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第三章数系的扩充与复数3.2复数的运算3.2.1复数的加法与减法学习目标核心素养1．掌握复数的加减法运算法则，能熟练地进行复数的加减运算．(重点)2.理解复数加减法运算的几何意义，能解决相关的问题．(难点、易混点)通过复数的加法与减法的学习，提升学生的数学运算素养.自主预习探新知一、复数代数形式的加减法1．运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝.2．加法运算律设z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝，(z1＋z2)＋z3＝．(a－c)＋(b－d)iz2＋z1z1＋(z2＋z3)二、复数加减法的几何意义若复数z1，z2对应的向量分别为OZ1→，OZ2→.复数加法的几何意义复数z1＋z2是以OZ1→，OZ2→为邻边的平行四边形的对角线OZ→所对应的复数复数减法的几何意义复数z1－z2是从向量OZ2→的终点指向向量OZ1→的终点的向量Z2Z1→所对应的复数1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)复数与向量一一对应．()(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．()(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．()[答案](1)×(2)×(3)×2．已知向量OZ→1对应的复数为2－3i，向量OZ→2对应的复数为3－4i，则向量Z1Z2→对应的复数为__________．[解析]Z1Z2→＝OZ→2－OZ→1＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i.[答案]1－i3．已知z1＝3＋4i，z2＝4－3i，则(z1＋z2)－(z1＋z2)＝_______.[解析]z1＋z2＝3＋4i＋4－3i＝7＋i，z1＋z2＝3－4i＋4＋3i＝7－i，∴(z1＋z2)－(z1＋z2)＝7＋i－(7－i)＝2i.[答案]2i合作探究提素养复数的加减法运算【例1】(1)13＋12i＋(2－i)－43－32i＝________.(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.(3)已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，求z.(1)[解析]13＋12i＋(2－i)－43－32i＝13＋2－43＋12－1＋32i＝1＋i.[答案]1＋i(2)解：法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z＋1－3i＝5－2i，所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i，即x＋1＝5且y－3＝－2，解得x＝4，y＝1，所以z＝4＋i.法二：因为z＋1－3i＝5－2i，所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.(3)解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝x2＋y2，又|z|＋z＝1＋3i，所以x2＋y2＋x＋yi＝1＋3i，由复数相等得x2＋y2＋x＝1，y＝3，解得x＝－4，y＝3，所以z＝－4＋3i.1．复数加减运算法则的记忆(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)把i看作一个字母，类比多项式加减运算中的合并同类项．2．当一个等式中同时含有|z|与z时，一般要用待定系数法，设z＝a＋bi(a，b∈R)．1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于()A．－1＋iB．1－iC．iD．－i[解析](1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i.故选A.[答案]A复数加减法的几何意义【例2】(1)在复平面内，平行四边形ABCD(顶点顺序为ABCD)的三个顶点A，B，C对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，则点D对应的复数为__________．(2)已知z1，z2∈C，|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝3，求|z1－z2|.[思路探究](1)先写出点A，B，C的坐标，利用向量AB→＝DC→列方程求解．(2)由复数的几何意义，画出图形，利用平行四边形解决．(1)[解析]设D(x，y)，类比向量的运算知AB→＝DC→，所以有复数－i－(1＋3i)＝2＋i－(x＋yi)，得x＝3，y＝5，所以D对应的复数为3＋5i.[答案]3＋5i(2)解：设复数z1，z2，z1＋z2在复平面上对应的点分别为Z1，Z2，Z，由|z1|＝|z2|＝1知，以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形是菱形，在△OZ1Z中，由余弦定理，得cos∠OZ1Z＝|z1|2＋|z2|2－|z1＋z2|22|z1||z2|＝－12，所以∠OZ1Z＝120°，所以∠Z1OZ2＝60°，因此△OZ1Z2是正三角形，所以|z1－z2|＝|Z2Z1|＝1．若把上例(2)中的条件“|z1＋z2|＝3”改为“|z1－z2|＝1”，则|z1＋z2|等于多少？[解]设复数z1，z2在复平面上对应的点分别为Z1，Z2，由|z1|＝|z2|＝1，|z1－z2|＝1知，以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形是菱形OZ1ZZ2，OZ为对角线，△OZ1Z2为正三角形，由余弦定理，得|z1＋z2|2＝|z1|2＋|z2|2－2|z1|·|z2|cos∠OZ1Z，因为∠Z1OZ2＝60°，所以∠OZ1Z＝120°，所以|z1＋z2|＝3.利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论1．技巧(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．2．常见结论在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：(1)为平行四边形；(2)若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；(3)若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；(4)若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．复数加减法的几何意义的应用[探究问题]1．在实数范围内a－b＞0⇔a＞b恒成立，在复数范围内是否有z1－z2＞0⇒z1＞z2恒成立呢？提示：若z1，z2∈R，则z1－z2＞0⇒z1＞z2成立．否则z1－z2＞0⇒z1＞z2.如果z1＝1＋i，z2＝i，虽然z1－z2＝1＞0，但不能说1＋i大于i.2．复数|z1－z2|的几何意义是什么？提示：复数|z1－z2|表示复数z1，z2对应两点Z1与Z2间的距离．【例3】复平面内点A，B，C对应的复数分别为i,1,4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作ABCD，求|BD→|.[思路探究]首先由A，C两点坐标求解出AC的中点坐标，然后再由点B的坐标求解出点D的坐标．[解]如图，设D(x，y)，F为ABCD的对角线的交点，则点F的坐标为2，32，所以x＋1＝4，y＋0＝3，即x＝3，y＝3.所以点D对应的复数为z＝3＋3i，所以BD→＝OD→－OB→＝3＋3i－1＝2＋3i，所以|BD→|＝13.1．解决此类问题的关键是由题意正确地画出图形，然后根据三角形法则或平行四边形法则借助复数相等即可求解．2．复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．2．已知z∈C，且|z＋3－4i|＝1，求|z|的最大值与最小值．[解]由于|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|＝1，所以在复平面上，复数z对应的点Z与复数－3＋4i对应的点C之间的距离等于1，故复数z对应的点Z的轨迹是以C(－3,4)为圆心，半径等于1的圆．而|z|表示复数z对应的点Z到原点O的距离，又|OC|＝5，所以点Z到原点O的最大距离为5＋1＝6，最小距离为5－1＝4.即|z|最大值＝6，|z|最小值＝4.当堂达标固双基1．(2019·全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A．(x＋1)2＋y2＝1B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．x2＋(y＋1)2＝1[答案]C2．设复数z＝a＋bi对应的点在虚轴右侧，则()A．a0，b0B．a0，b0C．b0，a∈RD．a0，b∈R[解析]复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，虚部可为任意实数．[答案]D3．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝________.[解析]设z＝x＋yi(x，y∈R)，∴x2＋y2＝3①，且z＋3i＝x＋yi＋3i＝x＋(y＋3)i是纯虚数，则x＝0，y＋3≠0，由①可得y＝3.∴z＝3i.[答案]3i4．若|z－2|＝|z＋2|，则|z－1|的最小值是________.[解析]由|z－2|＝|z＋2|，知z对应点的轨迹是到(2,0)与到点(－2,0)距离相等的点即虚轴，|z－1|表示z对应的点到点(1,0)的距离，∴|z－1|最小值＝1．[答案]15．集合M＝{z||z－1|≤1，z∈C}，N＝{z||z－1－i|＝|z－2|，z∈C}，集合P＝M∩N.(1)指出集合P在复平面内所表示的图形；(2)求集合P中复数模的最大值和最小值．[解](1)由|z－1|≤1可知，集合M在复平面内所对应的点集是以点E(1,0)为圆心，以1为半径的圆的内部及边界；由|z－1－i|＝|z－2|可知，集合N在复平面内所对应的点集是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线l，因此，集合P在复平面内所表示的图形是圆面截直线l所得的一条线段AB，如图．(2)由(1)知，圆的方程为x2＋y2－2x＝0，直线l的方程为y＝x－1．解方程组x2＋y2－2x＝0，y＝x－1，得A2＋22，22，B2－22，－22.所以|OA|＝2＋2，|OB|＝2－2.因为点O到直线l的距离为22，且过点O向l作垂线，垂足在线段BE上，222－2，所以集合P中复数模的最大值为2＋2，最小值为22.