第三章三角恒等变形§1同角三角函数的基本关系(1)自主学习梳理知识课前基础梳理|学习目标|1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,sinxcosx=tanx.2.会运用以上两个基本关系式进行求值.同角三角函数基本关系式(1)平方关系:__________________.(2)商数关系:__________________.sin2x+cos2x=1sinxcosx=tanx练一练化简1-sin2160°的结果是()A.cos160°B.-cos160°C.±cos160°D.±|cos160°|解析:原式=cos2160°=-cos160°.答案:B1.同角的两层含义是什么?答:一是“角相同”,如sin2α+cos2β=1就不一定成立.二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下),关系式都成立,即与角的表达式形式无关,如sin215°+cos215°=1,sin2π19+cos2π19=1等.2.同角三角函数的变形公式有哪些?答:学习时,不仅要牢固掌握这两个公式的标准形式,还要掌握它们的等价变形形式,如:sin2α=1-cos2α,sinα=±1-cos2α,cos2α=1-sin2α;cosα=±1-sin2α;sinα=cosα·tanα,cosα=sinαtanα,它们的应用也极为广泛.3.利用平方关系有哪些注意事项?答:利用平方关系进行开方运算时,要注意结果的符号,其正负号由角α所在象限来决定.必要的时候,要进行分类讨论.4.怎样理解sin2α?答:sin2α是(sinα)2的简写,读作:“sinα的平方”,但不能将sin2α写成sinα2.典例精析规律总结课堂互动探究1简单求值问题类型(1)已知sinθ=-45,tanθ>0.求cosθ,tanθ的值.(2)已知tanα=-2,求sinα,cosα的值.【解】(1)由sinθ=-45<0,tanθ>0,可知角θ的终边落在第三象限,∴cosθ<0,又sin2θ+cos2θ=1,∴cosθ=-1-sin2θ=-1--452=-35,∴tanθ=sinθcosθ=-45-35=43.(2)∵tanα=-2,∴α是第二、四象限角,又tanα=-2得sinα=-2cosα.①当α为第二象限角时,sinα=-2cosα,sin2α+cos2α=1,5cos2α=1,∵cosα0,∴cosα=-55,sinα=-2×-55=255;②当α为第四象限角时,sinα=-2cosα,sin2α+cos2α=1,5cos2α=1,∵cosα>0,∴cosα=55,sinα=-2×55=-255.综合①②知当α为第二象限角时,sinα=255,cosα=-55,当α为第四象限角时,sinα=-255,cosα=55.【方法总结】同角三角函数的基本关系式揭示了同角之间的三角函数关系,其最基本的应用是“知一求二”,要注意角所在象限,必要时必须进行讨论,另外在本例中要注意体会方程思想的应用.若sinα=45,且α是第二象限角,则tanα等于()A.-43B.34C.±34D.±43解析:因为α是第二象限角,所以cosα<0,cosα=-1-sin2α=-1-452=-35,所以tanα=sinαcosα=-43,故选A.答案:A2已知正切求值类型已知tanα=2.求:(1)2sinα-2cosα4sinα-9cosα;(2)4sin2α-3sinαcosα-5cos2α.【解】(1)原式=2tanα-24tanα-9=2×2-24×2-9=-2.(2)原式=4sin2α-3sinαcosα-5cos2αsin2α+cos2α=4tan2α-3tanα-5tan2α+1=4×4-3×2-54+1=1.【方法总结】知切求弦常见的有两类,1.求关于sinα、cosα的齐次式值的问题,如果cosα≠0,则可将被求式化为关于tanα的表达式,然后整体代入tanα的值,从而完成被求式的求值问题.2.若不是sinα,cosα的齐次式,可利用方程组的消元思想求解.如果已知tanα的值,求形如asin2α+bsinαcosα+ccos2α的值,注意将分母的1化为sin2α+cos2α,将其代入,再转化为关于tanα的表达式后求值.已知sinα+3cosα3cosα-sinα=5,则sin2α-sinαcosα的值是()A.25B.-25C.-2D.2解析:sinα+3cosα3cosα-sinα=5⇒sinα+3cosα=15cosα-5sinα⇒6sinα=12cosα,⇒tanα=2,原式=sin2α-sinαcosαsin2α+cos2α=tan2α-tanα1+tan2α=22-21+22=25,故选A.答案:A3类型利用sinα±cosα与sinαcosα的关系解题已知0<α<π,sinα+cosα=15,求tanα的值.【解】由sinα+cosα=15,①得sinα·cosα=-1225<0,又0<α<π,∴sinα>0,cosα<0,则sinα-cosα>0,∴sinα-cosα=sinα-cosα2=1-2sinαcosα=1-2×-1225=75,②由①②解得sinα=45,cosα=-35,所以tanα=sinαcosα=-43.【方法总结】1.sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα三个式子中,已知其中一个,可以求其他两个,即“知一求二”,它们之间的关系是(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα.2.求sinα+cosα或sinα-cosα的值,要注意判断它们的符号.已知0<α<π,sinαcosα=-60169,则sinα-cosα的值是()A.1317B.-1317C.1713D.-1713解析:∵0<α<π,又sinαcosα=-60169<0,可知sinα>0,cosα<0,∴sinα-cosα>0.又(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1-2×-60169=289169,∴sinα-cosα=1713.答案:C已知α为三角形的内角,且sinα+cosα=15,求sinα,cosα.【错解】∵sinα+cosα=15,∴sin2α+2sinαcosα+cos2α=125.∴sinαcosα=-1225.即sinα+cosα=15,sinαcosα=-1225.可把sinα,cosα视为一元二次方程x2-15x-1225=0的两个根,解得x1=45,x2=-35.∴sinα=45,cosα=-35或sinα=-35,cosα=45.【错因分析】错解中忽略了α为三角形的内角这个条件,由于0απ,又sinα+cosα=151,则π2απ,所以sinα0,cosα0.从而只有一组解,即sinα=45,cosα=-35.【正解】∵sinα+cosα=15,∴sin2α+cos2α+2sinαcosα=125,∴sinαcosα=-1225.即sinα+cosα=15,sinαcosα=-1225.可把sinα,cosα视为一元二次方程x2-15x-1225=0的两个根,解得x1=45,x2=-35.由于α为三角形的内角,得0απ.又sinα+cosα=151,∴π2απ.∴sinα0,cosα0.∴sinα=45,cosα=-35.即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一简单求值问题1.已知α是第四象限角,tanα=-512,则sinα=()A.15B.-15C.513D.-513解析:∵tanα=sinαcosα=-512,∴12sinα=-5cosα,∴cosα=-125sinα,又sin2α+cos2α=1,∴sin2α+-125sinα2=1,即sin2α=25169.∵α为第四象限角,∴sinα=-513.答案:D2.已知|sinθ|=15,且9π2<θ<5π,则tanθ的值是()A.612B.-26C.-612D.26解析:∵9π2<θ<5π,∴θ为第二象限角,∴sinθ=15.∴cosθ=-265.∴tanθ=-612.答案:C知识点二利用正切求值3.已知tanα=-12,那么sin2α+2sinαcosα-3cos2α的值是()A.-75B.-59C.3D.-3解析:sin2α+2sinαcosα-3cos2α=sin2α+2sinαcosα-3cos2αsin2α+cos2α=tan2α+2tanα-3tan2α+1,将tanα=-12代入上式得所求为-3.答案:D4.已知sinθ+cosθsinθ-cosθ=2,则sinθcosθ=()A.34B.310C.-310D.±310解析:∵sinθ+cosθsinθ-cosθ=2,∴sinθ+cosθ=2sinθ-2cosθ,∴sinθ=3cosθ,∴tanθ=3.∴sinθcosθ=sinθcosθsin2θ+cos2θ=tanθtan2θ+1=332+1=310.答案:B知识点三利用sinα±cosα与sinαcosα的关系求值5.已知0<α<π,sinα+cosα=13,求sinα-cosα的值.解:∵0<α<π,sinα+cosα=13,∴sin2α+cos2α+2sinαcosα=19,∴sinαcosα=-49<0.又∵α∈(0,π),∴cosα<0,sinα>0.∴sinα-cosα=1-2sinαcosα=173.