2019-2020学年高中数学 第3章 三角恒等变换 3.1.2.2 求值、化简与证明课后课时精练课

课后课时精练A级：基础巩固练一、选择题1．若sinα＋cosαsinα－cosα＝12，则tanα＋π4＝()A．－2B．2C．－12D．12解析因为sinα＋cosαsinα－cosα＝12，所以tanα＋1tanα－1＝12，因为tanα＋1tanα－1＝tanα＋tanπ4tanαtanπ4－1＝－tanα＋π4＝12，所以tanα＋π4＝－12.2．函数y＝sin2x＋π4＋sin2x－π4的最小值为()A．2B．－2C．－2D．3解析因为y＝sin2x＋π4＋sin2x－π4＝sin2xcosπ4＋cos2xsinπ4＋sin2xcosπ4－cos2xsinπ4＝2sin2x，所以所求函数的最小值为－2.3．已知向量a＝(cos75°，sin75°)，b＝(cos15°，sin15°)，那么|a－b|的值为()A．12B．22C．32D．1解析因为|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝2－2(cos75°cos15°＋sin75°sin15°)＝2－2cos(75°－15°)＝2－2cos60°＝1.所以|a－b|＝1.4．sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos(110°－x)的值为()A．2B．22C．12D．32解析原式＝sin(65°－x)cos(x－20°)－cos(65°－x)·sin(20°－x)＝sin(65°－x)·cos(x－20°)＋cos(65°－x)·sin(x－20°)＝sin[(65°－x)＋(x－20°)]＝sin45°＝22.5．已知tanα和tanπ4－α是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则a，b，c的关系是()A．b＝a＋cB．2b＝a＋cC．c＝b＋aD．c＝ab解析由韦达定理可知tanα＋tanπ4－α＝－ba且tanαtanπ4－α＝ca，∴tanπ4＝tanα＋π4－α＝－ba1－ca＝1.∴－ba＝1－ca.∴－b＝a－C．∴c＝a＋B．故选C．二、填空题6．计算1－tan5π12·tanπ4tan5π12＋tanπ4的值等于________．－33解析原式＝1tan5π12＋π4＝1tan2π3＝－33.7．已知13sinα＋5cosβ＝9,13cosα＋5sinβ＝15，则sin(α＋β)＝________.5665解析将条件平方并两式相加，得169＋25＋130(sinαcosβ＋cosαsinβ)＝81＋225，∴sin(α＋β)＝112130＝5665.8．已知tanα－β2＝12，tanβ－α2＝－13，则tanα＋β2的值等于________．17解析tanα＋β2＝tanα－β2＋β－α2＝tanα－β2＋tanβ－α21－tanα－β2tanβ－α2＝161＋16＝17.三、解答题9．已知tan(π＋α)＝－13，tan(α＋β)＝sinα＋2cosα5cosα－sinα.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求tanβ的值．解(1)因为tan(π＋α)＝－13，所以tanα＝－13，因为tan(α＋β)＝sinα＋2cosα5cosα－sinα＝tanα＋25－tanα，所以tan(α＋β)＝－13＋25＋13＝516.(2)因为tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝tanα＋β－tanα1＋tanα＋βtanα，所以tanβ＝516＋131－516×13＝3143.10．已知向量a＝(sinθ，－2)与b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈0，π2.(1)求sinθ和cosθ的值；(2)若sin(θ－φ)＝1010，0φπ2，求cosφ的值．解(1)∵a⊥b，∴a·b＝sinθ－2cosθ＝0，即sinθ＝2cosθ.解法一：∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴4cos2θ＋cos2θ＝1，即cos2θ＝15，∴sin2θ＝45.又θ∈0，π2，∴sinθ＝255，cosθ＝55.解法二：由sinθ＝2cosθ可得tanθ＝2，又1cos2θ＝cos2θ＋sin2θcos2θ＝1＋tan2θ＝5，所以cos2θ＝15，sin2θ＝1－cos2θ＝45.又θ∈0，π2，所以sinθ＝255，cosθ＝55.(2)解法一：sin(θ－φ)＝sinθcosφ－cosθsinφ＝1010，将sinθ＝255，cosθ＝55代入上式，整理得2cosφ－sinφ＝22，结合sin2φ＋cos2φ＝1,0φπ2，可得cosφ＝22.解法二：由0θπ2，0φπ2可得－π2θ－φπ2，cos(θ－φ)＝1－sin2θ－φ＝1－10102＝31010，cosφ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cosθcos(θ－φ)＋sinθsin(θ－φ)＝55×31010＋255×1010＝22，∴cosφ＝22.B级：能力提升练1．tan67°－tan22°－tan67°tan22°＝________.1解析因为tan67°－tan22°＝tan(67°－22°)(1＋tan67°·tan22°)＝tan45°(1＋tan67°tan22°)＝1＋tan67°tan22°，所以tan67°－tan22°－tan67°tan22°＝1＋tan67°tan22°－tan67°tan22°＝1.2．是否存在锐角α和β，使(1)α＋2β＝2π3；(2)tanα2tanβ＝2－3同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．解假设存在锐角α和β，使题中的(1)(2)同时成立，则：若α＋2β＝2π3，则α2＋β＝π3，∴tanα2＋β＝tanα2＋tanβ1－tanα2tanβ＝3.又∵tanα2tanβ＝2－3，∴tanα2＋tanβ＝3－3，∴tanα2，tanβ是一元二次方程x2－(3－3)x＋2－3＝0的两根，∴x1＝1，x2＝2－3.∵若tanα2＝1，但由于α是锐角，即0α2π4，故这是不可能的，∴tanα2＝2－3，tanβ＝1.∵0βπ2，∴β＝π4，α＝2π3－2β＝π6.∴存在这样的锐角α＝π6，β＝π4.