2019-2020学年高中数学 第3章 三角恒等变换单元质量测评课件 新人教A版必修4

第三章单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．sin45°cos15°＋cos225°sin15°的值为()A．－32B．－12C．12D．32解析sin45°cos15°＋cos225°sin15°＝sin45°cos15°－cos45°sin15°＝sin(45°－15°)＝sin30°＝12.2．在△ABC中，A＝15°，则3sinA－cos(B＋C)的值为()A．22B．32C．2D．2解析∵A＋B＋C＝π，∴原式＝3sinA－cos(π－A)＝3sinA＋cosA＝2sin(A＋30°)＝2sin(15°＋30°)＝2.3．已知角α，β均为锐角，且cosα＝35，tan(α－β)＝－13，则tanβ＝()A．13B．913C．139D．3解析由于α，β均为锐角，cosα＝35，则sinα＝45，tanα＝43.又tan(α－β)＝－13，所以tanβ＝tan[α－(α－β)]＝tanα－tanα－β1＋tanαtanα－β＝43＋131－43×13＝3.故选D．4．设a＝22(sin17°＋cos17°)，b＝2cos213°－1，c＝sin37°sin67°＋sin53°sin23°，则()A．cabB．bcaC．abcD．bac解析a＝cos45°sin17°＋sin45°cos17°＝sin62°，b＝cos26°＝sin64°，c＝sin37°cos23°＋cos37°sin23°＝sin60°，故caB．5．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝35，β是第三象限角，则sin(2β＋7π)＝()A．2425B．－2425C．－1225D．1225解析因为sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝sin(α－β)·cosα－cos(α－β)sinα＝sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝－sinβ＝35，所以sinβ＝－35.又β是第三象限角，所以cosβ＝－45，所以sin(2β＋7π)＝－sin2β＝－2sinβcosβ＝－2×－35×－45＝－2425.6．在△ABC中，cosA＝55，cosB＝31010，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等边三角形解析因为cosA＝55，所以sinA＝255.同理，sinB＝1010.因为cosC＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝－55×31010＋255×1010＝－50500，所以C为钝角．7．若函数g(x)＝asinxcosx(a0)的最大值为12，则函数f(x)＝sinx＋acosx的图象的一条对称轴方程为()A．x＝0B．x＝－3π4C．x＝－π4D．x＝－5π4解析g(x)＝a2sin2x(a0)的最大值为12，所以a＝1，故f(x)＝sinx＋cosx＝2sinx＋π4，令x＋π4＝π2＋kπ，k∈Z得x＝π4＋kπ，k∈Z.故选B．8．已知α∈0，π4，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，则2α－β的值是()A．－5π6B．－2π3C．－7π12D．－3π4解析∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝12－171－12×－17＝13，∴tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝13＋121－13×12＝1.又∵β∈(0，π)，tanβ＝－17，∴β∈π2，π，又α∈0，π4，∴－π2α－β0，∴2α－β＝－3π4.9.3cos10°－1sin170°＝()A．4B．2C．－2D．－4解析3cos10°－1sin170°＝3cos10°－1sin10°＝3sin10°－cos10°sin10°cos10°＝2sin10°－30°sin10°cos10°＝2sin－20°sin10°cos10°＝－2sin20°12sin20°＝－4.10．已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则log5tanαtanβ2等于()A．2B．3C．4D．5解析由sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13得sinαcosβ＋cosαsinβ＝12，sinαcosβ－cosαsinβ＝13，∴sinαcosβ＝512，cosαsinβ＝112，∴tanαtanβ＝5，∴log5tanαtanβ2＝log552＝4.11．已知A，B，C是△ABC的三个内角，设f(B)＝4sinB·cos2π4－B2＋cos2B，若f(B)－m2恒成立，则实数m的取值范围是()A．m1B．m－3C．m3D．m1解析f(B)＝4sinBcos2π4－B2＋cos2B＝4sinB1＋cosπ2－B2＋cos2B＝2sinB(1＋sinB)＋(1－2sin2B)＝2sinB＋1.∵f(B)－m2恒成立，即m2sinB－1恒成立．∵0Bπ，∴0sinB≤1.∴－12sinB－1≤1，故m1.12．若动直线x＝a与函数f(x)＝sinx和g(x)＝cosx的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为()A．1B．2C．3D．2解析依题意得点M，N的坐标分别为(a，sina)，(a，cosa)，∴|MN|＝|sina－cosa|＝2sina·22－cosa·22＝2sina－π4≤2(a∈R)，∴|MN|max＝2.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知α∈π2，π，sinα＝55，则tan2α＝________.－43解析因为sinα＝55，α∈π2，π，所以cosα＝－1－sin2α＝－255.所以tanα＝sinαcosα＝－12，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝－11－14＝－43.14．已知α∈π2，π，且sinα＝35，则sin2α2＋sin4αcos2α1＋cos4α的值为________．－350解析∵α∈π2，π，sinα＝35，∴cosα＝－45，∴sin2α2＋sin4αcos2α1＋cos4α＝1－cosα2＋2sin2αcos22α2cos22α＝1－cosα2＋2sinαcosα＝－350.15．已知A，B，C皆为锐角，且tanA＝1，tanB＝2，tanC＝3，则A＋B＋C的值为________．π解析因为tan(B＋C)＝tanB＋tanC1－tanBtanC＝2＋31－2×3＝－1又因为0B，Cπ2，所以0B＋Cπ.于是B＋C＝3π4.因为tanA＝1且A是锐角，所以A＝π4.故A＋B＋C＝π.16．关于函数f(x)＝cos2x－π3＋cos2x＋π6，有下列说法：①y＝f(x)的最大值为2；②y＝f(x)是以π为最小正周期的周期函数；③y＝f(x)在区间π24，13π24上单调递减；④将函数y＝2cos2x的图象向左平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确的序号是________．(把你认为正确的说法的序号都填上)①②③解析f(x)＝cos2x－π3＋cos2x＋π6＝cos2x＋π6－π2＋cos2x＋π6＝sin2x＋π6＋cos2x＋π6＝2sin2x＋π6＋π4＝2sin2x＋5π12∴f(x)max＝2，T＝2π2＝π.x∈π24，13π24时，2x＋5π12∈π2，3π2，函数单调递减．y＝2cos2x向左平移π24个单位后y＝2cos2x＋π24＝2cos2x＋π12＝2cos－2x－π12＝2sinπ2－－2x－π12＝2sin2x＋7π12与已知图象不重合．故①②③正确．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知cosθ＝1213，θ∈(π，2π)，求sinθ－π6以及tanθ＋π4的值．解因为cosθ＝1213，θ∈(π，2π)，所以sinθ＝－513，tanθ＝－512，所以sinθ－π6＝sinθcosπ6－cosθsinπ6＝－513×32－1213×12＝－53＋1226，tanθ＋π4＝tanθ＋tanπ41－tanθtanπ4＝－512＋11－－512×1＝717.18．(本小题满分12分)设向量a＝(3sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈0，π2.(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．解(1)由|a|2＝(3sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，|b|2＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.又x∈0，π2，从而sinx＝12，所以x＝π6.(2)f(x)＝a·b＝3sinxcosx＋sin2x＝32sin2x－12cos2x＋12＝sin2x－π6＋12，当x＝π3∈0，π2时，sin2x－π6取最大值为1，所以f(x)的最大值为32.19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.(1)求fπ3的值；(2)求f(x)的最大值和最小值．解(1)fπ3＝2cos2π3＋sinπ32－4cosπ3＝－1＋34－2＝－94.(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cosx＝3cos2x－4cosx－1＝3cosx－232－73，x∈R.因为cosx∈[－1,1]，所以当cosx＝－1时，f(x)取得最大值6；当cosx＝23时，f(x)取得最小值－73.20．(本小题满分12分)如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中yx0.(1)将十字形的面积表示成θ的函数；(2)求十字形的最大面积．解(1)设S为十字形面积，则S＝xy＋x·y－x2×2＝2xy－x2＝2sinθcosθ－cos2θπ4θπ2.(2)S＝2sinθcosθ－cos2θ＝sin2θ－12cos2θ－12＝52×255sin2θ－55cos2θ－12＝52sin(2θ－φ)－12设φ为锐角且tanφ＝12，当sin(2θ－φ)＝1，即2θ－φ＝π2时，S最大．即当θ＝π4＋φ2时，十字形取得最大面积，Smax＝52－12＝5－12.21．(本小题满分12分)设f(x)＝23sin(π－x)sinx－(sinx－cosx)2.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求gπ6的值．解(1)由f(x)＝23sin(π－x)sinx－(sinx－cosx)2＝23sin2x－(1－2sinxcosx)＝3(1－cos2x)＋sin2x