2019-2020学年高中数学 第3章 直线与方程 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定课件 新人教

数学必修②·人教A版新课标导学第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率3.1.2两条直线平行与垂直的判定1自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案自主预习学案过山车是一种富有刺激性的娱乐游戏，那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷．实际上，过山车运动包含了许多数学、物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理．过山车的铁轨是两条平行、起伏的轨道，你能感受到过山车中的平行吗？那么两条直线的平行用什么来刻画呢？1．两条直线平行对于两条不重合．．．的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有l1∥l2⇔k1＝k2．[归纳总结](1)当直线l1∥直线l2时，可能它们的斜率都存在且相等，也可能斜率都不存在．(2)直线l1、l2的斜率分别为k1、k2，当k1＝k2时，l1∥l2或l1与l2重合．(3)对于不重合的直线l1、l2，其倾斜角分别为α、β，有l1∥l2⇔α＝β．2．两条直线垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于_______；如果它们的斜率之积等于－1，那么它们____________．[归纳总结]当直线l1⊥直线l2时，可能它们的斜率都存在且乘积为定值－1，也可能一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0；较大的倾斜角总是等于较小倾斜角与直角的和．(1)平行：倾斜角相同，所过的点不同；(2)重合：倾斜角相同，所过的点相同；(3)相交：倾斜角不同；(4)垂直：倾斜角相差90°．－1互相垂直1．已知直线l1∥l2，直线l2的斜率k2＝3，则直线l1的斜率k1等于()A．可能不存在B．3C．13D．－13B[解析]∵直线l1∥l2，且l1、l2的斜率存在，∴k1＝k2＝3．2．已知直线l1的斜率k1＝2，直线l2的斜率k2＝－12，则l1与l2()A．平行B．垂直C．重合D．异面B[解析]∵k1＝2，k2＝－12，∴k1·k2＝－1，∴l1⊥l2．3．若l1与l2为两条直线，它们的倾斜角分别为α1、α2，斜率分别为k1、k2，有下列说法：(1)若l1∥l2，则斜率k1＝k2；(2)若斜率k1＝k2，则l1∥l2；(3)若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2；(4)若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2．其中正确说法的个数是()A．1B．2C．3D．4[解析]需考虑两条直线重合的特殊情况，(2)(4)都可能是两条直线重合，(1)(3)正确．B互动探究学案命题方向1⇨两直线平行关系的判断与应用根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．(1)l1经过点A(2,1)、B(－3,5)，l2经过C(3，－3)、D(8，－7)；(2)l1的倾斜角为60°，l2经过M(1，)，N(－2，－2)；(3)l1平行于y轴，l2经过P(0，－2)、Q(0,5)；(4)l1经过E(0,1)、F(－2，－1)，l2经过G(3,4)、H(2,3)．[思路分析]根据所给条件求出两直线的斜率，根据斜率是否相等进行判断，要注意斜率不存在及两直线重合的情况．典例1[解析](1)由题意知，k1＝5－1－3－2＝－45，k2＝－7＋38－3＝－45，所以l1与l2重合或平行．需进一步研究A、B、C、D四点是否共线．kBC＝5－－3－3－3＝－43≠－45，∴A、B、C、D四点不共线．∴l1∥l2．(2)由题意知，k1＝tan60°＝3，k2＝－23－3－2－1＝3，因为k1＝k2，所以，l1∥l2或l1与l2重合．(3)由题意知，l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1∥l2．(4)由题意知，k1＝－1－1－2－0＝1，k2＝3－42－3＝1，所以l1与l2重合或平行，需进一步研究A、B、C、D四点是否共线．kFG＝4－－13－－2＝1，∴A、B、C、D四点共线．故l1与l2不平行．『规律方法』判定两条直线平行的常用方法在判断两直线是否平行时，先看两直线的斜率是否存在，然后再进行判断，同时注意不要漏掉两直线重合的情况．设两条斜率存在且不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为α1，α2，则对应关系如下：前提条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔斜截式：k1＝k2；一般式：A1B2－A2B1＝0.l1∥l2⇔两直线斜率都不存在．图示〔跟踪练习1〕已知直线l1过点A(－1,1)和B(－2，－1)，直线l2过点C(1,0)和D(0，－2)，试判断直线l1与l2的位置关系．[解析]直线l1的斜率k1＝－1－1－2＋1＝2，直线l2的斜率k2＝－2－00－1＝2，k1＝k2，∵kAC＝1－0－1－1＝－12，所以l1∥l2．命题方向2⇨两条直线垂直关系的判断与应用判断下列各题中的直线l1、l2是否垂直：(1)l1经过点A(－1，－2)、B(1,2)，l2经过点P(－2，－1)、Q(2,1)；(2)l1经过点A(3,4)、B(3,6)，l2经过点P(－5,20)、Q(5,20)；(3)l1经过点A(2，－3)、B(－1,1)，l2经过点C(0，－1)、D(4,2)．典例2[解析](1)直线l1的斜率k1＝2－－21－－1＝2，直线l2的斜率k2＝1－－12－－2＝12，因为k1·k2＝1，所以l1与l2不垂直．(2)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率k2＝20－205－－5＝0，所以l1⊥l2．(3)直线l1的斜率k1＝1＋3－1－2＝－43，直线l2的斜率k2＝2－－14－0＝34，因为k1·k2＝－1，所以l1⊥l2．『规律方法』两直线垂直与斜率的关系对应关系l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔斜截式：k1·k2＝－1；一般式：A1A2＋B1B2＝0.l1与l2中的一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为零，则l1⊥l2.图示〔跟踪练习2〕已知四点A(－4,2)、B(6，－4)、C(12,6)、D(2,12)，则下面四个结论：①AB∥CD；②AB⊥CD；③AC∥BD；④AC⊥BD，其中正确结论的序号为()A．①③B．①④C．②③D．②④B[解析]直线AB、CD、BD、AC的斜率都存在，因为kAB＝－4－26－－4＝－35，kCD＝12－62－12＝－35，kAC＝6－212－－4＝14，kBD＝12－－42－6＝－4，所以kAB＝kCD，kACkBD＝－1，即AB∥CD，AC⊥BD．当直线上的点的坐标中含有未知参数时，参数取值的变化会导致直线位置关系的变化，处理问题时要根据参数的取值作分类讨论，分别考虑直线斜率存在与不存在两种情况．分类讨论思想已知两条直线l1：x＋(1＋a)y＋a－1＝0，l2：ax＋2y＋6＝0．(1)若l1∥l2，求a的值．(2)若ll⊥l2，求a的值．典例3[解析](1)当a＝－1时，直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为12，l1与l2既不平行，也不垂直，当a≠－1时，直线l1的斜率为－11＋a，直线l2的斜率为－a2，因为l1∥l2，所以－11＋a＝－a2，解得a＝1或a＝－2．当a＝1时，直线l1：x＋2y＝0，l2：x＋2y＋6＝0，l1与l2平行，当a＝－2时，直线l1与l2的方程都是x－y－3＝0，此时两直线重合，故a＝1．(2)因为l1⊥l2，所以(－11＋a)×(－a2)＝－1，解得a＝－23．经检验a＝－23符合题意，故a＝－23．〔跟踪练习3〕已知A(2,1)、B(－1，m)、C(－1,3)，若△ABC为直角三角形，则m的值为_____________．1或－72[解析]画出A，C两点，由于B，C两点横坐标都是－1，所以C不可能为直角．当∠B为直角时，由于B、C两点横坐标相同，故A、B两点纵坐标相等，可得m＝1；当∠A为直角时，由kAC·kAB＝3－1－1－2·m－1－1－2＝29(m－1)＝－1．得m＝－72.故答案为1或－72．已知直线l1经过点A(3，a)、B(a－2,3)，直线l2经过点C(2,3)、D(－1，a－2)，若l1⊥l2，求a的值．典例4考虑问题不周到，忽略特殊情形致误[错解]由l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，k1＝3－aa－5，k2＝a－5－3，得3－aa－5·a－5－3＝－1，解得a＝0．[错因分析]只有在两条直线斜率都存在的情况下，才有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，还有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在的情况也要考虑．[正解]由题意知l2的斜率一定存在，l2的斜率则可能为0，下面对a进行讨论．当k2＝0时，a＝5，此时k1不存在，所以两直线垂直．当k2≠0时，由k1·k2＝－1，得a＝0．所以a的值为0或5．1．下列说法正确的有()①若两直线斜率相等，则两直线平行；②若l1∥l2，则k1＝k2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；④若两直线斜率都不存在，则两直线平行．A．1个B．2个C．3个D．4个A[解析]当k1＝k2时，l1与l2平行或重合，故①不正确；当l1∥l2时，也可能两直线的斜率均不存在，故②不正确；两直线的倾斜角不相等，则一定相交，故③正确；两直线也可能重合，故④不正确，故选A．2．已知直线l1的斜率为a，l2⊥l1，则l2的斜率为()A．1aB．－1aC．aD．－1a或不存在D[解析]当a＝0时，l2斜率不存在，当a≠0时，l2斜率为－1a，故选D．3．已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)、B(1,0)、C(3,2)，则第四个顶点D的坐标为__________．(2,3)[解析]设第四个顶点D的坐标为(x，y)，∵AD⊥CD，AD∥BC，∴kAD·kCD＝－1，且kAD＝kBC．∴y－1x－0·y－2x－3＝－1y－1x－0＝2－03－1，解得x＝2y＝3．∴第四个顶点D的坐标为(2,3)．4．判断下列各对直线是平行还是垂直：(1)l1经过点A(0,1)、B(1,0)，l2经过点M(－1,3)、N(2，0)；(2)l1经过点A(－1，－2)、B(1,2)，l2经过点M(－2，－1)、N(0，－2)；(3)l1经过点A(1,3)、B(1，－4)，l2经过点M(2,1)、N(2，3)；(4)l1经过点A(3,2)、B(3，－1)，l2经过点M(1,1)、N(2，1)．[解析](1)k1＝0－11－0＝－1，k2＝3－0－1－2＝－1，∴k1＝k2．又kAM＝3－1－1－0＝－2≠k1，∴l1∥l2．(2)k1＝2＋21＋1＝2，k2＝－1＋2－2－0＝－12，∴k1k2＝－1.∴l1⊥l2．(3)l1的斜率不存在，l2的斜率也不存在，画出图形，如右图所示，则l1⊥x轴，l2⊥x轴，∴l1∥l2．(4)l1的斜率不存在，k2＝1－12－1＝0，画出图形，如下图所示，则l1⊥x轴，l2⊥y轴，∴l1⊥l2．5．已知A(－4,3)、B(2,5)、C(6,3)、D(－3,0)四点，若顺次连接A、B、C、D四点，试判定图形ABCD的形状．[解析]由题意知A、B、C、D四点在坐标平面内的位置，如右图，由斜率公式可得kAB＝5－32－－4＝13，kCD＝0－3－3－6＝13，kAD＝0－3－3－－4＝－3，kBC＝3－56－2＝－12．所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，所以AB∥CD，由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行．又因为kAB·kAD＝13×(－3)＝－1，所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形．