2019-2020学年高中数学 第3章 三角恒等变形章末总结归纳课件 北师大版必修4

第三章三角恒等变形章末总结归纳三角恒等变形同角三角函数的基本关系：sin2α＋cos2α＝1，tanα＝sinαcosα差角公式cosα－β＝cosαcosβ＋sinαsinβsinα－β＝sinαcosβ－cosαsinβtanα－β＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ和角公式cosα＋β＝cosαcosβ－sinαsinβsinα＋β＝sinαcosβ＋cosαsinβtanα＋β＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ三角恒等变形二倍角公式cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2αsin2α＝2sinαcosαtan2α＝2tanα1－tan2α半角公式sinα2＝±1－cosα2cosα2＝±1＋cosα2tanα2＝sinα2cosα2＝±1－cosα1＋cosα＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα1三角函数求值问题专题三角函数求值主要有三种类型，即：(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式．(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要注意角的范围．(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．已知sinπ4－x＝5130＜x＜π4，求cos2xcosπ4＋x的值．【解】解法一：易求得cosπ4－x＝1213.所以cos2x＝sinπ2－2x＝2sinπ4－x·cosπ4－x＝120169.又cosπ4＋x＝cosπ2－π4－x＝sinπ4－x＝513，所以cos2xcosπ4＋x＝2413.解法二：易求得cosπ4－x＝1213，sinπ4＋x＝sinπ2－π4－x＝cosπ4－x＝1213.原式＝sinπ2＋2xcosπ4＋x＝sin2π4＋xcosπ4＋x＝2sinπ4＋x＝2413.解法三：易求得cosπ4－x＝1213，cos2xcosπ4＋x＝cos2x－sin2xcosπ4＋x＝sinx＋cosxcosx－sinxcosπ4＋x＝2cosπ4－x·2cosπ4＋xcosπ4＋x＝2cosπ4－x＝2413.已知tan2θ＝－22，π＜2θ＜2π.(1)求tanθ的值；(2)求2cos2θ2－1－sinθ2sinθ＋π4的值．【解】(1)∵tan2θ＝－22，∴2tanθ1－tan2θ＝－22，∴tanθ＝2或tanθ＝－22.∵π2＜θ＜π，∴tanθ＜0，∴tanθ＝－22.(2)∵2cos2θ2－sinθ－12sinθ＋π4＝cosθ－sinθsinθ＋cosθ，∴原式＝1－tanθtanθ＋1＝1＋221－22＝2＋22－2＝3＋22.2三角函数的化简与证明专题由于三角函数式中包含着各种不同的角和不同的函数种类以及不同的式子结构，所以在三角函数的化简与证明中，应充分利用所学的三角函数的和、差、倍、半角等公式，首先从角入手，找出待化简(证明)的式子的特点，然后选择适当的公式“化异为同”，实现三角函数的化简与证明．化简三角函数式的要求：1．能求出值的应求出值；2．使三角函数的种数尽量少；3．使项数尽量少；4．尽量使分母不含三角函数；5．尽量使被开方数不含三角函数；6．次数尽量低．化简2sin130°＋sin100°1＋3tan370°1＋cos10°.【解】原式＝2sin50°＋sin80°1＋3tan10°1＋cos10°＝2sin50°＋cos10°×cos10°＋3sin10°cos10°2cos25°＝2sin50°＋212cos10°＋32sin10°2|cos5°|＝2sin50°＋2sin30°＋10°2cos5°＝2[sin45°＋5°＋sin45°－5°]2cos5°＝2sin45°cos5°＋cos45°sin5°＋sin45°cos5°－cos45°sin5°2cos5°＝4sin45°cos5°2cos5°＝2.求证：tanθ1＋sinθ＋sinθtanθ1＋sinθ－sinθ＝tanθ＋sinθtanθsinθ.【证明】左边＝sinθcosθ1＋sinθ＋sinθsinθcosθ1＋sinθ－sinθ＝sinθ1＋sinθ＋sinθcosθsinθ1＋sinθ－sinθcosθ＝1＋sinθ＋cosθ1＋sinθ－cosθ＝1＋cosθ＋sinθ1－cosθ＋sinθ＝2cos2θ2＋2sinθ2cosθ22sin2θ2＋2sinθ2cosθ2＝2cosθ2cosθ2＋sinθ22sinθ2cosθ2＋sinθ2＝1tanθ2，右边＝sinθcosθ＋sinθsinθcosθsinθ＝sinθ＋sinθcosθsin2θ＝1＋cosθsinθ＝1tanθ2，∴左边＝右边，故原等式成立.3三角恒等变换综合应用专题三角恒等变形的基本规律：(1)基本方向是变角、变函数、变结构；(2)基本技巧是弦切互化，异名化同名，异角化同角(角分析法)；升幂或降幂，分式通分，无理化有理，常数的处理(如1的代换)；变量集中(引进辅助角)．如acosθ＋bsinθ＝a2＋b2sin(θ＋φ)(φ为辅助角)；(3)基本目标是复角化单角，异名化同名，转换运算形式试着相约或相消，达到项数尽量少，种类(名称)尽量少，次数尽量低，分母中尽量不含三角函数，尽可能不带根号，能求出值的求出值来，绝对值要讨论．已知函数f(x)＝sin2x＋π6＋sin2x－π6＋2cos2x.(1)求f(x)的最大值及最小正周期；(2)求使f(x)≥2的x的取值范围．【解】(1)∵f(x)＝sin2x＋π6＋sin2x－π6＋2cos2x＝sin2xcosπ6＋cos2xsinπ6＋sin2xcosπ6－cos2xsinπ6＋cos2x＋1＝3sin2x＋cos2x＋1＝2sin2x＋π6＋1，∴当sin2x＋π6＝1时，f(x)max＝2＋1＝3，T＝2π|ω|＝2π2＝π.(2)∵f(x)≥2，∴2sin2x＋π6＋1≥2，∴sin2x＋π6≥12，∴2kπ＋π6≤2x＋π6≤2kπ＋5π6(k∈Z)，∴kπ≤x≤kπ＋π3(k∈Z)，∴f(x)≥2的x的取值范围是xkπ≤x≤kπ＋π3，k∈Z.已知：函数f(x)＝2sinx4·cosx4＋3cosx2.(1)求函数f(x)的最小正周期及最值；(2)令g(x)＝fx＋π3，判断g(x)的奇偶性并说明理由．【解】(1)∵f(x)＝sinx2＋3cosx2＝2sinx2＋π3，∴f(x)的最小正周期T＝2π12＝4π.当sinx2＋π3＝－1时f(x)取最小值－2；当sinx2＋π3＝1时，f(x)取最大值2.(2)∵g(x)＝2sin12x＋π3＋π3＝2sinx2＋π2＝2cosx2，∴g(－x)＝2cos－x2＝2cosx2＝g(x)，又∵x∈R，∴g(x)是偶函数．1．(2017·山东卷)已知cosx＝34，则cos2x＝()A．－14B．14C．－18D．18解析：∵cosx＝34，∴cos2x＝2cos2x－1＝2×342－1＝98－1＝18.答案：D2．(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]是减函数，则a的最大值是()A.π4B．π2C.3π4D．π解析：∵f(x)＝cosx－sinx＝2cosx＋π4，∴由2kπ≤x＋π4≤π＋2kπ(k∈Z)，得－π4＋2kπ≤x≤3π4＋2kπ(k∈Z)，∵[－a，a]⊆－π4，3π4，∴－aa，－a≥－π4，a≤3π4，∴0a≤π4，从而a的最大值为π4，故选A.答案：A3．为了得到函数y＝sin2x＋cos2x的图像，只需把函数y＝sin2x－cos2x的图像()A．向左平移π4个单位长度B．向右平移π4个单位长度C．向左平移π2个单位长度D．向右平移π2个单位长度解析：y＝sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π4，y＝sin2x－cos2x＝2sin2x－π4，只需把函数y＝sin2x－cos2x的图像向左平移π4个单位长度，即得到y＝sin2x＋cos2x的图像．答案：A4．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋3cosx－34x∈0，π2的最大值是________．解析：f(x)＝sin2x＋3cosx－34＝1－cos2x＋3cosx－34＝－cosx－322＋1，∵x∈0，π2，∴当x＝π6时，函数有最大值1.答案：15．设θ为第二象限角，若tanθ＋π4＝12，则sinθ＋cosθ＝____.解析：因为tanθ＋π4＝tanθ＋11－tanθ＝12，所以tanθ＝－13，因为θ为第二象限角，所以cosθ＝－11＋tan2θ＝－31010，sinθ＝1－cos2θ＝1010，则sinθ＋cosθ＝1010－31010＝－105.答案：－105