2019-2020学年高中数学 第3章 三角恒等变形 3 二倍角的三角函数（1）课件 北师大版必修4

第三章三角恒等变形§3二倍角的三角函数(1)自主学习梳理知识课前基础梳理|学习目标|1．能从两角和与差的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．2．能运用上述公式进行简单的恒等变换.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝____________.(2)cos2α＝____________＝___________＝___________.(3)tan2α＝____________.2sinαcosαcos2α－sin2α1－2sin2α2cos2α－12tanα1－tan2α练一练(1)若sin2α＝－2425，α∈－π4，0，则sinα＋cosα＝()A．－15B．15C．－75D．75(2)若cos2α＝14，则sin2α＝()A.12B．34C.58D．38(3)(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则()A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4解析：(1)∵α∈－π4，0，∴|sinα|＜|cosα|，且sinα＜0，cosα＞0，∴sinα＋cosα＞0，∴(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋sin2α＝1－2425＝125，∴sinα＋cosα＝15.(2)cos2α＝1－2sin2α＝14，解得sin2α＝38.(3)根据题意有f(x)＝cos2x＋1－1－cos2x2＋2＝32cos2x＋52，所以函数f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π，且最大值为f(x)max＝32＋52＝4，故选B.答案：(1)B(2)D(3)B1．如何理解二倍角？答：8α是4α的二倍角；6α是3α的二倍角；4α是2α的二倍角；3α是32α的二倍角；α2是α4的二倍角；α3是α6的二倍角；…2．逆用公式主要形式有哪些？答：2sinαcosα＝sin2α，sinαcosα＝12sin2α，cosα＝sin2α2sinα，cos2α－sin2α＝cos2α，2tanα1－tan2α＝tan2α.3．活用公式主要形式有哪些？答：1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2，1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2.典例精析规律总结课堂互动探究1化简求值类型求下列各式的值：(1)sinπ12cosπ12；(2)1－2sin2750°；(3)2tan150°1－tan2150°；(4)1sin10°－3cos10°.【解】(1)原式＝2sinπ12cosπ122＝sinπ62＝14.(2)原式＝cos(2×750°)＝cos1500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos60°＝12.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－3.(4)原式＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝212cos10°－32sin10°sin10°cos10°＝4sin30°cos10°－cos30°sin10°2sin10°cos10°＝4sin20°sin20°＝4.【方法总结】在使用二倍角公式化简时，要注意三种应用：(1)正用公式，从题设条件出发，顺着问题的线索，运用已知条件和推算手段逐步达到目的．(2)公式逆用，要求对公式特点有一个整体感知．(3)公式的变形应用．求下列各式的值．(1)sin15°·sin30°·sin75°；(2)cos512π＋sin5π12cos512π－sin512π；(3)tan22.5°－1tan22.5°.解：(1)原式＝sin15°·sin30°·cos15°＝12sin30°·sin30°＝18.(2)原式＝cos2512π－sin2512π＝cos56π＝－32.(3)原式＝－2·1－tan222.5°2tan22.5°＝－2·1tan45°＝－2.2给值(式)求值类型已知sinπ4－x＝513，0＜x＜π4，求cos2x的值．【解】∵x∈0，π4，∴π4－x∈0，π4.又∵sinπ4－x＝513，∴cosπ4－x＝1213.又∵cos2x＝sinπ2－2x＝2sinπ4－xcosπ4－x＝2×513×1213＝120169.【方法总结】1.从角的关系寻找突破口，这类三角函数求值问题常有两种解题途径：一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．2．当遇到π4±x这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通．cos2x＝sinπ2－2x＝2sinπ4－x·cosπ4－x.类似这样的变换还有cos2x＝sinπ2＋2x＝2sinπ4＋xcosπ4＋x，sin2x＝cosπ2－2x＝2cos2π4－x－1.已知cosα＝－34，sinβ＝23，α是第三象限角，β∈π2，π.(1)求sin2α的值；(2)求cos(2α＋β)的值．解：(1)因为α是第三象限角，cosα＝－34，所以sinα＝－1－cos2α＝－74，所以sin2α＝2sinαcosα＝2×－74×－34＝378.(2)因为β∈π2，π，sinβ＝23，所以cosβ＝－1－sin2β＝－53，cos2α＝2cos2α－1＝2×916－1＝18，所以cos(2α＋β)＝cos2αcosβ－sin2αsinβ＝18×－53－378×23＝－5＋6724.3倍角公式综合应用类型设函数f(x)＝23sinωxcosωx＋2cos2ωx－1(ω＞0)，且以2π为最小正周期．(1)求f(x)的解析式，并求当x∈π6，π3时，f(x)的取值范围；(2)若fx－π6＝65，求cosx的值．【解】(1)y＝3sin2ωx＋cos2ωx＝2sin2ωx＋π6.∵T＝2π2ω＝πω＝2π，∴ω＝12.∴f(x)＝2sinx＋π6，当x∈π6，π3时，x＋π6∈π3，π2，f(x)∈[3，2]．(2)fx－π6＝2sinx－π6＋π6＝65，sinx＝35，∴cosx＝±1－sin2x＝±45.【方法总结】二倍角公式的应用主要是与和差公式相结合．进行三角变换后研究三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质，解题时多逆用二倍角公式．如降幂公式cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2应用较多．已知α为锐角，且tanπ4＋α＝2.(1)求tanα的值；(2)求sin2αcosα－sinαcos2α的值．解：(1)∵tanπ4＋α＝2，∴1＋tanα1－tanα＝2，即1＋tanα＝2－2tanα，∴tanα＝13.(2)sin2αcosα－sinαcos2α＝2sinαcosαcosα－sinαcos2α＝sinα2cos2α－1cos2α＝sinαcos2αcos2α＝sinα.∵tanα＝13，∴cosα＝3sinα，又sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＝110.又α为锐角，∴sinα＝1010.∴sin2αcosα－sinαcos2α＝1010.化简2－2＋2＋2cosα(3πa4π)．【错解】原式＝2－2＋4cos2α2＝2－2＋2cosα2＝2－4cos2α4＝2－2cosα4＝4sin2α8＝2sinα8.【错因分析】上述错解在运用倍角公式从里到外去掉根号时，没有顾及角的范围而选择正、负号，只是机械地套用公式．【正解】因为3πα4π，所以3π2α22π，3π4α4π，3π8α8π2，则cosα20，cosα40，cosα80.所以原式＝2－2＋4cos2α2＝2－2＋2cosα2＝2－4cos2α4＝2＋2cosα4＝4cos2α8＝2cosα8.即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一利用二倍角公式求值1．若cosπ4－α＝35，则sin2α＝()A.725B．15C．－15D．－725解析：cos2π4－α＝2cos2π4－α－1＝2·352－1＝－725，且cos2π4－α＝cosπ2－2α＝sin2α，故选D.答案：D2．(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝tanx1＋tan2x的最小正周期为()A.π4B．π2C．πD．2π解析：由已知得f(x)的定义域为x|x≠kπ＋π2，k∈Z且f(x)＝tanx1＋tan2x＝sinxcosx1＋sinxcosx2＝sinxcosx＝12sin2x，故f(x)的最小正周期T＝2π2＝π，故选C.答案：C知识点二利用二倍角公式化简3．化简1＋cos2α＋2sin2α＝________.解析：原式＝1＋2cos2α－1＋2sin2α＝2(sin2α＋cos2α)＝2.答案：24．化简sin180°＋2α1＋cos2α·cos2αcos90°＋α的结果是________．解析：sin180°＋2α1＋cos2α·cos2αcos90°＋α＝－sin2α2cos2α·cos2α－sinα＝2sinαcosα2cos2α·cos2αsinα＝cosα.答案：cosα知识点三倍角公式的综合应用5．将函数f(x)＝3sinxcosx＋cos2x的图像向左平移m(m0)个单位，得到g(x)＝cos2x＋12的图像，求m的最小值．解：∵f(x)＝3sinxcosx＋cos2x＝32sin2x＋1＋cos2x2＝sin2x＋π6＋12，∴把f(x)的图像向左平移m(m0)个单位，得f(x＋m)＝sin2x＋2m＋π6＋12.由题意知，sin2x＋2m＋π6＋12＝cos2x＋12，即sin2x＋2m＋π6＝cos2x＋2m－π3＝cos2x，∵m0，∴m的最小值应满足2m－π3＝0，∴m＝π6.