2019-2020学年高中数学 第3章 圆锥曲线与方程 3 3.1 双曲线及其标准方程课件 北师大版

第三章圆锥曲线与方程§3双曲线3.1双曲线及其标准方程学习目标：1.掌握双曲线的定义及其应用．(重点)2.掌握双曲线的标准方程及其推导过程．(难点)3.会求双曲线的标准方程．(易混点)自主预习探新知1．双曲线的定义我们把平面内到两定点F1，F2的距离之等于(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．定点F1，F2叫作双曲线的，两个焦点之间的距离叫作双曲线的．焦距差的绝对值常数焦点思考：定义中为何强调“绝对值”和“02a|F1F2|”？[提示](1)双曲线的定义中若没有“绝对值”，则点的轨迹就是双曲线的一支，而双曲线是由两个分支组成的，故定义中的“绝对值”不能去掉．在双曲线的定义中，条件02a|F1F2|不应忽视，(2)若2a|F1F2|时，动点的轨迹是双曲线；若2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线；若2a|F1F2|时，轨迹不存在．2．双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)焦点F1(－c，0)，F2(c，0)__________________焦距|F1F2|＝2ca，b，c的关系c2＝_________F1(0，－c)，F2(0，c)a2＋b21.判断正误(1)平面内到两定点的距离的差等于非零常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．()(2)在双曲线标准方程x2a2－y2b2＝1中，a＞0，b＞0且a≠b.()(3)双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a＞b.()[答案](1)×(2)×(3)×2．已知两定点F1(－3，0)，F2(3，0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是()A．||PF1|－|PF2||＝5B．||PF1|－|PF2||＝6C．||PF1|－|PF2||＝7D．||PF1|－|PF2||＝0A[A中，∵|F1F2|＝6，∴||PF1|－|PF2||＝5|F1F2|，故动点P的轨迹是双曲线；B中，∵||PF1|－|PF2||＝6＝|F1F2|，∴动点P的轨迹是以F1或F2为端点的射线(含端点)；C中，∵||PF1|－|PF2||＝7|F1F2|，∴动点P的轨迹不存在；D中，∵||PF1|－|PF2||＝0，即|PF1|＝|PF2|，根据线段垂直平分线的性质，动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线，故选A.]3．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为()A.22，0B.52，0C.62，0D.3，0C[将双曲线方程化为标准形式x2－y212＝1，所以a2＝1，b2＝12，∴c＝a2＋b2＝62，∴右焦点坐标为62，0.]4．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为________．x225－y224＝1或y225－x224＝1[∵a＝5，c＝7，∴b2＝24所以该双曲线的标准方程为x225－y224＝1或y225－x224＝1.]合作探究提素养用待定系数法求双曲线的标准方程【例1】(1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点(3，－42)和94，5，求双曲线的标准方程；(2)求与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程．[解](1)设所求双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，则32a2－9b2＝1，25a2－8116b2＝1，解得a2＝16，b2＝9，∴双曲线的标准方程为y216－x29＝1.(2)法一：设所求双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，由题意易求得c＝25.又双曲线过点(32，2)，∴（32）2a2－4b2＝1.又∵a2＋b2＝(25)2，∴a2＝12，b2＝8.故所求双曲线方程为x212－y28＝1.法二：设双曲线方程为x216－k－y24＋k＝1(－4k16)，将点(32，2)代入得k＝4，∴所求双曲线方程为x212－y28＝1.待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式：①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB0)．②与双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)共焦点的双曲线的标准方程可设为x2a2－k－y2b2＋k＝1(－b2ka2)．(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值．(4)结论：写出双曲线的标准方程．1．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点P3，154，Q－163，5；(2)c＝6，经过点(－5，2)，焦点在x轴上．(3)与椭圆x225＋y25＝1共焦点且过点(32，2)．[解](1)法一：若焦点在x轴上，设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，由于点P3，154和Q－163，5在双曲线上，所以9a2－22516b2＝1，2569a2－25b2＝1，解得a2＝－16，b2＝－9，(舍去)．若焦点在y轴上，设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，将P，Q两点坐标代入可得22516a2－9b2＝1，25a2－2569b2＝1，解得a2＝9，b2＝16，所以双曲线的标准方程为y29－x216＝1.综上，双曲线的标准方程为y29－x216＝1.法二：设双曲线方程为x2m＋y2n＝1(mn0)．∵P，Q两点在双曲线上，∴9m＋22516n＝1，2569m＋25n＝1，解得m＝－16，n＝9.∴所求双曲线的标准方程为y29－x216＝1.(2)法一：依题意可设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．则有a2＋b2＝6，25a2－4b2＝1，解得a2＝5，b2＝1，∴所求双曲线的标准方程为x25－y2＝1.法二：∵焦点在x轴上，c＝6，∴设所求双曲线方程为x2λ－y26－λ＝1(0λ6)．∵双曲线经过点(－5，2)，∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求双曲线的标准方程是x25－y2＝1.(3)椭圆x225＋y25＝1的焦点坐标为(25，0)，(－25，0)．依题意，则所求双曲线焦点在x轴上，可以设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，则a2＋b2＝20.又∵双曲线过点(32，2)，∴18a2－2b2＝1.∴a2＝20－210，b2＝210.∴所求双曲线的标准方程为x220－210－y2210＝1.用定义法求双曲线的标准方程【例2】已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．[思路探究]利用两圆内、外切的充要条件找出M点满足的几何条件，结合双曲线定义求解．[解]如图，设动圆M的半径为r，则由已知|MC1|＝r＋2，|MC2|＝r－2，∴|MC1|－|MC2|＝22.又C1(－4，0)，C2(4，0)，∴|C1C2|＝8，∵22＜|C1C2|.根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(－4，0)，C2(4，0)为焦点的双曲线的右支．∵a＝2，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14，∴点M的轨迹方程是x22－y214＝1(x≥2)．1．本题易忽略|MC1|－|MC2|＝22没有“绝对值”，导致忘加“x≥2”这个限制条件．2．求曲线的轨迹方程时，应尽量利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量．在运用双曲线定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，需用变量的范围确定．2．在△ABC中，B(4，0)，C(－4，0)，动点A满足sinB－sinC＝12sinA．求点A的轨迹．[解]在△ABC中，sinB－sinC＝12sinA，∴|AC|－|AB|＝12|BC|.又∵B(4，0)，C(－4，0)，∴|BC|＝8.∴|AC|－|AB|＝4＜|BC|.∴点A的轨迹是以B，C为焦点的双曲线的右支(除去与B，C共线的一点)．其方程为x24－y212＝1(x＞2)．双曲线定义的应用[探究问题]如图所示，已知F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1的左，右焦点，点M为双曲线上一点，并且∠F1MF2＝θ.(1)点M与F1，F2之间存在怎样的等量关系？若点M在双曲线的右支上，则|MF2|应满足什么条件？[提示]点M与F1，F2之间的等量关系为：||MF1|－|MF2||＝2a；当点M在双曲线的右支上时，|MF2|≥c－a.(2)如何求△MF1F2的面积？[提示]在△MF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1|·|MF2|·cosθ.①∵|F1F2|2＝4c2，|MF1|2＋|MF2|2＝(|MF1|－|MF2|)2＋2|MF1|·|MF2|＝4a2＋2|MF1|·|MF2|，∴①式化为4c2＝4a2＋2|MF1|·|MF2|(1－cosθ)，∴|MF1|·|MF2|＝2b21－cosθ，∴S△MF1F2＝12|MF1|·|MF2|·sinθ＝b2sinθ1－cosθ＝b2·2sinθ2·cosθ21－1－2sin2θ2＝b2tanθ2.【例3】若F1，F2是双曲线x29－y216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(2)如图，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．[思路探究](1)利用双曲线的定义求解；(2)先求出||PF1|－|PF2||＝2a；再利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式，求出|PF1|·|PF2|的值，代入S△PF1F2＝12×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．[解]双曲线的标准方程为x29－y216＝1，故a＝3，b＝4，c＝a2＋b2＝5.(1)由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.故点M到另一个焦点的距离为10或22.(2)将||PF2|－|PF1||＝2a＝6两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝100－1002×32＝0，且∠F1PF2∈(0°，180°)，∴∠F1PF2＝90°，∴SΔF1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝12×32＝16.1.(变条件)若本例(1)中条件“距离等于16”改成“距离为7”，求点P到F2的距离．[解]由双曲线的标准方程x29－y216＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.由双曲线定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，∴|7－|MF2||＝6，解得|MF2|＝1或|MF2|＝13.又因为|MF2|≥5－3＝2，故|MF2|＝1舍去，所以|MF2|＝13.2.(变条件)若本例(2)条件“|PF1|·|PF2|＝32”改成“|PF1|∶|PF2|＝2∶5”其它条件不变，求△F1PF2的面积．[解]由|PF1|∶|PF2|＝2∶5|PF2|－|PF1|＝6，可知|PF2|＝10，|PF1|＝4，∴S△F1PF2＝12×4×46＝86.3.(变条件)若本例(2)条件“|PF1|·|PF2|＝32”改成“∠F1PF2＝60°”，求△F1PF2的面积．[解]由x29－y216＝1得，a＝3，b＝4，c＝5.由双曲线的定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，|