2019-2020学年高中数学 第3章 三角恒等变换 3.1.2.1 公式的简单应用课后课时精练课件

课后课时精练A级：基础巩固练一、选择题1．化简cos(x＋y)siny－sin(x＋y)cosy等于()A．sin(x＋2y)B．－sin(x＋2y)C．sinxD．－sinx解析cos(x＋y)siny－sin(x＋y)cosy＝sin[y－(x＋y)]＝－sinx.2．已知cosα－π6＋sinα＝435，则sinα＋7π6的值为()A．－235B．235C．－45D．45解析cosα－π6＋sinα＝32cosα＋12sinα＋sinα＝32cosα＋32sinα＝312cosα＋32sinα＝3sinα＋π6＝435，∴sinα＋π6＝45，∴sinα＋7π6＝－sinα＋π6＝－45.3．设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为()A．－3B．－1C．1D．3解析由根与系数的关系可知tanα＋tanβ＝3，tanαtanβ＝2，tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝31－2＝－3.4．函数f(x)＝sinx－cosx＋π6的值域为()A．[－2,2]B．[－3，3]C．[－1,1]D．－32，32解析因为f(x)＝sinx－cosx＋π6＝sinx－cosxcosπ6＋sinxsinπ6＝sinx－32cosx＋12sinx＝332sinx－12cosx＝3sinx－π6(x∈R)，所以f(x)的值域为[－3，3]．5．△ABC中，若0tanA·tanB1，则△ABC是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定解析∵0tanA·tanB1，∴tanA0，tanB0，tan(A＋B)＝－tanC＝tanA＋tanB1－tanA·tanB0.∴tanC0，又∵0Cπ，∴π2Cπ.二、填空题6.cos23°＋sin15°sin8°sin23°－cos15°sin8°的值为________．2＋3解析原式＝cos15°＋8°＋sin15°sin8°sin15°＋8°－cos15°sin8°＝cos15°cos8°sin15°cos8°＝cos15°sin15°＝cos45°－30°sin45°－30°＝2232＋122232－12＝2＋3.7．若点P(－3,4)在角α的终边上，点Q(－1，－2)在角β的终边上，则sin(α－β)＝________，cos(α＋β)＝________.－25511525解析因为点P(－3,4)在角α的终边上，所以r＝5，故sinα＝45，cosα＝－35.又因为点Q(－1，－2)在角β的终边上，所以r′＝5，故sinβ＝－255，cosβ＝－55，则sin(α－β)＝sinα·cosβ－cosα·sinβ＝45×－55－－35×－255＝－255.cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝－35×－55－45×－255＝11525.8．在△ABC中，A＝120°，则sinB＋sinC的最大值为________．1解析由A＝120°，A＋B＋C＝180°，得sinB＋sinC＝sinB＋sin(60°－B)＝32cosB＋12sinB＝sin(60°＋B)．显然当B＝30°时，sinB＋sinC取得最大值1.三、解答题9．化简下列各式：(1)sinx＋π3＋2sinx－π3－3cos2π3－x；(2)sin2α＋βsinα－2cos(α＋β)．解(1)原式＝sinxcosπ3＋cosxsinπ3＋2sinxcosπ3－2cosxsinπ3－3cos2π3cosx－3sin2π3sinx＝12sinx＋32cosx＋sinx－3cosx＋32cosx－32sinx＝12＋1－32sinx＋32－3＋32cosx＝0.(2)原式＝sin[α＋β＋α]－2cosα＋βsinαsinα＝sinα＋βcosα－cosα＋βsinαsinα＝sin[α＋β－α]sinα＝sinβsinα.10．(1)已知sinα＝35，cosβ＝－513，且α为第一象限角，β为第二象限角，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值；(2)求值：3sinπ12＋cosπ12；(3)在△ABC中，tanB＋tanC＋3tanBtanC＝3，且3tanA＋3tanB＋1＝tanAtanB，判断△ABC的形状．解(1)因为α为第一象限角，β为第二象限角，sinα＝35，cosβ＝－513，所以cosα＝45，sinβ＝1213，∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝35×－513＋45×1213＝3365，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝35×－513－45×1213＝－6365.(2)原式＝232sinπ12＋12cosπ12＝2sinπ12cosπ6＋cosπ12sinπ6＝2sinπ12＋π6＝2sinπ4＝2.(3)tanA＝tan[180°－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝tanB＋tanCtanBtanC－1＝3－3tanBtanCtanBtanC－1＝－3，而0°A180°，∴A＝120°.tanC＝tan[180°－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝tanA＋tanBtanAtanB－1＝tanA＋tanB3tanA＋3tanB＝33，而0°C180°，∴C＝30°，∴B＝180°－120°－30°＝30°，∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形．B级：能力提升练1．在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6,3cosA＋4sinB＝1，则C的大小为()A．π6B．5π6C．π6或5π6D．π3或2π3解析由已知可得(3sinA＋4cosB)2＋(3cosA＋4sinB)2＝62＋12，即9＋16＋24sin(A＋B)＝37.所以sin(A＋B)＝12.所以在△ABC中sinC＝12，所以C＝π6或C＝5π6.又1－3cosA＝4sinB＞0，所以cosA＜13.又13＜12，所以A＞π3，所以C＜2π3.所以C＝5π6不符合题意，所以C＝π6.2．已知0απ2βπ，sinα－π3＝4－3310，cos(β－α)＝210.(1)求sinα的值；(2)求β的值．解(1)∵0απ2βπ，∴－π3α－π3π6，0β－απ.由sinα－π3＝4－3310，cos(β－α)＝210得cosα－π3＝3＋4310，sin(β－α)＝7210.于是sinα＝sinα－π3＋π3＝sinα－π3cosπ3＋cosα－π3sinπ3＝4－3310×12＋3＋4310×32＝45.(2)由(1)知sinα＝45且0απ2，所以cosα＝35.于是cosβ＝cos[(β－α)＋α]＝cos(β－α)cosα－sin(β－α)sinα＝210×35－7210×45＝－22，因为π2βπ，所以β＝3π4.