2019-2020学年高中数学 第3章 三角恒等变换 3.1.2.2 求值、化简与证明课件 新人教A

3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式第2课时求值、化简与证明第三章三角恒等变换课前自主预习1.正弦、余弦、正切的和(差)公式的内在联系2．公式的运用要“活”，体现在：正用、逆用、变用．而变用又涉及两个方面：一是公式本身的变用，如cos(α＋β)＋sinαsinβ＝cosαcosβ；二是角的变用，也称为角的变换，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等．3．在应用公式求值与化简时，也要注意角的取值范围对取值的影响．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设α，β是一个钝角三角形的两个锐角，则sinα＋sinβ＜2.()(2)若tan28°tan32°＝m，则tan28°＋tan32°＝3(m－1)．()(3)若sinα＝55且α为锐角，tanβ＝－3且β为钝角，则角α＋β＝3π4.()√×√2．做一做(1)已知tanα＝－34，则tanπ4－α等于()A．－17B．－7C．17D．7解析tanπ4－α＝tanπ4－tanα1＋tanπ4tanα＝1－tanα1＋tanα＝1＋341－34＝7.(2)(教材改编P131T3)已知α是锐角，sinα＝35，则cosπ4＋α等于()A．－210B．210C．－25D．25解析因为α是锐角，sinα＝35，所以cosα＝45，所以cosπ4＋α＝22×45－22×35＝210.(3)已知sinα＋π3＋sinα＝－435，－π2α0，则cosα＋8π3等于()A．－45B．－35C．35D．45解析因为sinα＋π3＋sinα＝－435，所以sinα＋π3＋sinα＋π3－π3＝－435，所以sinα＋π3＋sinα＋π3cosπ3－cosα＋π3sinπ3＝－435，所以32sinα＋π3－32cosα＋π3＝－435，所以－312cosα＋π3－32sinα＋π3＝－435，－3cosα＋π3＋π3＝－435，cosα＋2π3＝45，所以cosα＋8π3＝cosα＋2π3＝45，故选D．课堂互动探究探究1三角函数式求值例1已知cosα＝55，sin(α－β)＝1010，且α，β∈0，π2.求：(1)cos(2α－β)的值；(2)β的值．解(1)因为α，β∈0，π2，所以α－β∈－π2，π2，又sin(α－β)＝10100，∴0α－βπ2.所以sinα＝1－cos2α＝255，cos(α－β)＝1－sin2α－β＝31010，cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cosαcos(α－β)－sinαsin(α－β)＝55×31010－255×1010＝210.(2)cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝55×31010＋255×1010＝22.又因为β∈0，π2，所以β＝π4.拓展提升化简求值中角的拆分、拼凑解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”；(3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式．【跟踪训练1】已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，求tanαtanβ的值．解∵sin(α＋β)＝12，∴sinαcosβ＋cosαsinβ＝12.①∵sin(α－β)＝13，sinαcosβ－cosαsinβ＝13.②由①②解得sinαcosβ＝512，cosαsinβ＝112，∴tanαtanβ＝sinαcosβcosαsinβ＝512112＝5.探究2三角恒等式的化简与证明例2(1)化简：sinx＋π3＋2sinx＋π3－3cos2π3＋x；(2)求证：sin2α＋βsinα－2cos(α＋β)＝sinβsinα.解(1)原式＝sinxcosπ3＋cosxsinπ3＋2sinxcosπ3＋2cosxsinπ3－3cos2π3cosx＋3sin2π3sinx＝12sinx＋32cosx＋sinx＋3cosx＋32cosx＋32sinx＝12＋1＋32sinx＋32＋3＋32cosx＝3sinx＋23cosx.(2)证明：左边＝sin[α＋β＋α]－2cosα＋βsinαsinα＝sinα＋βcosα－cosα＋βsinαsinα＝sin[α＋β－α]sinα＝sinβsinα＝右边．拓展提升化简证明三角恒等式的一般方法(1)三角函数式化简的要求、思路和方法①化简的要求a．能求出值的应求出值；B．尽量使三角函数种数最少；C．尽量使项数最少；D．尽量使分母不含三角函数；e.尽量使被开方数不含三角函数．②化简的思路对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法．③化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂等．(2)证明三角恒等式一般采用“由繁到简”“等价转化”“往中间凑”等方法，注意等式两边角的差异、函数名称的差异、结构形式的差异．【跟踪训练2】(1)化简：(tan10°－3)cos10°sin50°；(2)已知sin(2α＋β)＝5sinβ.求证：2tan(α＋β)＝3tanα.解(1)原式＝sin10°－3cos10°cos10°·cos10°sin50°＝212sin10°－32cos10°sin50°＝2sin10°－60°sin50°＝－2.(2)证明：由sin(2α＋β)＝5sinβ，得sin[α＋(α＋β)]＝5sin[(α＋β)－α]．∴sinαcos(α＋β)＋cosαsin(α＋β)＝5sin(α＋β)cosα－5cos(α＋β)sinα，∴2sin(α＋β)cosα＝3sinαcos(α＋β)，两边同除以cosαcos(α＋β)，得2tan(α＋β)＝3tanα.探究3与三角函数性质的综合应用例3已知tanα＝－13，cosβ＝55，α，β∈(0，π)．(1)求tan(α＋β)的值；(2)求函数f(x)＝2sin(x－α)＋cos(x＋β)的最大值．解(1)∵cosβ＝55，β∈(0，π)，∴sinβ＝1－cos2β＝255，∴tanβ＝sinβcosβ＝2，∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－13＋21＋23＝1.(2)∵α∈(0，π)，∴sinα0.解方程组sinαcosα＝－13，sin2α＋cos2α＝1，得sinα＝1010，cosα＝－31010，∴f(x)＝2sinxcosα－2cosxsinα＋cosxcosβ－sinxsinβ＝－355sinx－55cosx＋55cosx－255sinx＝－5sinx，∴函数f(x)的最大值为5.拓展提升转化与化归是解三角函数综合问题的常用方法研究一些较复杂的三角函数的性质时，常先根据两角和与差的三角函数公式化简成y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式再进行研究，出现正切时一般先化弦．【跟踪训练3】已知函数f(x)＝32sinωx＋12cosωx(ω0)的图象的两条相邻对称轴之间的距离为π.(1)求f－π4的值；(2)若α，β∈0，π2，fα－π6＝1213，fβ＋5π6＝－35，求cos(α＋β)的值．解(1)因为f(x)＝32sinωx＋12cosωx，所以f(x)＝sinωx＋π6.因为函数f(x)的图象的两条相邻对称轴之间的距离为π，所以T＝2π，ω＝2πT＝1，所以f(x)＝sinx＋π6.所以f－π4＝sin－π4＋π6＝sinπ6cosπ4－cosπ6sinπ4＝2－64.(2)由(1)得fα－π6＝sinα＝1213，fβ＋5π6＝sin(β＋π)＝－sinβ＝－35，所以sinβ＝35.因为α，β∈0，π2，所以cosα＝1－sin2α＝513，cosβ＝1－sin2β＝45，所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝513×45－1213×35＝－1665.1.三角恒等变换是三角函数部分非常重要的内容．高考中主要考查三角公式的灵活运用，包括正用、逆用、变形应用等，运用公式进行化简、求值、证明以及解三角形或结合三角函数图象和性质解题，其中转化与化归思想、方程思想的应用应引起高度重视．2.三角函数的求值与化简的难点在于众多三角公式的灵活运用和解题突破口的合理选择，认真分析所求式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础，是恰当寻找解题思路的关键所在．要熟悉角的拆并、变换的技巧，掌握求值常用的基本方法，如：切化弦，升降幂，辅助元素法，“1”的代换等.课堂达标自测1．已知cosα＝－45且α∈π2，π，则tanπ4－α等于()A．－17B．－7C．17D．7解析因为cosα＝－45，且α∈π2，π，所以sinα＝35.所以tanα＝sinαcosα＝－34，所以tanπ4－α＝1－tanα1＋tanα＝7.2．函数y＝sin2x＋π6＋cos2x＋π3的最小正周期和最大值分别为()A．π，1B．π，2C．2π，1D．2π，2解析y＝sin2x＋π6＋cos2x＋π3＝32sin2x＋12cos2x＋12cos2x－32sin2x＝cos2x.∴T＝π，最大值为1.3．设a＝2cos66°，b＝cos5°－3sin5°，c＝2(sin47°sin60°－sin24°sin43°)，则a，b，c的大小关系是__________．bac解析b＝2cos65°，c＝2(cos43°cos30°－sin24°sin43°)2(cos43°cos24°－sin24°sin43°)＝2cos67°，∴baC．4．设sinα＝35π2απ，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值等于________．－211解析tan(π－β)＝－tanβ＝12，∴tanβ＝－12，由π2απ，sinα＝35知cosα＝－45，∴tanα＝－34，∴tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanα·tanβ＝－34＋121＋38＝－211.5．已知cosα＝55，cos(α＋β)＝－1010，且0βαπ2，求β的值．解因为0βαπ2，所以0α＋βπ，由cosα＝55，cos(α＋β)＝－1010，得sinα＝255，sin(α＋β)＝31010，所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－1010×55＋31010×255＝22.所以β＝π4.