f(2)＝3－1＝20，f(4)＝64－log24＝32－2＝－120，由零点存在性定理，可知函数f(x)在区间(2,4)上必存在零点．]合作探究提素养“二分法”求方程的近似解【例1】证明：方程6－3x＝2x在区间(1,2)内有唯一一个实数解，并求出该实数解．(精确到0.1)思路点拨：构造函数fx＝2x＋3x－6→验证f1·f20→根据图象说明解唯一→利用二分法求近似解[解]分别画出函数y＝2x和y＝6－3x的图象，如图所示：在两个函数图象的交点处，函数值相等，因此，这个点的横坐标就是方程6－3x＝2x的解．由函数y＝2x和y＝6－3x的图象可以发现，方程6－3x＝2x有唯一解，记为x1，并且这个解在区间(1,2)上．设f(x)＝2x＋3x－6，用二分法逐次计算，得：f(1)0，f(2)0⇒x1∈(1,2)，f(1)0，f(1.5)0⇒x1∈(1,1.5)，f(1)0，f(1.25)0⇒x1∈(1,1.25)，f(1.125)0，f(1.25)0⇒x1∈(1.125,1.25)，f(1.1875)0，f(1.25)0⇒x1∈(1.1875,1.25)，f(1.21875)0，f(1.25)0⇒x1∈(1.21875，1.25)，f(1.21875)0，f(1.234375)0⇒x1∈(1.21875，1.234375)．因为1.21875与1.234375精确到0.1的近似值都为1.2，所以原方程的近似解为x1≈1.2.1．由方程的解与函数零点的等价性知，用二分法求方程的近似解问题可通过构造函数，转化为求函数的零点近似值问题．2．求方程f(x)＝g(x)的近似值注意的问题：①确定初始区间时，一般采用图象法，作函数y＝f(x)，y＝g(x)的图象，观察两个函数图象的交点的横坐标的取值范围；②实施二分法时，需构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，求F(x)＝0的近似解．1．求32的近似值(精确到0.1)．[解]32是x3＝2的根，因此可构造f(x)＝x3－2，问题转化为“求f(x)的零点的近似解”．用二分法求其零点．由f(1)＝－10，f(2)＝60.故可取区间[1,2]为计算的初始区间．用二分法逐次计算，如下：f(1)0，f(1.5)0⇒x1∈(1,1.5)，f(1.25)0，f(1.5)0⇒x1∈(1.25,1.5)，f(1.25)0，f(1.375)0⇒x1∈(1.25,1.375)，f(1.25)0，f(1.3125)0⇒x1∈(1.25,1.3125)，至此可见，区间[1.25,1.3125]上所有值精确到0.1均为1.3，所以1.3是32精确到0.1的近似值．使用二分法的注意事项[探究问题]1．使用二分法求方程近似解的理论依据是什么？[提示]理论依据是零点存在性定理．2．能用二分法求方程近似解的条件是什么？[提示]条件共三点：(1)f(x)图象连续不断；(2)起始的两个端点处的函数值异号；(3)每次区间等分后，必须有端点函数值异号．【例2】(1)下列函数没有零点的是________，在有零点的函数中，必须用二分法求零点的是________，一定不能用二分法求零点的是________．(填序号)①y＝x－7；②y＝12x－2；③y＝log4x＋3；④y＝2x＋x；⑤y＝x2；⑥y＝－2x2；⑦y＝－2x－1.(2)下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求零点的是________，能用二分法求零点的是________．(填序号)思路点拨：根据二分法的概念进行判断．(1)⑦④⑤⑥(2)①⑤②③④[(1)⑦中y0，故没有零点，①②③可通过解方程求零点，④必须用二分法，⑤⑥虽有零点，但零点左右两侧没有变号，故不能用二分法．(2)①⑤图中，与x轴交点两侧符号一致，不能用二分法，②③④均可用二分法，但④应该注意区间的选择．]判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不间断的，且该零点为变号零点(在零点两侧函数值的符号相反)．因此，用二分法求函数的零点的近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．2．(1)下面关于二分法的叙述，正确的是______．(填序号)①用二分法可求所有函数零点的近似值；②用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位；③二分法无规律可循；④只有在求函数零点时才用二分法．(2)观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是________．(填序号)(1)②(2)①[(1)只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故①错；二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故③错；求方程的近似解也可以用二分法，故④错．(2)由图象可知①中零点左侧与右侧的函数符号不同，故可用二分法求零点．]1．二分法求函数的零点，只适用于变号零点．当f(a)·f(b)0时，在[a，b]上也可能存在零点．2．用二分法求函数的近似零点(或方程的近似解)需注意两点(1)在探索初始区间时，区间长度不易过长，否则会导致计算量增大，出现错误．(2)求解过程中，区间两端点的值按要求精确到某一值xi时，是否具有相同的值，若相同即为所求，否则继续，直到满足要求为止.当堂达标固双基1．用“二分法”可求近似解，对于精确到ε的说法正确的是()A．ε越大，零点的精确度越高B．ε越大，零点的精确度越低C．重复计算次数就是εD．重复计算次数与ε无关B[依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．]2．在用二分法求函数f(x)零点近似值时，第一次取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是()A．[1,4]B．[－2,1]C．[－2,2.5]D．[－0.5,1]．D[因第一次所取的区间是[－2,4]，所以第二次所取的区间可能是[－2,1]，[1,4]；第三次所取的区间可能为[－2，－0.5]，[－0.5,1]，[1,2.5]，[2.5,4]，只有D在其中，故答案为D.]3．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)0，精确到0.1，取区间(2,4)的中点x1＝2＋42＝3，计算得f(2)·f(x1)0，则此时零点x0∈________(填区间)．(2,3)[由f(2)·f(3)0可知，x0∈(2,3)．]4．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：f(1.60000)＝0.200f(1.5875)＝0.133f(1.5750)＝0.067f(1.5625)＝0.003f(1.5562)＝－0.029f(1.5500)＝－0.060据此数据，求f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确到0.01)．[解]由表中f(1.5625)＝0.003，f(1.5562)＝－0.029，得f(1.5625)·f(1.5562)0.又因为1.5625和1.5562精确到0.01的近似值都为1.56，故f(x)＝3x－x－4的一个零点近似值为1.56.