2019-2020学年高中数学 第3章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2.2 对数函数（第2课时）

第3章指数函数、对数函数和幂函数3.2对数函数3.2.2对数函数第2课时对数函数的图象与性质的应用学习目标核心素养1.能正确判断图象之间的变换关系．(重点)2.理解并掌握对数函数的单调性．(重点)3.会用对数函数的相关性质解综合题．(难点)通过学习本节内容，提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.自主预习探新知1．平移变换当b＞0时，将y＝logax的图象向__平移__个单位，得到y＝loga(x＋b)的图象；向__平移__个单位，得到y＝loga(x－b)的图象．当b＞0时，将y＝logax的图象向__平移__个单位，得到y＝logax＋b的图象，将y＝logax的图象向__平移__个单位，得到y＝logax－b的图象．2．对称变换要得到y＝loga1x的图象，应将y＝logax的图象关于____对称．左b右b上b下bx轴为了得到函数y＝lgx＋310的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点_______________．向左平移3个单位，再向下平移1个单位[y＝lgx＋310＝lg(x＋3)－1，故将y＝lgx向左平移3个单位，再向下平移1个单位．]合作探究提素养对数函数的图象【例1】作出函数y＝|log2(x＋2)|＋4的图象，并指出其单调增区间．思路点拨：可先作出y＝log2x的图象，再左移2个单位得到y＝log2(x＋2)，通过翻折变换得到y＝|log2(x＋2)|，再向上平移4个单位即可．[解]步骤如下：(1)作出y＝log2x的图象，如图(1)．(2)将y＝log2x的图象沿x轴向左平移2个单位得到y＝log2(x＋2)的图象，如图(2)．(3)将y＝log2(x＋2)的图象在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴的上方得到y＝|log2(x＋2)|的图象，如图(3)．(4)将y＝|log2(x＋2)|的图象沿y轴方向向上平移4个单位，得到y＝|log2(x＋2)|＋4的图象，如图(4)．由图可知，函数的单调增区间为[－1，＋∞)．1．已知y＝f(x)的图象，求y＝|f(x＋a)|＋b的图象步骤如下：y＝f(x)→y＝f(x＋a)→y＝|f(x＋a)|→y＝|f(x＋a)|＋b.2．已知y＝f(x)的图象，求y＝|f(x＋a)＋b|的图象，步骤如下：y＝f(x)→y＝f(x＋a)→y＝f(x＋a)＋b→y＝|f(x＋a)＋b|.从上可以看出，作含有绝对值号的函数图象时，先将绝对值号内部的图象作出来，再进行翻折，内部变换的顺序是先变换x，再变换y.1．(1)若函数f(x)＝a－x(a0，a≠1)是定义域为R的增函数，则函数g(x)＝loga(x＋1)的图象大致是()(2)已知lga＋lgb＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是()(1)D(2)B[(1)因为函数f(x)＝a－x是定义域为R的增函数，所以0a1.另外g(x)＝loga(x＋1)的图象是由函数h(x)＝logax的图象向左平移1个单位得到的．(2)由lga＋lgb＝0，得lg(ab)＝0，所以ab＝1，故a＝1b，所以当0b1时，a1；当b1时，0a1.又因为函数y＝－logbx与函数y＝logbx的图象关于x轴对称．综合分析可知，B正确．]值域问题【例2】(1)已知函数f(x)＝2log12x的定义域为[2,4]，则函数f(x)的值域是________．(2)若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为________．(3)求函数f(x)＝log2(－x2－4x＋12)的值域．思路点拨：(1)中利用f(x)＝2log12x在定义域[2,4]上为减函数求解．(2)中y＝ax与y＝loga(x＋1)在[0,1]上具有相同的单调性，所以f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上是单调函数．(3)中注意考虑真数－x2－4x＋12的范围．(1)[－4，－2](2)12[∵f(x)＝2log12x在[2,4]上为减函数，∴x＝2时，f(x)max＝2log122＝－2；x＝4时，f(x)min＝2log124＝－4.∴f(x)的值域为[－4，－2]．(2)由题意得1＋loga1＋a＋loga2＝a，a＞0且a≠1，∴loga2＝－1，解得a＝12.](3)[解]∵－x2－4x＋12＞0，又∵－x2－4x＋12＝－(x＋2)2＋16≤16，∴0＜－x2－4x＋12≤16，故log2(－x2－4x＋12)≤log216＝4，∴函数的值域为(－∞，4]．求函数值域或最大小值的常用方法1直接法根据函数解析式的特征，从函数自变量的变化范围出发，通过对函数定义域、性质的观察，结合解析式，直接得出函数值域.2配方法当所给的函数是二次函数或可化为二次函数形式的形如y＝a[fx]2＋bfx＋c，求函数值域问题时，可以用配方法.3单调性法根据在定义域或定义域的某个子集上的单调性，求出函数的值域.4换元法求形如y＝logafx型函数值域的步骤：①换元，令u＝fx，利用函数图象和性质求出u的范围；②利用y＝logau的单调性、图象，求出y的取值范围.2．(1)函数f(x)＝log13(9－x2)的单调增区间为________，值域为______．(2)当x∈[3,27]时，函数f(x)＝log3x3·log3x9的值域为________．(1)(0,3)[－2，＋∞)(2)－14，2[(1)f(x)的定义域为9－x20⇒x29⇒－3x3，当x∈(－3,0)时，u(x)＝9－x2单调递增，∴f(x)单调递减．当x∈(0,3)时，u(x)＝9－x2单调递减，∴f(x)单调递增．∵9－x2∈(0,9]，∴log13(9－x2)≥log139＝－2.即函数的值域为[－2，＋∞)．(2)f(x)＝log3x3·log3x9＝(log3x－1)(log3x－2)＝(log3x)2－3log3x＋2＝log3x－322－14，令t＝log3x，∵x∈[3,27]，∴t∈[1,3]，∴f(x)max＝3－322－14＝2，f(x)min＝－14.∴函数值域为－14，2.]对数函数的综合问题【例3】已知函数f(x)＝lg(2－x)－lg(2＋x)．(1)求值：f12015＋f－12015；(2)判断f(x)的奇偶性；(3)判断函数的单调性并用定义证明．思路点拨：(1)利用代入法求解，(2)(3)用定义法判断奇偶性和单调性．[解](1)f12015＋f－12015＝lg2－12015－lg2＋12015＋lg2＋12015－lg2－12015＝0.(2)2－x0，2＋x0⇒－2x2，又f(－x)＝lg(2＋x)－lg(2－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(3)设－2x1x22，f(x1)－f(x2)＝lg2－x12＋x1－lg2－x22＋x2＝lg2－x12＋x22＋x12－x2，∵(2－x1)(2＋x2)－(2＋x1)(2－x2)＝4(x2－x1)0.又(2－x1)(2＋x2)0，(2＋x1)(2－x2)0，∴2－x12＋x22＋x12－x21，∴lg2－x12＋x22＋x12－x20.从而f(x1)f(x2)，故f(x)在(－2,2)上为减函数．对数函数性质的综合应用1．常见的命题方式对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最大(小)值以及不等式等问题综合命题，求解中通常会涉及对数运算．2．解此类问题的基本思路首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路．3．已知函数f(x)＝loga(x＋1)(a1)，若函数y＝g(x)图象上任意一点P关于原点对称的点Q在函数f(x)的图象上．(1)写出函数g(x)的解析式；(2)当x∈[0,1)时总有f(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范围．[解](1)设P(x，y)为g(x)图象上任意一点，则Q(－x，－y)是点P关于原点的对称点，∵Q(－x，－y)在f(x)的图象上，∴－y＝loga(－x＋1)，即y＝g(x)＝－loga(1－x)．(2)f(x)＋g(x)≥m，即logax＋11－x≥m.设F(x)＝loga1＋x1－x＝loga－1＋21－x，x∈[0,1)，由题意知，只要F(x)min≥m即可．∵F(x)在[0,1)上是增函数，∴F(x)min＝F(0)＝0.故m的取值范围为(－∞，0]．解对数不等式(或方程[探究问题]1．对数函数的单调性，内容是什么？[提示]对数函数y＝logax，当a1时，在(0，＋∞)上单调递增，当0a1时，在(0，＋∞)上单调递减．2．常数m能表示成对数形式吗？[提示]能．m＝logaam.3．在y＝logax中，a，x的要求是什么？[提示]a0且a≠1，x0.【例4】已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，其中(a0且a≠1)，设h(x)＝f(x)－g(x)．求函数h(x)的定义域，判断h(x)的奇偶性，并说明理由．思路点拨：根据对数函数的单调性求解即可，但应注意定义域的限制，在底不确定时应注意讨论．[解]∵f(x)＝loga(1＋x)的定义域为{x|x－1}，g(x)＝loga(1－x)的定义域为{x|x1}，∴h(x)＝f(x)－g(x)的定义域为{x|x－1}∩{x|x1}＝{x|－1x1}．∵h(x)＝f(x)－g(x)＝loga(1＋x)－loga(1－x)，∴h(－x)＝loga(1－x)－loga(1＋x)＝－[loga(1＋x)－loga(1－x)]＝－h(x)，∴h(x)为奇函数．1．(变条件)若f(x)变为loga1＋x1－x(a1)，求f(x)的定义域．[解]因为f(x)＝loga1＋x1－x，所以1＋x1－x0，即1＋x0，1－x0，或1＋x0，1－x0，所以－1x1.所以函数f(x)的定义域为(－1,1)．2．(变设问)在本例条件下，若f(3)＝2，求使h(x)0成立的x的集合．[解]∵f(3)＝loga(1＋3)＝loga4＝2，∴a＝2.∴h(x)＝log2(1＋x)－log2(1－x)，∴h(x)0等价于log2(1＋x)log2(1－x)，∴1＋x1－x，1＋x0，1－x0，解得－1x0.故使h(x)0成立的x的集合为{x|－1x0}．1．解对数方程不等式需考虑对数定义中的隐含条件：真数大于零，底数大于零且不等于1，再根据对数函数的单调性，把对数的不等式转化为真数的不等式，然后求交集即得原不等式的解集．2．当不等式中有两个变元时应分清主变元是谁．1．图象的左右平移是对自变量x作变化，和x前面的系数无关．如y＝lg2x图象向左平移3个单位得y＝lg2(x＋3)的图象，而不是y＝lg(2x＋3)的图象，上下平移是对函数值y作变化．2．解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用.当堂达标固双基1．若a0且a≠1，则函数y＝loga(x＋1)＋1的图象恒过定点的坐标为()A．(－1,1)B．(2,1)C．(0,1)D．(0，－1)C[将y＝logax左移1个单位，再上移1个单位，则得到y＝loga(x＋1)＋1的图象，由于y＝logax过定点(1,0)，故y＝loga(x＋1)＋1过定点(0,1)．]2．已知函数y＝f(2x)的定义域为[－1,2]，则函数y＝f(log2x)的定义域为________．[2，16][由题知x∈[－1,2]时，2x∈