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第三章圆锥曲线与方程§3双曲线3.2双曲线的简单性质学习目标：1.结合双曲线的图形掌握双曲线的简单几何性质．(重点)2.感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，体会数形结合思想．(难点)自主预习探新知双曲线的简单性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)图形范围________________________________对称性对称轴：_______对称中心：______顶点坐标______________________________________实轴和虚轴线段_______叫做双曲线的实轴；线段______叫做双曲线的虚轴渐近线___________________x≥a或x≤－ay≥a或y≤－a坐标轴原点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)A1A2B1B2y＝±baxy＝±abx标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)离心率e＝____，e∈__________a，b，c的关系c2＝___________(c＞a＞0，c＞b＞0)a2＋b2ca(1，＋∞)思考：双曲线开口大小与离心率存在怎样的对应关系？[提示]因为e＝ca＝a2＋b2a＝1＋b2a2，故当ba的值越大，渐近线y＝bax的斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大．1.判断正误(1)双曲线是轴对称图形．()(2)双曲线的离心率越大，它的开口越小．()(3)双曲线x24－y29＝1的虚轴长为4.()[答案](1)√(2)×(3)×2．双曲线2x2－y2＝－8的实轴长是()A．22B．42C．2D．4B[双曲线标准方程为y28－x24＝1，故实轴长为2a＝42.]3．双曲线x24－y29＝1的渐近线方程是()A．y＝±23xB．y＝±49xC．y＝±32xD．y＝±94xC[焦点在x轴上，a＝2，b＝3，渐近线方程为：y＝±bax，即y＝±32x.]4．双曲线x2－y2＝3的离心率为________．2[x2－y2＝3可化为x23－y23＝1，∴a＝b＝3，c2＝a2＋b2＝6，∴e＝ca＝63＝2.]合作探究提素养已知双曲线的标准方程求其简单性质【例1】(1)若实数k满足0＜k＜9，则曲线x225－y29－k＝1与曲线x225－k－y29＝1的()A．焦距相等B．实半轴长相等C．虚半轴长相等D．离心率相等(2)双曲线4x2－y2＝4的顶点坐标为________，离心率为________，渐近线方程为________．(1)A(2)(－1，0)，(1，0)5y＝±2x[(1)∵0＜k＜9，∴x225－y29－k＝1的实轴长为10，虚轴长为29－k，焦距为234－k，离心率34－k5.x225－k－y29＝1的实轴长为225－k，虚轴长为6，焦距为234－k，离心率34－k25－k.∴焦距相等．(2)将4x2－y2＝4变形为x2－y24＝1，∴a＝1，b＝2，c＝5，∴顶点坐标为(－1，0)，(1，0)，e＝ca＝5，渐近线方程为y＝±bax＝±2x.]1．由双曲线的方程研究性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键．(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的性质．2．把双曲线标准方程等号右边的1换成0，化简即可得到双曲线的渐近线方程．1．求双曲线nx2－my2＝mn(m0，n0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．[解]把方程nx2－my2＝mn(m0，n0)化为标准方程为x2m－y2n＝1(m0，n0)，由此可知，实半轴长a＝m，虚半轴长b＝n，c＝m＋n，焦点坐标为(m＋n，0)，(－m＋n，0)，离心率e＝ca＝m＋nm＝1＋nm，顶点坐标为(－m，0)，(m，0)，所以渐近线方程为y＝±nmx，即y＝±mnmx.利用双曲线的性质求双曲线的标准方程【例2】(1)已知双曲线的焦点在y轴上，实轴长与虚轴长之比为2︰3，且经过点P(6，2)，求双曲线方程；(2)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为53，且经过点M(－3，23)，求双曲线方程；(3)若双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，且两顶点间的距离是6，求双曲线方程．[解](1)设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)．由题意知ab＝23.又∵双曲线过点P(6，2)，∴4a2－6b2＝1，依题意可得ab＝234a2－6b2＝1，解得a2＝43b2＝3.故所求双曲线方程为34y2－13x2＝1.(2)设所求双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．∵e＝53，∴e2＝c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2＝259，∴ba＝43.由题意得ba＝439a2－12b2＝1，解得a2＝94b2＝4.∴所求的双曲线方程为x294－y24＝1.(3)设双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，即x2λ4－y2λ9＝1(λ≠0)，由题意得a＝3.当λ0时，λ4＝9，λ＝36，双曲线方程为x29－y24＝1；当λ0时，－λ9＝9，λ＝－81，双曲线方程为y29－4x281＝1.故所求双曲线方程为x29－y24＝1或y29－4x281＝1.(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．(2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧①焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．②焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)．③与双曲线x2a2－y2b2＝1共焦点的双曲线方程可设为x2a2－λ－y2b2＋λ＝1(λ≠0，－b2λa2)．④与双曲线x2a2－y2b2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．⑤渐近线为y＝kx的双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0)．⑥渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．2．(1)求与双曲线y24－x23＝1有共同的渐近线，且经过点M(3，－2)的双曲线的标准方程．(2)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率e＝233，过点A(0，－b)和B(a，0)的直线与原点的距离为32，求此双曲线的标准方程．[解](1)设所求双曲线的方程为y24－x23＝λ(λ≠0)．∵点M(3，－2)在双曲线上，∴44－93＝λ，即λ＝－2.∴双曲线的标准方程为x26－y28＝1.(2)∵e＝233，∴ca＝233，∴a2＋b2a2＝43，∴a2＝3b2.①又∵直线AB的方程为bx－ay－ab＝0，∴d＝aba2＋b2＝32，即4a2b2＝3(a2＋b2)．②解①②组成的方程组，得a2＝3，b2＝1.∴双曲线的标准方程为x23－y2＝1.与离心率、渐近线有关的性质问题[探究问题]1．若双曲线确定，则渐近线确定吗？反过来呢？[提示]当双曲线的方程确定后，其渐近线方程也就确定了；反过来，确定的渐近线却对应着无数条双曲线，如具有相同的渐近线y＝±bax的双曲线可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0，λ∈R)，当λ0时，焦点在x轴上，当λ0时，焦点在y轴上．2．已知双曲线的渐近线为y＝2x，如何求出该双曲线的离心率？[提示]由双曲线的渐近线为y＝2x可知，该双曲线的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，故离心率为5或52.【例3】(1)双曲线的渐近线方程为y＝±34x，则离心率为()A.54B.52C.53或54D.52或153(2)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线离心率的范围是________．[思路探究](1)分焦点在x轴上或在y轴上分别求出离心率；对于问题(2)可以通过图形借助直线与双曲线的关系，因为过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则必有ba≥tan60°.(1)C(2)[2，＋∞)[(1)当焦点在x轴上时ba＝34，∴e＝ca＝1＋b2a2＝54，当焦点在y轴上时，ba＝43，∴e＝ca＝1＋b2a2＝53，故选C.(2)因为双曲线渐近线的斜率为k＝ba，直线的斜率为k1＝tan60°＝3，故有ba≥3，所以e＝ca＝a2＋b2a2≥1＋3＝2，所以所求离心率的取值范围是e≥2.]1.(变条件)本例(1)的条件换成：已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为α，且π4απ3，则双曲线的离心率的取值范围是()A．(1，2)B．(2，2)C．(1，2)D．(2，22)B[∵双曲线的焦点在x轴上，故其渐近线方程为y＝bax，则tanα＝ba.∵π4απ3，∴1tanα3，即1ba3，∴1b2a2＝c2－a2a23，求得2ca2.故选B.]2.(变条件)本例(2)的条件换成：已知点F是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．(1，2)[如图，要使△ABE为锐角三角形，只需∠AEB为锐角，由双曲线对称性知△ABE为等腰三角形，从而只需满足∠AEF＜45°.又当x＝－c时，y＝b2a，∴tan∠AEF＝|AF||EF|＝b2a（a＋c）＜1，∴e2－e－2＜0，又e＞1，∴1＜e＜2.](1)求圆锥曲线的离心率的关键是探寻a与c的关系，因此由题目条件找到a，b，c三者中任意两个的等量关系，解方程，求得离心率的值即可．(2)求双曲线离心率的取值范围，关键是根据题目条件得到不等关系，在建立不等关系时，经常用到的结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c－a.当堂达标固双基1．双曲线y24－x29＝1的顶点坐标为()A．(0，2)(0，－2)B．(3，0)(－3，0)C．(0，2)(0，－2)(3，0)(－3，0)D．(0，2)(3，0)A[由双曲线的标准方程知焦点在y轴上，则顶点在y轴上，且a2＝4，则a＝2，从而顶点坐标为(0，2)，(0，－2)．]2．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于()A．－14B．－4C．4D.14A[双曲线方程化为标准形式：y2－x2－1m＝1，则有a2＝1，b2＝－1m，由题设条件知，2＝－1m，∴m＝－14.]3．设△ABC是等腰三角形，∠ABC＝120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为________．1＋32[由题意2c＝|BC|，所以|AC|＝2×2c×sin60°＝23c，由双曲线的定义，有2a＝|AC|－|BC|＝23c－2c⇒a＝(3－1)c，∴e＝ca＝13－1＝1＋32.]4．(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若F1A→＝AB→，F1B→·F2B→＝0，则C的离心率为________．25．求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)一个焦点为(0，13)，且离心率为135；(2)渐近线方程为y＝±12x，且经过点A(2，－3)．[解](1)由题意，知双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，因为ca＝135，所以a＝5，b＝c2－a2＝12.故所求双曲线的标准方程为y225－x2144＝1.(2)法一：因为双曲线的渐近线方程为y＝±12x，若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，则ba＝12.①因为点A(2，－3)在双曲线上，所以4a2－9b2＝1.②联立①②，无解．若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，则ab＝