2019-2020学年高中数学 第3章 直线与方程 3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点

数学必修②·人教A版新课标导学第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离公式1自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案自主预习学案小华以马路上的电线杆为起点，先向东走了5m，然后又向西走了8m，那么小华现在的位置离电线杆多远？对于这类问题，我们可以建立一个直线坐标系，确定出正、负方向，用向量的方式来解决．交点个数1．两条直线的交点坐标(1)求法：两直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可．(2)应用：可以利用两直线的________判断两直线的位置关系．一般地，将直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的方程联立，得方程组A1x＋B1y＋C1＝0A2x＋B2y＋C2＝0.当方程组________解时，l1和l2相交，方程组的解就是交点坐标；当方程组________解时，l1与l2平行；当方程组________解时，l1与l2重合．2．两点间的距离公式两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝___________________________.有唯一无有无数组x2－x12＋y2－y123．坐标法(1)定义：通过建立平面直角坐标系，用代数方法解决几何问题的方法称为坐标法．(2)步骤：①建立________，用坐标表示有关的量：②进行有关代数运算；③把代数运算结果“翻译”成几何关系．坐标系1．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为()A．(3,2)B．(2,3)C．(－2，－3)D．(－3，－2)B[解析]解方程组2x－y－1＝0x＋3y－11＝0，得x＝2y＝3.故选B．2．求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程．[解析]由方程组2x－3y－3＝0x＋y＋2＝0，解得x＝－35y＝－75.∵所求直线l和直线3x＋y－1＝0平行，∴直线l的斜率k＝－3，根据点斜式可得y－(－75)＝－3[x－(－35)]．即所求直线方程为15x＋5y＋16＝0.3．(2019·宜春高一检测)直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为()A．2x＋y＝0B．2x－y＝0C．x＋2y＝0D．x－2y＝0B[解析]解法1：由2x＋3y＋8＝0x－y－1＝0解得x＝－1y＝－2∴kl＝2.∴l的方程为y＋2＝2(x＋1)，即2x－y＝0.解法2：设l：2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0.∵l过原点，∴8－λ＝0，∴λ＝8，∴l方程为2x－y＝0.互动探究学案判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标：(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0；(3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0.[思路分析]题中给出了两条直线的方程，要判断它们的位置关系，只需看它们组成的方程组的解的个数．命题方向1⇨两直线的交点问题典例1[解析](1)解方程组2x＋y＋3＝0x－2y－1＝0，得x＝－1y＝－1，所以直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1)．(2)解方程组x＋y＋2＝0①2x＋2y＋3＝0②，①×2－②得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l1与l2无公共点，即l1∥l2.(3)解方程组x－y＋1＝0①2x－2y＋2＝0②，①×2得2x－2y＋2＝0，因此，①和②可以化为同一个方程，即①和②表示同一条直线．所以两直线重合．『规律方法』两条直线相交的判定方法：(1)两直线方程组成的方程组只有一组解，则两直线相交；(2)在两直线斜率都存在的情况下，若斜率不相等，则两直线相交．〔跟踪练习1〕(1)已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点坐标为()A．(－1，13)B．(1，13)C．(13，1)D．(－1，－13)(2)若两直线l1：x＋my＋12＝0与l2：2x＋3y＋m＝0的交点在y轴上，则m的值为()A．6B．－24C．±6D．以上都不对CC[解析](1)联立方程组3x＋4y－5＝03x＋5y－6＝0，解得x＝13y＝1，故交点为(13，1)．(2)分别令x＝0，求得两直线与y轴的交点分别为：－12m和－m3，由题意得－12m＝－m3，解得m＝±6.已知A(a,3)和B(3,3a＋3)的距离为5，求a的值．[思路分析]利用两点间距离公式列方程解得a的值．命题方向2⇨平面上两点间的距离典例2[解析]∵|AB|＝a－32＋3－3a－32＝5，即5a2－3a－8＝0，∴a＝－1或a＝85.『规律方法』两点间的距离公式|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22与两点的先后顺序无关，利用此公式可以将有关的几何问题转化为代数问题进行研究．我们求线段的长度时，常常使用两点间的距离公式．〔跟踪练习2〕解释代数式x＋12＋1＋x－32＋4的几何意义，并求它的最小值．[解析]∵x＋12＋1＋x－32＋4＝[x－－1]2＋[0－－1]2＋x－32＋0－22，∴代数式的几何意义为x轴上的点P(x,0)到点A(－1，－1)和点B(3,2)的距离之和，易知代数式的最小值为A，B两点间的距离，即d(A，B)＝3＋12＋2＋12＝5，故代数式的最小值为5.已知△ABC的三个顶点坐标是A(1，－1)、B(－1,3)、C(3,0)．(1)判断△ABC的形状；(2)求△ABC的面积．典例3[解析](1)如图，△ABC为直角三角形，下面进行验证解法一：∵|AB|＝－1－12＋[3－－1]2＝20＝25，|AC|＝3－12＋[0－－1]2＝5，|BC|＝[3－－1]2＋0－32＝25＝5，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，即△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．解法二：∵kAB＝3－－1－1－1＝－2，kAC＝0－－13－1＝12，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．(2)∵∠A＝90°，∴S△ABC＝12|AB|·|AC|＝5.『规律方法』三角形形状的判断方法：(1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定思考的方向．(2)在分析三角形的形状时，要从两个方面来考虑，一是考虑角的特征；二是考虑三角形边的长度特征．〔跟踪练习3〕已知点A(1,2)、B(3,4)、C(5,0)则△ABC的形状为()A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形C[解析]∵|AB|＝4－22＋3－12＝22，|AC|＝0－22＋5－12＝25，|BC|＝5－32＋0－42＝25，∴|AC|＝|BC|.又∵A、B、C三点不共线，∴△ABC为等腰三角形．直线方程的设法技巧与直线系方程直线方程中含有参数时，由于参数的变化，方程表示不同的直线，当参数取遍所有实数时，方程表示一簇平行或过定点的直线．(1)已知l：y＝kx＋b，与l平行的直线方程设为y＝kx＋b1；与l垂直的直线方程设为y＝－1kx＋b1(k≠0)．(2)已知l：Ax＋By＋C＝0，与l平行的直线方程设为Ax＋By＋C1＝0，(C1≠C)与l垂直的直线方程设为Bx－Ay＋C2＝0.(3)过定点P(x0，y0)的直线方程(斜率存在时)可设为y－y0＝k(x－x0)．(4)与x轴交于点(x0,0)的直线方程可设为x＝my＋x0.(5)若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1与l2相交于点P，则过点P的直线方程设为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括l2)．(6)斜率为k的直线方程设为y＝kx＋b.已知直线l1：x－2y＋3＝0，l2：2x＋3y－8＝0.求经过l1，l2的交点且与已知直线3x＋4y－2＝0平行的直线l的方程．[思路分析]可先求l1与l2的交点，再求过交点与已知直线平行的直线，也可以先写出所求直线的直线系方程，再利用平行条件确定参数的值．典例4[解析]解法一：解方程组：x－2y＋3＝02x＋3y－8＝0，得x＝1，y＝2，∴l1与l2的交点为(1,2)，∵直线l过点(1,2)且与直线3x＋4y－2＝0平行，∴设方程为3x＋4y＋C＝0(C≠－2)，把(1,2)代入得：C＝－11，∴所求方程为：3x＋4y－11＝0.解法二：∵l过l1与l2的交点，∴设l的方程为x－2y＋3＋λ(2x＋3y－8)＝0，即(2λ＋1)x＋(3λ－2)y＋(3－8λ)＝0，∵l与直线3x＋4y－2＝0平行，∴－2λ＋13λ－2＝－348λ－33λ－2≠12，∴λ＝10，∴l的方程为x－2y＋3＋10(2x＋3y－8)＝0，即3x＋4y－11＝0.〔跟踪练习4〕求过两直线3x＋4y－2＝0与2x＋y＋2＝0的交点且垂直于直线6x－7y－3＝0的直线方程．[解析]解法一：设过两直线交点的直线方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0.整理为一般式，得(3＋2λ)x＋(4＋λ)y－2＋2λ＝0，其斜率为－3＋2λ4＋λ.而直线6x－7y－3＝0的斜率为67，由垂直条件可得67×(－3＋2λ4＋λ)＝－1，解得λ＝2.故所求直线方程为(3＋2×2)x＋(4＋2)y－2＋2×2＝0，即7x＋6y＋2＝0.解法二：将两直线方程联立得3x＋4y－2＝0，2x＋y＋2＝0，解得x＝－2，y＝2，即两直线的交点坐标为(－2,2)．由于所求直线与直线6x－7y－3＝0垂直，故设所求直线的方程为7x＋6y＋m＝0.而此直线过点(－2,2)，所以7×(－2)＋6×2＋m＝0，所以m＝2.故所求的直线方程为7x＋6y＋2＝0.若三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0共有三个不同的交点，则a的取值范围为()A．a≠±1B．a≠1且a≠－2C．a≠－2D．a≠±1且a≠－2[错解]选A或选B[错因分析]在解题过程中，若只由解析中①处得a≠1且a≠－2，错选B，原因在于考虑问题不全面，只考虑三条直线相交于一点而忽视了任意两条平行或重合的情况．由解析②处得a≠±1，错选A，只考虑了三条直线斜率不相等的条件，忽视三条直线相交于一点的情况．因考虑问题不全面而致误典例5D[解析]因为三条直线有三个不同的交点，需三条直线两两相交且不共点，由条件不易直接求参数，可考虑从反面着手求解．(1)若三条直线交于一点，由x＋ay＋1＝0x＋y＋a＝0，解得x＝－a－1y＝1，将l2，l3的交点(－a－1,1)代入l1的方程解得a＝1或a＝－2.①(2)若l1∥l2，由a×a－1×1＝0，解a＝±1，②当a＝1时，l1与l2重合．(3)若l2∥l3，则由1×1－a×1＝0，解得a＝1，当a＝1，l2与l3重合．(4)若l1∥l3，则a×1－1×1＝0得a＝1，当a＝1时，l1与l3重合．综上，当a＝1时，三条直线重合；当a＝－1时，l1∥l2；当a＝－2时，三条直线交于一点，所以要使三条直线共有三个交点，需a≠±1且a≠－2.[正解]D1．直线l1：3x＋4y－2＝0与l2：2x＋y＋2＝0相交，则交点是()A．(2，－2)B．(－2,2)C．(－2,1)D．(－1,2)B[解析]由方程组3x＋4y－2＝02x＋y＋2＝0，解得x＝－2y＝2，即l1与l2的交点坐标为(－2,2)．2．已知点A(2k，－1)、B(k,1)，且|AB|＝13，则实数k等于()A．±3B．3C．－3D．0A[解析]由题意得2k－k2＋－1－12＝13，解得k＝±3.3．已知线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上，且线段AB的中点为C(