2019-2020学年高中数学 第3章 圆锥曲线与方程 4 4.2 圆锥曲线的共同特征 4.3 直线

第三章圆锥曲线与方程§4曲线与方程4.2圆锥曲线的共同特征4.3直线与圆锥曲线的交点学习目标：1.掌握圆锥曲线的共同特征．(重点)2.了解直线与圆锥曲线的三种位置关系．(重点)3.掌握求解直线与圆锥曲线有关问题的方法．(难点)自主预习探新知1．圆锥曲线的共同特征圆锥曲线共同特征e的值或范围椭圆0＜e＜1抛物线e＝1双曲线圆锥曲线上的点到的距离与它到的距离之比为定值ee＞1一个定点一条定直线思考：在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样的一个式子：a2－cx＝a（x－c）2＋y2，将其变形为：（x－c）2＋y2a2c－x＝ca.(1)你能解释这个式子的意义吗？(2)具有这个关系的点的轨迹一定是椭圆吗？[提示](1)这个式子表示一个动点P(x，y)到定点(c，0)与到定直线x＝a2c的距离之比等于定值ca.(2)不一定．当ac时，是椭圆，当a＝c时是抛物线，当ac时，是双曲线．思考：2.在圆锥曲线的统一定义中，定点F和定直线l是如何对应的？[提示]在统一定义中，若圆锥曲线是椭圆或双曲线，如果定点是左焦点，则定直线是左准线；如果定点是右焦点，则定直线是右准线．而抛物线有唯一一个焦点，对应唯一一条准线．也就是说，定点F和定直线l是“相对应”的．2．曲线的交点(1)设曲线C1：f(x，y)＝0，C2：g(x，y)＝0，求曲线C1与C2的交点，即求方程组f（x，y）＝0g（x，y）＝0的实数解．(2)直线与圆锥曲线的位置关系有三种：、和．①相离时，直线与圆锥曲线公共点；②相切时，直线与圆锥曲线有公共点；③相交时，直线与椭圆有个公共点，而拋物线和双曲线则可能有或两个交点．相切相交相离没有一个两一个1.判断正误(1)椭圆上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比可以是2.()(2)曲线上的点M(x，y)到定点(5，0)的距离和它到定直线l：x＝165的比是常数54，则曲线是双曲线．()(3)直线y＝x与抛物线y2＝x的交点是(0，0)与(1，1)．()[答案](1)×(2)√(3)√2．已知抛物线y2＝8x的弦AB过它的焦点，直线AB的斜率为2，则弦AB的长为()A．6B．8C．10D．12C[由y2＝8x得p＝4，焦点(2，0)，则直线方程为y＝2(x－2)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝2（x－2），y2＝8x，有x2－6x＋4＝0，∴x1＋x2＝6.∴|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋4＝10.]3．直线y＝kx－k＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．不确定A[因为直线过定点(1，1)，而(1，1)点在椭圆内部，故直线与椭圆必相交．]4．如果双曲线x216－y29＝1上一点P到右焦点的距离等于3，那么点P到右准线的距离是________．125[由题知a＝4，b＝3，c＝5，∴e＝54.由双曲线的第二定义，设所求距离为d，则3d＝54.∴d＝125.]合作探究提素养圆锥曲线的共同特征的应用【例1】(1)已知动点P(x，y)满足|3x－4y－1|5＝13（x－1）2＋（y－5）2，则动点P的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线(2)在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为()A.2B.22C.12D.24(3)椭圆x225＋y29＝1上有一点P，它到左准线的距离等于2.5，那么P到右焦点的距离为________．(1)B(2)B(3)8[(1)点P(x，y)到直线3x－4y－1＝0的距离为d＝|3x－4y－1|5；点P(x，y)到A(1，5)的距离为|PA|＝（x－1）2＋（y－5）2，∴|PA|d＝3＞1，∴点P的轨迹是双曲线．(2)结合题意，由椭圆第二定义知e＝221＝22.(3)设F1、F2分别为左、右焦点，P到左准线的距离d＝2.5，则P到左焦点的距离|PF1|＝e·d＝45×52＝2.∴|PF2|＝2a－|PF1|＝10－2＝8.]1．圆锥曲线的共同特征中，到定点的距离与到定直线的距离之比是一个常数，这本身就是一个几何关系．由此求曲线方程时，直接进行坐标的代换即可求出曲线方程．2．利用圆锥曲线的共同特征可将其上一点到焦点的距离与相应准线的距离进行转化，进而实现求解．1．根据下列条件分别求椭圆的标准方程．(1)经过点－1，455，且一条准线为直线x＝5；(2)两准线间的距离为1855，焦距为25.[解](1)因为椭圆的一条准线为直线x＝5，所以椭圆的焦点在x轴上．设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．根据题意，得1a2＋165b2＝1，a2a2－b2＝5，解得a2＝5，b2＝4或a2＝21，b2＝8425.故所求椭圆的标准方程为x25＋y24＝1或x221＋y28425＝1.(2)根据题意，得2·a2c＝1855，2c＝25，a2＝b2＋c2，解得a＝3，b＝2，c＝5.故所求椭圆的标准方程为x29＋y24＝1或x24＋y29＝1.直线与圆锥曲线的位置关系[探究问题]1．若直线与椭圆有一个公共点，则直线与椭圆相切．正确吗？[提示]正确．2．若直线与抛物线有一个公共点，则直线与抛物线一定相切吗？[提示]不一定．当直线与抛物线的对称轴平行时，也只有一个交点．3．过(2，0)点能作几条直线和双曲线x24－y23＝1仅有一个交点？[提示]3条．4．如何用代数法判断直线与圆锥曲线的位置关系？[提示]判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，可将直线l的方程代入曲线C的方程，消去y(或x)得一个关于变量x(或y)的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0.①当a≠0时，若Δ0，则直线l与曲线C相交；若Δ＝0，则直线l与曲线C相切；若Δ0，直线l与曲线C相离．②当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点．此时，若C为双曲线，则l平行于双曲线的渐近线；若C为抛物线，则l平行于抛物线的对称轴．③当直线与双曲线或抛物线只有一个公共点时，直线与双曲线或抛物线可能相切，也可能相交．【例2】已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：x24＋y22＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．[思路探究]联立方程，消去y(或x)转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用判别式的符号求解本题．[解]直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组y＝2x＋m，①x24＋y22＝1，②将①代入②得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，③判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)当Δ＞0，即－32＜m＜32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．(3)当Δ＜0，即m＜－32或m＞32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．1.(变条件)把本例条件换为“直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x”，当k为何值时，l与C有：(1)一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公共点．[解]直线l的方程与抛物线C的方程联立，得方程组y＝kx＋1y2＝4x，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，(*)当k＝0时，方程变为－4x＋1＝0，x＝14，此时y＝1，∴直线l与C只有一个公共点14，1，此时直线l平行于x轴．当k≠0时，方程(*)是一个一元二次方程，Δ＝(2k－4)2－4k2×1＝16－16k.①当Δ0，即k1时，且k≠0时，l与C有两个公共点，此时l与C相交；②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；③当Δ0，即k1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离．综上所述，(1)当k＝1或k＝0时，直线l与C有一个公共点；(2)当k1且k≠0时，直线l与C有两个公共点；(3)当k1时，直线l与C没有公共点．2.(变条件)把本例条件换为“直线l：y＝kx＋2，双曲线C：x2－4y2＝4”当k为何值时：(1)l与C无公共点？(2)l与C有唯一公共点？(3)l与C有两个不同的公共点？[解]将y＝kx＋2代入双曲线C的方程并整理，得(1－4k2)x2－16kx－20＝0.①当1－4k2≠0时，Δ＝(－16k)2－4(1－4k2)·(－20)＝16(5－4k2)．(1)当1－4k2≠0，Δ＜0，即k＜－52或k＞52时，l与C无公共点．(2)当1－4k2＝0，即k＝±12时，方程①只有一解；当1－4k2≠0且Δ＝0，即k＝±52时，方程①有两个相同的解．故当k＝±12或k＝±52时，l与C有唯一公共点．(3)当1－4k2≠0，Δ＞0，即－52＜k＜52且k≠±12时，方程①有两个不同的解，即此时l与C有两个不同的公共点．1．用判别式可以判断直线与圆锥曲线的位置关系，当Δ0时，直线与圆锥曲线相交；当Δ＝0时，直线与圆锥曲线相切；当Δ0时，直线与圆锥曲线相离．2．联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况．中点弦、弦长问题【例3】过点P(－1，1)的直线与椭圆x24＋y22＝1交于A，B两点，若线段AB的中点恰为点P，求AB所在的直线方程及弦长|AB|.[思路探究]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把A，B两点的坐标代入椭圆方程相减(点差法)再结合中点坐标公式求出直线AB的斜率，从而可求直线AB的方程，再联立方程求得A，B的坐标，根据两点间的距离公式求|AB|.[解]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由A，B两点在椭圆上得错误！两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)＋2(y1－y2)(y1＋y2)＝0.①显然x1≠x2，故由①得kAB＝y1－y2x1－x2＝－x1＋x22（y1＋y2）.因为点P是AB的中点，所以有x1＋x2＝－2，y1＋y2＝2.②把②代入①得kAB＝12，故AB的直线方程是y－1＝12(x＋1)，即x－2y＋3＝0.由x－2y＋3＝0，x24＋y22＝1，消去y得3x2＋6x＋1＝0.∴x1＋x2＝－2，x1x2＝13，|AB|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝（x1－x2）2＋[k（x1－x2）]2＝1＋k2（x1－x2）2＝1＋k2·（x1＋x2）2－4x1x2＝1＋14·243＝303.1．解决中点弦问题主要有如下两种方法：(1)根与系数的关系法：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解．提醒：“点差法”不能保证直线与圆锥曲线有两个交点，因此必须把求出的直线方程与圆锥曲线方程联立，看是否满足Δ0.(2)“点差法”：若直线l与圆锥曲线C有两个交点A和B，一般先设出交点坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入曲线方程，通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2，x1－x2，y1－y2，从而建立中点坐标和斜率的关系公式．2．利用根与系数的关系求直线与圆锥曲线相交弦长的步骤：①联立直线方程与圆锥曲线的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程；②设出交点坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用根与系数的关系求出x1＋x2，x1x2，③弦长|AB|1＋k2|x1－x2|或|AB|＝1＋1k2|y1－y2|(k≠0)．2．已知双曲线的一个焦点为F1(－3，0)，且渐近线为y＝±2x，过点A(2，1)的直线l与该双曲线交于P1，P2两点．(1)求线段P1P2的中点P的轨迹方程；(2)过点B(1，1)，能否作直线l′，使l′与已知双曲线交于Q1，Q2两点，且B是线段Q1Q2的中点？请说明理由．[解](1)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．∵c＝3，ba＝2⇒c2－a2a2＝2⇒3－a2a2＝2，∴a2＝1