2019-2020学年高中数学 第3章 三角恒等变形 1 同角三角函数的基本关系（1）课件 北师大版

第三章三角恒等变形§1同角三角函数的基本关系(1)自主学习梳理知识课前基础梳理|学习目标|1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，sinxcosx＝tanx.2．会运用以上两个基本关系式进行求值.同角三角函数基本关系式(1)平方关系：__________________.(2)商数关系：__________________.sin2x＋cos2x＝1sinxcosx＝tanx练一练化简1－sin2160°的结果是()A．cos160°B．－cos160°C．±cos160°D．±|cos160°|解析：原式＝cos2160°＝－cos160°.答案：B1．同角的两层含义是什么？答：一是“角相同”，如sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的表达式形式无关，如sin215°＋cos215°＝1，sin2π19＋cos2π19＝1等．2．同角三角函数的变形公式有哪些？答：学习时，不仅要牢固掌握这两个公式的标准形式，还要掌握它们的等价变形形式，如：sin2α＝1－cos2α，sinα＝±1－cos2α，cos2α＝1－sin2α；cosα＝±1－sin2α；sinα＝cosα·tanα，cosα＝sinαtanα，它们的应用也极为广泛．3．利用平方关系有哪些注意事项？答：利用平方关系进行开方运算时，要注意结果的符号，其正负号由角α所在象限来决定．必要的时候，要进行分类讨论．4．怎样理解sin2α？答：sin2α是(sinα)2的简写，读作：“sinα的平方”，但不能将sin2α写成sinα2.典例精析规律总结课堂互动探究1简单求值问题类型(1)已知sinθ＝－45，tanθ＞0.求cosθ，tanθ的值．(2)已知tanα＝－2，求sinα，cosα的值．【解】(1)由sinθ＝－45＜0，tanθ＞0，可知角θ的终边落在第三象限，∴cosθ＜0，又sin2θ＋cos2θ＝1，∴cosθ＝－1－sin2θ＝－1－－452＝－35，∴tanθ＝sinθcosθ＝－45－35＝43.(2)∵tanα＝－2，∴α是第二、四象限角，又tanα＝－2得sinα＝－2cosα.①当α为第二象限角时，sinα＝－2cosα，sin2α＋cos2α＝1，5cos2α＝1，∵cosα0，∴cosα＝－55，sinα＝－2×－55＝255；②当α为第四象限角时，sinα＝－2cosα，sin2α＋cos2α＝1，5cos2α＝1，∵cosα＞0，∴cosα＝55，sinα＝－2×55＝－255.综合①②知当α为第二象限角时，sinα＝255，cosα＝－55，当α为第四象限角时，sinα＝－255，cosα＝55.【方法总结】同角三角函数的基本关系式揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意角所在象限，必要时必须进行讨论，另外在本例中要注意体会方程思想的应用．若sinα＝45，且α是第二象限角，则tanα等于()A．－43B．34C．±34D．±43解析：因为α是第二象限角，所以cosα＜0，cosα＝－1－sin2α＝－1－452＝－35，所以tanα＝sinαcosα＝－43，故选A．答案：A2已知正切求值类型已知tanα＝2.求：(1)2sinα－2cosα4sinα－9cosα；(2)4sin2α－3sinαcosα－5cos2α.【解】(1)原式＝2tanα－24tanα－9＝2×2－24×2－9＝－2.(2)原式＝4sin2α－3sinαcosα－5cos2αsin2α＋cos2α＝4tan2α－3tanα－5tan2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝1.【方法总结】知切求弦常见的有两类，1．求关于sinα、cosα的齐次式值的问题，如果cosα≠0，则可将被求式化为关于tanα的表达式，然后整体代入tanα的值，从而完成被求式的求值问题．2．若不是sinα，cosα的齐次式，可利用方程组的消元思想求解．如果已知tanα的值，求形如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的值，注意将分母的1化为sin2α＋cos2α，将其代入，再转化为关于tanα的表达式后求值．已知sinα＋3cosα3cosα－sinα＝5，则sin2α－sinαcosα的值是()A．25B．－25C．－2D．2解析：sinα＋3cosα3cosα－sinα＝5⇒sinα＋3cosα＝15cosα－5sinα⇒6sinα＝12cosα，⇒tanα＝2，原式＝sin2α－sinαcosαsin2α＋cos2α＝tan2α－tanα1＋tan2α＝22－21＋22＝25，故选A．答案：A3类型利用sinα±cosα与sinαcosα的关系解题已知0＜α＜π，sinα＋cosα＝15，求tanα的值．【解】由sinα＋cosα＝15，①得sinα·cosα＝－1225＜0，又0＜α＜π，∴sinα＞0，cosα＜0，则sinα－cosα＞0，∴sinα－cosα＝sinα－cosα2＝1－2sinαcosα＝1－2×－1225＝75，②由①②解得sinα＝45，cosα＝－35，所以tanα＝sinαcosα＝－43.【方法总结】1.sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.2．求sinα＋cosα或sinα－cosα的值，要注意判断它们的符号．已知0＜α＜π，sinαcosα＝－60169，则sinα－cosα的值是()A．1317B．－1317C．1713D．－1713解析：∵0＜α＜π，又sinαcosα＝－60169＜0，可知sinα＞0，cosα＜0，∴sinα－cosα＞0.又(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×－60169＝289169，∴sinα－cosα＝1713.答案：C已知α为三角形的内角，且sinα＋cosα＝15，求sinα，cosα.【错解】∵sinα＋cosα＝15，∴sin2α＋2sinαcosα＋cos2α＝125.∴sinαcosα＝－1225.即sinα＋cosα＝15，sinαcosα＝－1225.可把sinα，cosα视为一元二次方程x2－15x－1225＝0的两个根，解得x1＝45，x2＝－35.∴sinα＝45，cosα＝－35或sinα＝－35，cosα＝45.【错因分析】错解中忽略了α为三角形的内角这个条件，由于0απ，又sinα＋cosα＝151，则π2απ，所以sinα0，cosα0.从而只有一组解，即sinα＝45，cosα＝－35.【正解】∵sinα＋cosα＝15，∴sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝125，∴sinαcosα＝－1225.即sinα＋cosα＝15，sinαcosα＝－1225.可把sinα，cosα视为一元二次方程x2－15x－1225＝0的两个根，解得x1＝45，x2＝－35.由于α为三角形的内角，得0απ.又sinα＋cosα＝151，∴π2απ.∴sinα0，cosα0.∴sinα＝45，cosα＝－35.即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一简单求值问题1．已知α是第四象限角，tanα＝－512，则sinα＝()A．15B．－15C．513D．－513解析：∵tanα＝sinαcosα＝－512，∴12sinα＝－5cosα，∴cosα＝－125sinα，又sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＋－125sinα2＝1，即sin2α＝25169.∵α为第四象限角，∴sinα＝－513.答案：D2．已知|sinθ|＝15，且9π2＜θ＜5π，则tanθ的值是()A．612B．－26C．－612D．26解析：∵9π2＜θ＜5π，∴θ为第二象限角，∴sinθ＝15.∴cosθ＝－265.∴tanθ＝－612.答案：C知识点二利用正切求值3．已知tanα＝－12，那么sin2α＋2sinαcosα－3cos2α的值是()A．－75B．－59C．3D．－3解析：sin2α＋2sinαcosα－3cos2α＝sin2α＋2sinαcosα－3cos2αsin2α＋cos2α＝tan2α＋2tanα－3tan2α＋1，将tanα＝－12代入上式得所求为－3.答案：D4．已知sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝2，则sinθcosθ＝()A．34B．310C．－310D．±310解析：∵sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝2，∴sinθ＋cosθ＝2sinθ－2cosθ，∴sinθ＝3cosθ，∴tanθ＝3.∴sinθcosθ＝sinθcosθsin2θ＋cos2θ＝tanθtan2θ＋1＝332＋1＝310.答案：B知识点三利用sinα±cosα与sinαcosα的关系求值5．已知0＜α＜π，sinα＋cosα＝13，求sinα－cosα的值．解：∵0＜α＜π，sinα＋cosα＝13，∴sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝19，∴sinαcosα＝－49＜0.又∵α∈(0，π)，∴cosα＜0，sinα＞0.∴sinα－cosα＝1－2sinαcosα＝173.