2019-2020学年高中数学 第3章 三角恒等变换章末总结归纳课件 新人教B版必修4

第三章三角恒等变换章末总结归纳三角函数的化简与证明专题1由于三角函数式中包含着各种不同的角和不同的函数种类以及不同的式子结构，所以在三角函数的化简与证明中，应充分利用所学的三角函数的和、差、倍、半角等公式，首先从角入手，找出待化简(证明)的式子的特点，然后选择适当的公式“化异为同”，实现三角函数的化简与证明．化简三角函数式的要求：(1)能求出值的应求出值；(2)使三角函数的种数尽量少；(3)使项数尽量少；(4)尽量使分母不含三角函数；(5)尽量使被开方数不含三角函数；(6)次数尽量低．化简1＋sinx＋cosxsinx2－cosx22＋2cosx(0＜x＜π)．【解】将1＋cosx＝2cos2x2，cos2x2－sin2x2＝cosx，sinx＝2sinx2cosx2代入，得原式＝2cos2x2＋2cosx2sinx2sinx2－cosx221＋cosx＝2cosx2cosx2＋sinx2sinx2－cosx22·2cos2x2＝2cosx2sin2x2－cos2x22cosx2＝cosx2－cosxcosx2.∵0xπ，∴0x2π2，∴cosx2＝cosx2，∴原式＝－cosx.求证：tan2x＋1tan2x＝23＋cos4x1－cos4x.【证明】证法一：左边＝sin2xcos2x＋cos2xsin2x＝sin4x＋cos4xsin2xcos2x＝sin2x＋cos2x2－2sin2xcos2x14sin22x＝1－12sin22x14sin22x＝1－12sin22x181－cos4x＝8－4sin22x1－cos4x＝4＋4cos22x1－cos4x＝4＋21＋cos4x1－cos4x＝23＋cos4x1－cos4x＝右边．原式得证．证法二：右边＝22＋1＋cos4x2sin22x＝22＋2cos22x2sin22x＝21＋cos22x4sin2xcos2x＝sin2x＋cos2x2＋cos2x－sin2x22sin2xcos2x＝2sin4x＋cos4x2sin2xcos2x＝tan2x＋1tan2x＝左边．原式得证.三角函数的求值专题2三角函数的求值主要有两种类型：一是给角求值；二是给值求值．1．给角求值：这类题目的解法相对简单，主要是利用所学的诱导公式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式等，化非特殊角为特殊角，在转化过程中要注重上述公式的正逆用．2．给值求值：这类题目的解法较上类题目灵活、多变，主要解答方法是利用三角恒等变换中的拆角变换及和、差、倍、半角公式等综合应用．由于此类题目在解答过程中涉及的数学方法及数学思想相对较多，因此也是平时及高考考查的一个重点．已知sinπ4－x＝5130xπ4，求cos2xcosπ4＋x的值．【解】解法一：易求得cosπ4－x＝1213.所以cos2x＝sinπ2－2x＝2sinπ4－x·cosπ4－x＝120169.又cosπ4＋x＝cosπ2－π4－x＝sinπ4－x＝513，所以cos2xcosπ4＋x＝2413.解法二：易求得cosπ4－x＝1213，sinπ4＋x＝sinπ2－π4－x＝cosπ4－x＝1213.原式＝sinπ2＋2xcosπ4＋x＝sin2π4＋xcosπ4＋x＝2sinπ4＋x＝2413.解法三：易求得cosπ4－x＝1213，cos2xcosπ4＋x＝cos2x－sin2xcosπ4＋x＝sinx＋cosxcosx－sinxcosπ4＋x＝2cosπ4－x·2cosπ4＋xcosπ4＋x＝2cosπ4－x＝2413.三角恒等变换的综合应用专题3分析、研究三角函数的图象和性质是三角函数的重要内容．如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．1．求三角函数的值域、单调区间、图象变换、周期性、对称性等问题，一般先要通过三角恒等变换将函数表达式变形为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式，让角和三角函数名称尽量少，然后再根据正、余弦函数基本性质和相关原理进行求解．2．以平面向量为背景，综合考查向量的坐标运算，数量积运算以及三角函数知识．3．由于三角函数在生产实际中有着广泛的应用，可以与物理、光、机械波、天文等相结合，因此常利用三角函数来解答生产、科研和日常生活中的实际问题，体现三角函数的工具性．求函数f(x)＝sin4x＋23sinxcosx－cos4x的最小正周期和最小值，并求出该函数在[0，π]上的单调增区间．【解】f(x)＝sin4x＋23sinxcosx－cos4x＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＋23sinxcosx＝sin2x－cos2x＋23sinxcosx＝－cos2x＋3sin2x＝2－12cos2x＋32sin2x＝2sin2x－π6.∴f(x)的最小正周期T＝2π2＝π，最小值为－2.∵f(x)单调递增，2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2，k∈Z.即kπ－π6≤x≤kπ＋π3，k∈Z.∴函数f(x)在[0，π]上的单调增区间为0，π3和5π6，π.1．若x为三角形中的最小内角，则函数y＝sinx＋cosx的值域是()A.0，22B.(1，2]C.12，22D.12，22解析：∵x为三角形中的最小内角，∴x∈0，π3，∴y＝sinx＋cosx＝2sinx＋π4.∵x＋π4∈π4，7π12，∴y∈(1，2]．答案：B2．已知2tanα·sinα＝3，－π2α0，则cosα－π6的值是()A．0B.32C．1D.12解析：由2tanα·sinα＝3，得2sin2α＝3cosα，∴2cos2α＋3cosα－2＝0，∴(2cosα－1)(cosα＋2)＝0，∴cosα＝12.∵－π2α0，∴α＝－π3，∴cosα－π6＝cos－π2＝0，故选A.答案：A3．若tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan2α＝()A.47B.－47C.12D.－12解析：tan2α＝tan(α＋β＋α－β)＝tanα＋β＋tanα－β1－tanα＋βtanα－β＝3＋51－15＝－47，故选B.答案：B4．函数y＝cos2x＋π4－sin2x＋π4的最小正周期为________．解析：y＝cos2x＋π2＝－sin2x.∴T＝π.答案：π5．已知函数f(x)＝2sinx4cosx4＋3cosx2.(1)求函数f(x)的最小正周期及最值；(2)令g(x)＝fx＋π3，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由．解：(1)∵f(x)＝sinx2＋3cosx2＝2sinx2＋π3，∴f(x)的最小正周期T＝2π12＝4π.当sinx2＋π3＝－1时，f(x)取得最小值－2；当sinx2＋π3＝1时，f(x)取得最大值2；(2)由(1)知f(x)＝2sinx2＋π3，又g(x)＝fx＋π3，∴g(x)＝2sin12x＋π3＋π3＝2sinx2＋π2＝2cosx2.∵g(－x)＝2cos－x2＝2cosx2＝g(x)，又x∈R.∴函数g(x)是偶函数．