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数学必修②·人教A版新课标导学第三章直线与方程3．2直线的方程3.2.1直线的点斜式方程1自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案自主预习学案斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线．怎样表示直线的方程呢？1．直线的点斜式方程(1)定义：如下图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程_________________叫做直线l的点斜式方程．(2)说明：如下图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为________．y－y0＝k(x－x0)x＝x02．直线的斜截式方程(1)定义：如下图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程____________叫做直线l的斜截式方程．(2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的________.倾斜角是________的直线没有斜截式方程．y＝kx＋b截距90°强调：(1)截距是坐标，它可能是正数，也可能是负数，还可能是0，不能将其理解为“距离”．(2)并不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线x＝1没有纵截距，直线y＝2没有横截距．1．经过点(－3,2)，斜率为3的直线方程是()A．y＋2＝3(x－3)B．y－2＝33(x＋3)C．y－2＝3(x＋3)D．y＋2＝33(x－3)C[解析]由直线的点斜式方程的定义可知选项C正确．2．(2018·郑州一中检测)已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则()A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1B．直线经过点(－1,2)，斜率为1C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D．直线经过点(－1，－2)，斜率为1[解析]方程y＋2＝－x－1可写成y＋2＝－(x＋1)，根据点斜式方程的定义可知该直线的斜率为－1，过点(－1，－2)．C3．直线y＝－2x＋3的斜率是_______，在y轴上的截距是_____，在x轴上的截距是______．－2332[解析]斜率是－2；在y轴上的截距是3；令y＝0得x＝32，即在x轴上的截距是32．4．写出下列直线的点斜式方程并化成斜截式：(1)经过点A(2,5)，斜率是4；(2)经过点B(2,3)，倾斜角为45°．[解析](1)y－5＝4(x－2)，y＝4x－3．(2)k＝tan45°＝1，所以y－3＝x－2.即y＝x＋1．互动探究学案命题方向1⇨直线的点斜式方程求满足下列条件的直线的点斜式方程：(1)过点P(－4,3)，斜率k＝－3；(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；(3)过P(－2,3)、Q(5，－4)两点．典例1[解析](1)∵直线过点P(－4,3)，斜率k＝－3，由直线方程的点斜式得直线方程为y－3＝－3(x＋4)．(2)与x轴平行的直线，其斜率k＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y－(－4)＝0×(x－3)，即y＋4＝0．(3)过点P(－2,3)、Q(5，－4)的直线的斜率kPQ＝－4－35－－2＝－77＝－1．又∵直线过点P(－2,3)，∴直线的点斜式方程为y－3＝－(x＋2)．『规律方法』求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0、y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．点斜式方程y－y0＝k·(x－x0)可表示过点P(x0、y0)的所有直线，但x＝x0除外．〔跟踪练习1〕你能写出下列直线的点斜式方程吗？没有点斜式方程的直线和斜率为0的直线如何表示？(1)经过点A(－2,5)，斜率是3；(2)经过点B(2，－3)，倾斜角是135°；(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行；(4)经过点D(1,1)，与x轴垂直．[解析](1)y－5＝3(x＋2)．(2)k＝tan135°＝－1，∴y＋3＝－(x－2)．(3)y＝－1．(4)x＝1．命题方向2⇨直线的斜截式方程写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率是3，在y轴上的截距是－3；(2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；(3)倾斜角是150°，在y轴上的截距是0．典例2[解析](1)y＝3x－3．(2)∵k＝tan60°＝3，∴y＝3x＋5．(3)∵k＝tan150°＝－33，∴y＝－33x．『规律方法』斜截式是点斜式的特例，应用斜截式方程时，应注意斜率不存在的情形．当k≠0时，斜截式方程y＝kx＋b是一次函数的形式；而一次函数y＝kx＋b中，k是直线的斜率，常数b是直线在y轴上的截距．〔跟踪练习2〕写出满足下列条件的直线的方程．(1)斜率为5，在y轴上截距为－1，_______________；(2)倾斜角30°，在y轴上截距为3，________________．5x－y－1＝0x－3y＋3＝0[解析](1)方程为y＝5x－1，即5x－y－1＝0．(2)方程为y＝xtan30°＋3，即x－3y＋3＝0．直线(曲线)过定点问题——分离参数法与赋值法(1)当k取任意实数时，方程y－y0＝k(x－x0)表示恒过定点(x0，y0)的无数条直线．(2)方程y－y0＝k(x－x0)与方程k＝y－y0x－x0不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉P0(x0，y0)的一条直线．无论a取何值，直线y＝3a(x－1)＋4＋a恒过定点_________．[思路分析](1)联想直线方程的点斜式，可将参数a分离求解．(2)注意到a的任意性，可给a赋值求解．典例3[解析]解法1：将直线方程变形为y＝a(3x－2)＋4，则当3x－2＝0时，y＝4.∴x＝23y＝4即直线过定点23，4．23，4解法2：当a＝0时，y＝4；当a＝1时，y＝3x＋2.由y＝4y＝3x＋2得x＝23，y＝4.(1)将(1)式代入直线方程中检验知，点23，4在此直线上，因此，直线过定点23，4．当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？[错解]由题意，得a2－2＝－1，∴a＝±1．[错因分析]该解法只注意到两直线平行时斜率相等，而忽视了斜率相等的两直线还可能重合．[思路分析]要解决两直线平行的问题，一定要注意检验，看看两直线是否重合．[正解]∵l1∥l2，∴a2－2＝－1且2a≠2，解得a＝－1．典例4忽视两条直线平行的条件[警示](1)由斜率相等，解得参数a的值后要注意检验，排除两直线重合的情形；(2)已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔k1＝k2，b1≠b2．1．过点P(－2,0)，斜率为3的直线的方程是()A．y＝3x－2B．y＝3x＋2C．y＝3(x－2)D．y＝3(x＋2)[解析]由点斜式方程可知，直线的方程为y－0＝3(x＋2)，即y＝3(x＋2)，故选D．D2．(2019·抚顺高一检测)已知直线l与直线y＝12x＋4互相垂直，直线l在y轴上的截距与直线y＝x＋6在y轴上的截距相同，则直线l的方程为()A．y＝－2x＋6B．y＝2x＋6C．y＝12x＋6D．y＝－12x＋6A[解析]∵直线l与直线y＝12x＋4垂直，∴直线l的斜率k＝－2．又∵直线l的截距b＝6，∴直线l的方程为y＝－2x＋6．3．经过点P(－2,1)，且斜率为－1的直线方程为______________．[解析]由题意知，直线方程为y－1＝－(x＋2)，即x＋y＋1＝0．4．(2018·烟台质检)写出下列直线的方程．(1)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行；(2)经过点D(1,1)，且与x轴垂直．[点拨]注意斜率是否存在．[解析](1)由题意可知，直线的斜率k＝0，所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0，即y＝－1．(2)由题意可知，直线的斜率不存在，所以直线的方程为x＝1．x＋y＋1＝0