2019-2020学年高中数学 第3章 三角恒等变形 1 同角三角函数的基本关系（2）课件 北师大版

第三章三角恒等变形§1同角三角函数的基本关系(2)自主学习梳理知识课前基础梳理|学习目标|会用同角三角函数基本关系式进行化简、证明.1．化简三角函数式要注意什么？答：一要恒等变形(不能用近似值替代)，二要将结果化成最简形式．2．证明三角恒等式的方法通常有哪些？答：(1)从一边开始证明它等于另一边，一般由繁到简；(2)证明左、右两边等于同一个式子；(3)证明另一个与原式等价的式子成立，从而推出原式成立(等价转化)．证明过程中，可以使用综合法，也可以使用分析法．典例精析规律总结课堂互动探究1三角函数式的化简类型化简：(1)cos36°－1－cos236°1－2sin36°cos36°；(2)1＋sinθ1＋tan2θ·1－sinθ.【解】(1)原式＝cos36°－sin236°sin236°＋cos236°－2sin36°cos36°＝cos36°－sin36°cos36°－sin36°2＝cos36°－sin36°|cos36°－sin36°|＝cos36°－sin36°cos36°－sin36°＝1.(2)原式＝1＋sinθ1＋sin2θcos2θ·1－sinθ＝1－sin2θ1cos2θ·1－sinθ2＝cos2θ1|cosθ|·|1－sinθ|＝|cosθ|21－sinθ＝cos2θ1－sinθ＝1－sin2θ1－sinθ＝1＋sinθ.【方法总结】三角函数式的化简中常用到的方法：(1)化切为弦；(2)含根号的常把根号下化成完全平方式；(3)对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解或构造sin2α＋cos2α＝1，以降函数次数达到化简的目的．化简下列各式：(1)(1＋tan2α)·cos2α；(2)1－2sin40°cos40°cos40°－1－cos240°.解：(1)原式＝1＋sin2αcos2α·cos2α＝cos2α＋sin2α＝1.(2)原式＝sin240°＋cos240°－2sin40°cos40°cos40°－sin240°＋cos240°－cos240°＝cos40°－sin40°cos40°－sin40°＝1.2三角函数式的证明类型证明下列三角恒等式：(1)tanαsinαtanα－sinα＝tanα＋sinαtanαsinα；(2)2sinxcosxsinx＋cosx－1sinx－cosx＋1＝1＋cosxsinx.【证明】(1)左边＝sin2αcosαsinαcosα－sinα＝sin2αsinα－sinαcosα＝1－cos2αsinα1－cosα＝1＋cosαsinα＝1sinα＋cosαsinα＝1sinα＋1tanα＝tanα＋sinαtanαsinα＝右边，所以原命题成立．(2)左边＝2sinxcosx[sinx＋cosx－1][sinx－cosx－1]＝2sinxcosxsin2x－cosx－12＝sinx1－cosx＝sinx1＋cosx1－cos2x＝1＋cosxsinx＝右边，所以原命题成立．【方法总结】“化弦法”是三角变形中的常用方法，它是把题中除正、余弦以外的三角函数都化为正、余弦函数，使得函数之间更易沟通变换，达到化简的目的．已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.证明：证法一：∵tan2α＝2tan2β＋1，∴tan2β＝tan2α－12.①∵tan2β＝sin2βcos2β，∴tan2β＝sin2β1－sin2β，∴sin2β＝tan2β1＋tan2β.②由①②，得sin2β＝tan2α－121＋tan2α－12＝tan2α－1tan2α＋1＝sin2αcos2α－1sin2αcos2α＋1＝sin2α－cos2αsin2α＋cos2α＝2sin2α－1.证法二：∵tan2α＝2tan2β＋1，∴tan2α＋1＝2(tan2β＋1)，∴sin2α＋cos2αcos2α＝2·sin2β＋cos2βcos2β，∴1cos2α＝2cos2β，∴cos2β＝2cos2α，∴1－sin2β＝2(1－sin2α)，∴sin2β＝2sin2α－1.化简1＋2sin3cos3.【错解】1＋2sin3cos3＝sin3＋cos32＝|sin3＋cos3|＝sin3＋cos3.【错因分析】因为3π43π，所以3是第二象限的角，sin30，cos30，由三角函数线知|cos3|sin3，即－cos3sin3，所以sin3＋cos30.【正解】∵3π43π.∴sin30，cos30，且|cos3|sin3，∴sin3－cos3，即sin3＋cos30.∴1＋2sin3cos3＝sin3＋cos32＝|sin3＋cos3|＝－sin3－cos3.即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一三角函数式的化简1．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则sinα1－sin2α＋1－cos2αcosα＝()A．2B．－2C．2或－2D．0解析：∵角α终边落在直线x＋y＝0上，∴α为第二或第四象限角，当α为第二象限角时，原式＝sinα－cosα＋sinαcosα＝0；当α为第四象限角时，原式＝sinαcosα＋－sinαcosα＝0.答案：D2．若sin2α＋sinα＝1，则cos4α＋cos2α的值为()A．0B．1C．2D．3解析：∵sin2α＋sinα＝1，∴sinα＝1－sin2α＝cos2α，∴cos4α＋cos2α＝sin2α＋sinα＝1.答案：B3.tanx＋cosxsinxcos2x＝()A．tanxB．sinxC．cosxD．cosxsinx解析：原式＝sinxcosx＋cosxsinxcos2x＝sin2x＋cos2xsinxcosx·cos2x＝cosxsinx.答案：D知识点二三角函数式的证明4．设θ是第二象限角，求证：1－cosθ1＋cosθ＋1＋cosθ1－cosθ＝2sinθ.证明：∵θ是第二象限角，∴sinθ0.∴1－cosθ1＋cosθ＋1＋cosθ1－cosθ＝1－cosθ21－cos2θ＋1＋cosθ21－cos2θ＝|1－cosθ||sinθ|＋|1＋cosθ||sinθ|＝1－cosθsinθ＋1＋cosθsinθ＝2sinθ.5．证明三角恒等式cosα1＋sinα－sinα1＋cosα＝2cosα－sinα1＋sinα＋cosα.证明：左边＝cosα1－sinαcos2α－sinα1－cosαsin2α＝1－sinαcosα－1－cosαsinα＝sinα－sin2α－cosα＋cos2αsinαcosα＝cosα－sinαsinα＋cosα－1sinαcosα，右边＝2cosα－sinαsinα＋cosα－11＋sinα＋cosαsinα＋cosα－1＝2cosα－sinαsinα＋cosα－1sinα＋cosα2－1＝cosα－sinαsinα＋cosα－1sinαcosα，∴原式成立．