2019-2020学年高中数学 第3章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换课件 新人教A版必修

第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换学习目标核心素养1.能用二倍角公式推导出半角公式，体会三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．(重点)2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法．(重点)3.能利用三角恒等变换的技巧进行三角函数式的化简、求值以及证明，进而进行简单的应用．(难点、易混点)1.通过进行三角函数式的化简、求值，培养数学运算和数据分析的核心素养.2.通过三角恒等式的证明，提升逻辑推理的核心素养.3.通过三角函数的实际应用，培养数学建模的核心素养.自主预习探新知1．半角公式2.辅助角公式asinx＋bcosx＝(其中tanθ＝ba)．a2＋b2sin(x＋θ)1．已知180°＜α＜360°，则cosα2的值等于()A．－1－cosα2B．1－cosα2C．－1＋cosα2D．1＋cosα2C[∵180°＜α＜360°，∴90°＜α2＜180°，∴cosα2＜0，故应选C.]2．2sinθ＋2cosθ＝()A．sinθ＋π4B．22sinθ＋3π4C．22sinθ＋π4D．2sinθ＋π4C[原式＝22sinθ×22＋cosθ×22＝22sinθcosπ4＋cosθsinπ4＝22sinθ＋π4.]3．函数f(x)＝2sinx＋cosx的最大值为．5[f(x)＝22＋12sin(x＋θ)＝5sin(x＋θ)≤5.]4．已知2π＜θ＜4π，且sinθ＝－35，cosθ＜0，则tanθ2的值等于．－3[由sinθ＝－35，cosθ＜0得cosθ＝－45，∴tanθ2＝sinθ2cosθ2＝2sinθ2cosθ22cos2θ2＝sinθ1＋cosθ＝－351＋－45＝－3.]合作探究提素养化简求值问题【例1】(1)设5π＜θ＜6π，cosθ2＝a，则sinθ4等于()A．1＋a2B．1－a2C．－1＋a2D．－1－a2(2)已知πα3π2，化简：1＋sinα1＋cosα－1－cosα＋1－sinα1＋cosα＋1－cosα.思路点拨：(1)先确定θ4的范围，再由sin2θ4＝1－cosθ22得算式求值．(2)1＋cosα＝2cos2α2，1－cosα＝2sin2α2，去根号，确定α2的范围，化简．(1)D[∵5π＜θ＜6π，∴θ2∈5π2，3π，θ4∈5π4，3π2.又cosθ2＝a，∴sinθ4＝－1－cosθ22＝－1－a2.](2)[解]原式＝sinα2＋cosα222cosα2－2sinα2＋sinα2－cosα222cosα2＋2sinα2.∵π＜α＜3π2，∴π2＜α2＜3π4，∴cosα2＜0，sinα2＞0，∴原式＝sinα2＋cosα22－2sinα2＋cosα2＋sinα2－cosα222sinα2－cosα2＝－sinα2＋cosα22＋sinα2－cosα22＝－2cosα2.1．化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．2．利用半角公式求值的思路(1)看角：看已知角与待求角的2倍关系．(2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tanα2＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα，涉及半角公式的正、余弦值时，常利用sin2α2＝1－cosα2，cos2α2＝1＋cosα2计算．(4)下结论：结合(2)求值．提醒：已知cosα的值可求α2的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号．1．已知sinα＝－45，π＜α＜3π2，求sinα2，cosα2，tanα2的值．[解]∵π＜α＜3π2，sinα＝－45，∴cosα＝－35，且π2＜α2＜3π4，∴sinα2＝1－cosα2＝255，cosα2＝－1＋cosα2＝－55，tanα2＝sinα2cosα2＝－2.(另tanα2＝1－cosαsinα＝1＋35－45＝－2.)三角恒等式的证明【例2】求证：cos2α1tanα2－tanα2＝14sin2α.思路点拨：法一：切化弦用二倍角公式由左到右证明；法二：cos2α不变，直接用二倍角正切公式变形．[证明]法一：用正弦、余弦公式．左边＝cos2αcosα2sinα2－sinα2cosα2＝cos2αcos2α2－sin2α2sinα2cosα2＝cos2αsinα2cosα2cos2α2－sin2α2＝cos2αsinα2cosα2cosα＝sinα2cosα2cosα＝12sinαcosα＝14sin2α＝右边，∴原式成立．法二：用正切公式．左边＝cos2αtanα21－tan2α2＝12cos2α·2tanα21－tan2α2＝12cos2α·tanα＝12cosαsinα＝14sin2α＝右边，∴原式成立．三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简；(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．2．求证：2sinxcosx（sinx＋cosx－1）（sinx－cosx＋1）＝1＋cosxsinx.[证明]左边＝2sinxcosx2sinx2cosx2－2sin2x22sinx2cosx2＋2sin2x2＝2sinxcosx4sin2x2cos2x2－sin2x2＝sinx2sin2x2＝cosx2sinx2＝2cos2x22sinx2cosx2＝1＋cosxsinx＝右边．所以原等式成立.三角恒等变换与三角函数图象性质的综合【例3】已知函数f(x)＝cosπ3＋xcosπ3－x－sinxcosx＋14.(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；(2)求函数f(x)的单调递增区间．思路点拨：三角函数问题，一般利用两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式化为一个角的一个三角函数，然后利用正弦函数(或余弦函数)的性质得出结论．[解](1)∵f(x)＝cosπ3＋xcosπ3－x－12sin2x＋14＝12cosx－32sinx12cosx＋32sinx－12sin2x＋14＝14cos2x－34sin2x－12sin2x＋14＝1＋cos2x8－3－3cos2x8－12sin2x＋14＝12(cos2x－sin2x)＝22cos2x＋π4.∴函数f(x)的最小正周期为T＝π，函数f(x)的最大值为22.(2)由2kπ－π≤2x＋π4≤2kπ，k∈Z，得kπ－58π≤x≤kπ－π8，k∈Z.函数f(x)的单调递增区间为kπ－5π8，kπ－π8，k∈Z.应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤运用和、差、倍角公式化简↓统一化成f(x)＝asinωx＋bcosωx＋k的形式↓利用辅助角公式化为f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋k的形式，研究其性质3．已知函数f(x)＝23cos2x＋sin2x－3＋1(x∈R)．(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间；(3)若x∈－π4，π4，求f(x)的值域．[解]f(x)＝sin2x＋3(2cos2x－1)＋1＝sin2x＋3cos2x＋1＝2sin2x＋π3＋1.(1)函数f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π.(2)由2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，得2kπ－5π6≤2x≤2kπ＋π6(k∈Z)，∴kπ－5π12≤x≤kπ＋π12(k∈Z)．∴函数f(x)的单调递增区间为kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z)．(3)∵x∈－π4，π4，∴2x＋π3∈－π6，5π6，∴sin2x＋π3∈－12，1.∴f(x)∈[0，3].三角函数在实际问题中的应用[探究问题]1．用三角函数解决实际问题时，通常选什么作为自变量？求定义域时应注意什么？提示：通常选角作为自变量，求定义域时要注意实际意义和正弦、余弦函数有界性的影响．2．建立三角函数模型后，通常要将函数解析式化为何种形式？提示：化成y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式．【例4】如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？思路点拨：设∠AOB＝α→建立周长l（α）→求l的最大值[解]设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，则AB＝Rsinα，OB＝Rcosα，∴l＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsinα＋Rcosα＝R(sinα＋cosα)＋R＝2Rsinα＋π4＋R.∵0απ2，∴π4α＋π43π4，∴l的最大值为2R＋R＝(2＋1)R，此时，α＋π4＝π2，即α＝π4，即当α＝π4时，△OAB的周长最大．1．在本例条件下，求长方形面积的最大值．[解]如图所示，设∠AOB＝αα∈0，π2，则AB＝Rsinα，OA＝Rcosα.设矩形ABCD的面积为S，则S＝2OA·AB，∴S＝2Rcosα·Rsinα＝R2·2sinαcosα＝R2sin2α.∵α∈0，π2，∴2α∈(0，π)．因此，当2α＝π2，即α＝π4时，Smax＝R2.这时点A，D到点O的距离为22R，矩形ABCD的面积最大值为R2.2．若本例中的木料改为圆心角为π3的扇形，并将此木料截成矩形，(如图所示)，试求此矩形面积的最大值．[解]如图，作∠POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连接OE，设∠MOE＝α，α∈0，π6，在Rt△MOE中，ME＝Rsinα，OM＝Rcosα，在Rt△ONH中，NHON＝tanπ6，得ON＝3NH＝3Rsinα，则MN＝OM－ON＝R(cosα－3sinα)，设矩形EFGH的面积为S，则S＝2ME·MN＝2R2sinα(cosα－3sinα)＝R2(sin2α＋3cos2α－3)＝2R2sin2α＋π3－3R2，由α∈0，π6，则π3＜2α＋π3＜2π3，所以当2α＋π3＝π2，即α＝π12时，Smax＝(2－3)R2.应用三角函数解实际问题的方法及注意事项(1)方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解．(2)注意：在求解过程中，要注意三点：①充分借助平面几何性质，寻找数量关系．②注意实际问题中变量的范围．③重视三角函数有界性的影响．提醒：在利用三角变换解决实际问题时，常因忽视角的范围而致误．1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．2．研究形如f(x)＝asinx＋bcosx的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a，b应熟练掌握，例如sinx±cosx＝2sinx±π4；sinx