搜索
第三章圆锥曲线与方程§4曲线与方程4.1曲线与方程学习目标：1.能够结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想．(重点)2.掌握求曲线方程的一般方法，进一步体会曲线与方程的关系，感受解析几何的思想方法．(难点)自主预习探新知1．方程与曲线的定义一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)都是这个方程的解；曲线上点的坐标(2)以这个方程的解为坐标的点都在，那么，这条曲线叫作，这个方程叫作．只有同时具备了上述两个性质，才能称为“方程的曲线”和“曲线的方程”．思考：曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解，能否说f(x，y)＝0是曲线C的方程？试举例说明．曲线的方程曲线上方程的曲线[提示]不能．还要验证以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点是否都在曲线上．例如曲线C为“以原点为圆心，以2为半径的圆的上半部分”与“方程x2＋y2＝4”，曲线上的点都满足方程，但曲线的方程不是x2＋y2＝4.2．方程与曲线的关系3．求曲线的方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件p的点M的集合P＝；(3)用表示条件p(M)，列出方程；(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点．有序实数对(x，y){M|p(M)}坐标f(x，y)＝0都在曲线上思考：求曲线的方程的某些步骤是否可以省略？[提示]可以省略．如果化简前后方程的解集是相同的，可以省略步骤说明，如有特殊情况，可以适当说明．另外，也可以根据情况省略步骤“写集合”，直接列出曲线方程．1.判断正误(1)过点P(x0，y0)斜率为k的直线的方程是y－y0x－y0＝k()(2)若点P(x0，y0)在曲线C上，则有f(x0，y0)＝0()(3)方程y＝x与y＝x2x表示同一条曲线()[答案](1)×(2)√(3)×2．下列点中，在曲线x＋25－y2＝0上的是()A．(4，3)B．(3，－4)C．(－4，3)D．(5，0)C[经检验，只有(－4，3)满足方程x＋25－y2＝0.]3．方程x2＋xy＝x表示的图形是()A．一个点B．一个点和一条直线C．一条直线D．两条直线D[由x2＋xy＝x变形得x(x＋y－1)＝0，∴x＝0或x＋y－1＝0，故选D.]4．在平面直角坐标系内，到原点距离为3的点M的轨迹方程为________．x2＋y2＝9[设M(x，y)，则x2＋y2＝3，∴x2＋y2＝9.]合作探究提素养曲线与方程的关系判断【例1】(1)判断点A(－4，3)，B(－32，－4)，C(5，25)是否在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上；(2)方程x2(x2－1)＝y2(y2－1)所表示的曲线是C，若点M(m，2)与点N32，n在曲线C上，求m，n的值．[解](1)把点A(－4，3)的坐标代入方程x2＋y2＝25中，满足方程，且点A的横坐标满足x≤0，则点A在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上．把点B(－32，－4)的坐标代入x2＋y2＝25，因为(－32)2＋(－4)2＝34≠25，所以点B不在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上．把点C(5，25)的坐标代入x2＋y2＝25，得(5)2＋(25)2＝25，满足方程，但因为横坐标5不满足x≤0的条件，所以点C不在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上．(2)因为点M(m，2)，N32，n在曲线C上，所以它们的坐标都是方程的解，所以m2(m2－1)＝2×1，34×－14＝n2(n2－1)，解得m＝±2，n＝±12或±32.1．判断点与曲线的位置关系要从曲线与方程的定义入手．(1)要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程即可；(2)若所给点在已知曲线上，则点的坐标适合已知曲线的方程，由此可求点或方程中的参数．2．判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验点的坐标是否都适合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上．1．下列图形的方程与图中曲线的方程对应正确的是()D[方程x2＋y2＝1表示的曲线是图(1)；方程x2－y2＝0表示的曲线是图(2)；方程lgx＋lgy＝1表示的曲线是图(3)；故选D.]由方程确定曲线【例2】下列方程分别表示什么曲线：(1)(x＋y－1)x－1＝0；(2)2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0；[解](1)由方程(x＋y－1)x－1＝0可得x－1≥0，x＋y－1＝0或x－1＝0，即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1.故方程表示一条射线x＋y－1＝0(x≥1)和一条直线x＝1.(2)对方程左边配方得2(x－1)2＋(y＋1)2＝0.∵2(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，∴2（x－1）2＝0，（y＋1）2＝0，解得x＝1，y＝－1.从而方程表示的图形是一个点(1，－1)．曲线的方程是曲线的代数体现，判断方程表示什么曲线，可根据方程的特点利用配方、因式分解等方法对已知方程变形，转化为我们熟知的曲线方程，在变形时，应保证变形过程的等价性．2．方程x(x2＋y2－1)＝0和x2＋(x2＋y2－1)2＝0所表示的图形是()A．前后两者都是一条直线和一个圆B．前后两者都是两点C．前者是一条直线和一个圆，后者是两点D．前者是两点，后者是一条直线和一个圆C[x(x2＋y2－1)＝0⇔x＝0或x2＋y2＝1，表示直线x＝0和圆x2＋y2＝1.x2＋(x2＋y2－1)2＝0⇔x＝0x2＋y2－1＝0⇔x＝0y＝±1表示点(0，1)，(0，－1)．]求曲线的方程[探究问题]1．“轨迹方程”与“轨迹”有什么异同？[提示](1)动点的轨迹方程实质上是建立轨迹上的点的坐标间的关系，即动点坐标(x，y)所适合的方程f(x，y)＝0.有时要在方程后根据需要指明变量的取值范围．(2)轨迹是点的集合，是曲线，是几何图形．故求点的轨迹时，除了写出方程外，还必须指出这个方程所代表的曲线的形状、位置、范围、大小等．2．求曲线的方程，其实质就是根据题设条件，把几何关系通过“坐标”转化成代数关系，得到对应的方程．求解时需要注意什么？[提示](1)求曲线方程的一般步骤是：建系、设点、列式、化简、检验．(2)求曲线方程时注意不要把范围扩大或缩小，也就是要检验轨迹的纯粹性和完备性．即由曲线求方程时，要注意准确确定范围，应充分挖掘题目中的隐含条件、限制条件，求出方程后要考虑相应的限制条件，避免因考虑不全面致误．(3)由于观察的角度不同，因此探求关系的方法也不同，解题时要善于从多角度思考问题．【例3】(1)已知点M(－2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是()A．x2＋y2＝4(x≠±2)B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝16D．x2＋y2＝16(x≠±4)(2)动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3，0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程．[思路探究](1)直接利用直角三角形的性质建立等量关系；(2)设点P的坐标(x，y)与点M(x0，y0)及点B(3，0)的坐标间满足：x＝x0＋32，y＝y02，代入曲线x2＋y2＝1中，化简即可．(1)A[由直角三角形斜边上中线等于斜边长的一半知|PO|＝2，即x2＋y2＝4，但M，N，P不能共线，故P点轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．](2)解：设P(x，y)，M(x0，y0)，因为P为MB的中点，所以x＝x0＋32，y＝y02，即x0＝2x－3，y0＝2y.又因为M在曲线x2＋y2＝1上，所以(2x－3)2＋4y2＝1，所以P点的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.1.(变条件)把本例(2)中的条件“M和定点B(3，0)连线的中点为P”改为“MP→＝2PB→”，求动点P的轨迹方程．[解]设点P的坐标(x，y)与点M(x0，y0)．由MP→＝2PB→可知(x－x0，y－y0)＝2(3－x，－y)，即x0＝3x－6，y0＝3y.又因为点M在曲线x2＋y2＝1上，所以(3x－6)2＋9y2＝1.2.(变条件)把本例(2)中的条件“M和定点B(3，0)连线的中点为P”改为“一动点P和定点B(3，0)连线的中点为M”，求动点P的轨迹方程．[解]设P(x，y)，M(x0，y0)．因为M为PB的中点．所以x0＝x＋32，y0＝y2.又因为M在曲线x2＋y2＝1上，所以x＋322＋y22＝1，化简得(x＋3)2＋y2＝4，所以P点的轨迹方程为(x＋3)2＋y2＝4.(1)直接法求动点轨迹的方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明．(2)代入法求解轨迹方程的步骤：①设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0)．②利用条件求出两动点坐标之间的关系x0＝f（x，y），y0＝g（x，y）.③代入相关动点的轨迹方程．④化简、整理，得所求轨迹方程．提醒：对于此类问题，在解题过程中，最容易出错的环节是求轨迹方程中自变量的取值范围．当堂达标固双基1．如果曲线C上的点的坐标满足方程F(x，y)＝0，则下列说法正确的是()A．曲线C的方程是F(x，y)＝0B．方程F(x，y)＝0的曲线是CC．坐标不满足方程F(x，y)＝0的点都不在曲线C上D．坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上C[原说法写成命题形式即“若点M(x，y)是曲线C上的点，则M点的坐标适合方程F(x，y)＝0”，其逆否命题是“若M点的坐标不适合方程F(x，y)＝0，则M点不在曲线C上”，此说法即C.]2．方程x2＋y2＝1(xy＜0)的曲线形状是()ABCDC[∵xy＜0，∴x＞0，y＜0或x＜0，y＞0.]3．点A(1，－2)在曲线x2－2xy＋ay＋5＝0上，则a＝________．5[由题意可知点(1，－2)是方程x2－2xy＋ay＋5＝0的一组解，即1＋4－2a＋5＝0，解得a＝5.]4．已知定点A(0，1)，直线l1：y＝－1，记过点A且与直线l1相切的圆的圆心为点C.则动点C的轨迹E的方程为________．x2＝4y[设动点C(x，y)，根据题意可知，点C到点A的距离与到直线l1：y＝－1的距离相等，所以动点C的轨迹是以A(0，1)为焦点以直线l1：y＝－1为准线的抛物线，所以轨迹E的方程为x2＝4y.]5．一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍．求动点P的轨迹方程．[解]设P(x，y)，则|8－x|＝2|PA|.则|8－x|＝2（x－2）2＋（y－0）2，化简，得3x2＋4y2＝48，故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.