2019-2020学年高中数学 第3章 三角恒等变换章末复习课件 新人教A版必修4

第三章三角恒等变换章末复习1知识系统整合2规律方法总结1．本章公式较多，学好本章的关键在于弄清楚各公式的来龙去脉，明确各公式的内在联系，把握公式的结构特点．2．使用本章公式时，应注意公式的正用、逆用以及变形应用．如两角和与差的正切公式tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ，其变形公式：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)应用广泛；公式cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α的变形公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2，常用来升幂或降幂．3．使用本章公式进行求值、化简、证明，无论哪一种题目，均离不开三角恒等变换．转化思想是实施三角恒等变换的主导思想，三角恒等变换中常见“角的变换、函数名称的变换以及函数式结构的变换”三种形式．4．利用三角恒等变换时，又常与方程思想、分类讨论思想、换元思想相结合．3热点问题归纳一、三角函数的化简在具体实施过程中，应着重抓住“角”的统一．通过观察角、函数名、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简．最后结果应为：(1)能求值尽量求值；(2)三角函数名称尽量少；(3)项数尽量少；(4)次数尽量低；(5)分母、根号下尽量不含三角函数．例1化简：2sin130°＋sin100°1＋3tan370°1＋cos10°.[解]原式＝2sin50°＋sin80°1＋3tan10°1＋cos10°＝2sin50°＋cos10°×cos10°＋3sin10°cos10°2cos25°＝2sin50°＋212cos10°＋32sin10°2|cos5°|＝2sin50°＋2sin30°＋10°2cos5°＝2[sin45°＋5°＋sin45°－5°]2cos5°＝2sin45°cos5°＋cos45°sin5°＋sin45°cos5°－cos45°sin5°2cos5°＝4sin45°cos5°2cos5°＝2.二、三角函数求值三角函数求值主要有三种类型，即：(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式．(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要注意角的范围．(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合角的范围确定角，必要时还要分类讨论角的范围．例2已知cosα－β2＝－277，sinα2－β＝12，且α∈π2，π，β∈0，π2，求：(1)cosα＋β2；(2)tan(α＋β)．[解](1)∵π2απ，0βπ2，∴π4α－β2π，－π4α2－βπ2，∴sinα－β2＝1－cos2α－β2＝217，cosα2－β＝1－sin2α2－β＝32，∴cosα＋β2＝cosα－β2－α2－β＝cosα－β2cosα2－β＋sinα－β2sinα2－β＝－277×32＋217×12＝－2114.(2)∵π4α＋β23π4，∴sinα＋β2＝1－cos2α＋β2＝5714.∴tanα＋β2＝sinα＋β2cosα＋β2＝－533.∴tan(α＋β)＝2tanα＋β21－tan2α＋β2＝5311.例3已知tanα＝43，cos(α＋β)＝－1114，α，β均为锐角，求β的值．[解]因为α，β均为锐角，所以0α＋βπ，又cos(α＋β)＝－1114，所以π2α＋βπ，且sin(α＋β)＝5314.因为tanα＝43，所以sinα＝437，cosα＝17.所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝12.因为β是锐角，所以β＝π3.三、三角恒等证明三角恒等式的证明，就是应用三角公式，通过适当的恒等变换，消除三角恒等式两端结构上的差异，这些差异有以下几方面：①角的差异；②三角函数名称的差异；③三角函数式结构形式上的差异．针对上面的差异，选择合适的方法进行等价转化．例4求证：tan2x＋1tan2x＝23＋cos4x1－cos4x.[证明]证法一：左边＝sin2xcos2x＋cos2xsin2x＝sin4x＋cos4xsin2xcos2x＝sin2x＋cos2x2－2sin2xcos2x14sin22x＝1－12sin22x14sin22x＝1－12sin22x181－cos4x＝8－4sin22x1－cos4x＝8－21－cos4x1－cos4x＝23＋cos4x1－cos4x＝右边原式得证．证法二：右边＝22＋1＋cos4x2sin22x＝22＋2cos22x2sin22x＝21＋cos22x4sin2xcos2x＝sin2x＋cos2x2＋cos2x－sin2x22sin2xcos2x＝2sin4x＋cos4x2sin2xcos2x＝tan2x＋1tan2x＝左边．原式得证．四、三角恒等变换三角恒等变换是三角函数的重要内容，搞清公式间的关系是学习的关键．对于和、差角的三角函数公式，关键是弄清楚角的变化，从整体上把握公式，既要学会正向运用，也要学会逆向运用；对于倍、半角公式，可从α与α2之间的关系出发思考，通过这种关系的思考而建立函数式之间的联系．辅助角公式则应用较为广泛，讨论三角函数的最值、周期、单调性等性质时，常使用此公式．例5设f(x)＝6cos2x－3sin2x.(1)求f(x)的最大值及最小正周期；(2)若锐角α满足f(α)＝3－23，求tan45α的值．[解](1)f(x)＝6·1＋cos2x2－3sin2x＝3cos2x－3sin2x＋3＝2332cos2x－12sin2x＋3＝23cos2x＋π6＋3，故f(x)的最大值为23＋3；最小正周期T＝2π2＝π.(2)由f(α)＝3－23，得23cos2α＋π6＋3＝3－23，故cos2α＋π6＝－1.又由0απ2，得π62α＋π6π＋π6，故2α＋π6＝π，解得α＝5π12.从而tan45α＝tanπ3＝3.五、三角函数与平面向量的综合三角函数与平面向量相结合是近几年来的高考亮点，它常常包括向量与三角函数化简、求值与证明的结合，向量与三角函数的图象与性质的结合等几个方面．此类题目所涉及向量的知识往往比较基础，所涉及的三角函数往往是讨论三角函数的图象与性质．例6已知向量m＝(sinx,1)，n＝3Acosx，A2cos2x(A0)，函数f(x)＝m·n的最大值为6.(1)求A；(2)将函数f(x)的图象向左平移π12个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求g(x)在0，5π24上的值域．[解](1)f(x)＝m·n＝3Asinxcosx＋A2cos2x＝A32sin2x＋12cos2x＝Asin2x＋π6.因为A0，f(x)的最大值为6，所以A＝6.(2)由(1)知f(x)＝6sin2x＋π6.将函数f(x)的图象向左平移π12个单位长度后，得到y＝6sin2x＋π12＋π6＝6sin2x＋π3的图象；再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y＝6sin4x＋π3的图象．因此g(x)＝6sin4x＋π3.因为x∈0，5π24，所以4x＋π3∈π3，7π6，所以sin4x＋π3∈－12，1，故g(x)在0，5π24上的值域为[－3,6]．六、数学思想转化与化归思想本章的主要内容是三角恒等变换，因此等价转化思想在本章得以充分体现．在进行三角函数的化简、求值、证明时，常常需要进行转化、包括式子的结构形式的转化、式子中角的转化以及不同三角函数之间的转化．例7若cosπ4＋x＝35，17π12x7π4，求sin2x＋2sin2x1－tanx的值．[解]∵17π12x7π4，∴5π3x＋π42π.又∵cosπ4＋x＝35，∴sinπ4＋x＝－45.∴cosx＝cosπ4＋x－π4＝cosπ4＋xcosπ4＋sinπ4＋xsinπ4＝－210.∴sinx＝－7210，tanx＝7.∴原式＝2sinxcosx＋2sin2x1－tanx＝2－7210×－210＋2－721021－7＝－2875.