2019-2020学年高中数学 第3章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换课后课时精练课件 新

课后课时精练A级：基础巩固练一、选择题1．若－2πα－3π2，则1－cosα－π2的值是()A．sinα2B．cosα2C．－sinα2D．－cosα2解析1－cosα－π2＝1－cosπ－α2＝1＋cosα2＝cosα2，∵－2πα－3π2，∴－πα2－3π4.∴cosα20，∴cosα2＝－cosα2.2．函数y＝2cos2x－π4－1是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为π2的奇函数D．最小正周期为π2的偶函数解析y＝2cos2x－π4－1＝cos2x－π4＝cos2x－π2＝cosπ2－2x＝sin2x，而y＝sin2x为奇函数，其最小正周期T＝2π2＝π，故选A．3．化简sinα2＋cosα22＋2sin2π4－α2得()A．2＋sinαB．2＋2sinα－π4C．2D．2＋2sinα＋π4解析原式＝1＋2sinα2cosα2＋1－cos2π4－α2＝2＋sinα－cosπ2－α＝2＋sinα－sinα＝2.4．若f(tanx)＝sin2x，则f(－1)＝()A．－2B．－1C．0D．1解析f(－1)＝ftan－π4＋kπ＝sin2－π4＋kπ＝sin－π2＋2kπ＝－1.5．已知sinα－π4＝7210，cos2α＝725，则tanα2＝()A．3B．－3C．±3D．±4解析由sinα－π4＝7210⇒sinα－cosα＝75①，cos2α＝725⇒cos2α－sin2α＝725，所以(cosα－sinα)(cosα＋sinα)＝725②，由①②可得cosα＋sinα＝－15③，由①③得sinα＝35，cosα＝－45，所以角α为第二象限角，所以α2为第一、三象限角，tanα2＝1－cosα1＋cosα＝1＋451－45＝3，故选A．二、填空题6．若α－β＝π4，则sinαsinβ的最大值为__________．2＋24解析α＝β＋π4，则sinαsinβ＝sinβ＋π4sinβ＝22sin2β＋22cosβsinβ＝22·1－cos2β2＋22·sin2β2＝1222sin2β－22cos2β＋24＝12sin2β－π4＋24.∴最大值为2＋24.7．设α为第四象限角，且sin3αsinα＝135，则tan2α＝________.－34解析sin3αsinα＝sin2α＋αsinα＝1－2sin2αsinα＋2cos2αsinαsinα＝2cos2α＋1＝135，所以cos2α＝45.又α是第四象限角，所以sin2α＝－35，tan2α＝－34.8.2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是________．－2sin4解析原式＝4cos24＋21－2sin4cos4＝2|cos4|＋2sin4－cos42＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|.因为5π443π2，所以cos40，sin4cos40，所以sin4－cos40.从而原式＝－2cos4－2sin4＋2cos4＝－2sin4.三、解答题9．已知OA→＝(1，sinx－1)，OB→＝(sinx＋sinxcosx，sinx)，f(x)＝OA→·OB→(x∈R)．求：(1)函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)函数f(x)的单调递增区间．解(1)∵f(x)＝OA→·OB→＝sinx＋sinxcosx＋sin2x－sinx＝22sin2x－π4＋12，∴当2x－π4＝2kπ＋π2(k∈Z)，即x＝kπ＋3π8(k∈Z)时，f(x)取得最大值1＋22，f(x)的最小正周期为π.(2)∵f(x)＝22sin2x－π4＋12，∴当2kπ－π2≤2x－π4≤2kπ＋π2，k∈Z，即kπ－π8≤x≤kπ＋3π8，k∈Z时，函数f(x)为增函数．∴f(x)的单调递增区间为kπ－π8，kπ＋3π8(k∈Z)．10．已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋12cos4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若α∈π2，π，且f(α)＝22，求α的值．解(1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋12cos4x＝cos2xsin2x＋12cos4x＝12(sin4x＋cos4x)＝22sin4x＋π4，所以f(x)的最小正周期T＝2π4＝π2，当4x＋π4＝π2＋2kπ，k∈Z，即x＝π16＋kπ2，k∈Z时，f(x)取最大值为22.(2)因为f(α)＝22，所以sin4α＋π4＝1，因为α∈π2，π，所以4α＋π4∈9π4，17π4，所以4α＋π4＝5π2，故α＝9π16.B级：能力提升练1．已知A＋B＝2π3，那么cos2A＋cos2B的最大值是______，最小值是_______．3212解析因为A＋B＝2π3，所以cos2A＋cos2B＝12(1＋cos2A＋1＋cos2B)＝1＋12(cos2A＋cos2B)＝1＋12cos2A＋cos4π3－2A＝1＋1212cos2A－32sin2A＝1＋12cos2A＋π3.因为A∈R，所以当cos2A＋π3＝1时，原式取最大值32；当cos2A＋π3＝－1时，原式取得最小值12.2．设函数f(x)＝sin2ωx＋23sinωx·cosωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈12，1.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若y＝f(x)的图象经过点π4，0，求函数f(x)的值域．解(1)因为f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋23sinωx·cosωx＋λ＝－cos2ωx＋3sin2ωx＋λ＝2sin2ωx－π6＋λ.由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin2ωπ－π6＝±1.所以2ωπ－π6＝kπ＋π2(k∈Z)，即ω＝k2＋13(k∈Z)．又ω∈12，1，k∈Z，所以k＝1，故ω＝56.所以周期T＝2π2ω＝2π2×56＝6π5.所以f(x)的最小正周期是6π5.(2)由y＝f(x)的图象过点π4，0，得fπ4＝0，即λ＝－2sin56×π2－π6＝－2sinπ4＝－2，即λ＝－2.故f(x)＝2sin53x－π6－2，函数f(x)的值域为[－2－2，2－2]．