2019-2020学年高中数学 第3章 三角恒等变换 3.1.2 两角和与差的正弦课件 苏教版必修4

第3章三角恒等变换3.1两角和与差的三角函数3.1.2两角和与差的正弦学习目标核心素养(教师独具)1.能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式推导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式．(难点)2.能利用公式解决简单的化简求值问题．(重点)通过学习本节内容，提升学生的逻辑推理、数学运算核心素养.自主预习探新知两角和与差的正弦公式1．两角和的正弦公式：sin(α＋β)＝.2．两角差的正弦公式：sin(α－β)＝.sinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ3．辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2aa2＋b2sinx＋ba2＋b2cosx，令cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2，则有asinx＋bcosx＝a2＋b2(cosφsinx＋sinφcosx)＝，其中tanφ＝ba，φ为辅助角．a2＋b2sin(x＋φ)思考1：如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？[提示]sin(α＋β)＝cosπ2－α＋β＝cosπ2－α－β＝cosπ2－αcosβ＋sinπ2－αsinβ＝sinαcosβ＋cosαsinβ.思考2：如何推导两角差的正弦呢？[提示]可以由sin(α－β)＝cosπ2－α－β＝cosπ2－α＋β得到，也可以由sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]得到．1．思考辨析(1)sin150°＝sin120°＋sin30°.()(2)sin60°cos30°＋cos60°sin30°＝12.()(3)α，β∈R时，sin(α－β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.()(4)sin54°cos24°－sin36°sin24°＝sin30°.()[解析](1)公式错误．(2)原式＝sin(60°＋30°)＝sin90°＝1.(3)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.(4)原式＝sin54°cos24°－cos54°sin24°＝sin(54°－24°)＝sin30°.[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．sinπ12－3cosπ12＝________.－2[原式＝212sinπ12－32cosπ12＝2cosπ3sinπ12－sinπ3cosπ12＝2sinπ12－π3＝－2sinπ4＝－2.]3.sin47°－sin17°cos30°cos17°等于________．12[原式＝sin17°＋30°－sin17°cos30°cos17°＝cos17°sin30°cos17°＝sin30°＝12.]合作探究提素养【例1】求下列各式的值：(1)sin163°sin223°＋sin253°sin313°；(2)2cos55°－3sin5°sin85°.思路点拨：(1)从角和“形”入手，转化成两角和(差)的正弦求值．(2)注意角的差异与变换：55°＝(60°－5°)，85°＝90°－5°.两角和与差的正弦公式的简单应用[解](1)原式＝sin163°sin(90°＋133°)＋sin(90°＋163°)·sin(180°＋133°)＝sin163°cos133°－cos163°sin133°＝sin(163°－133°)＝sin30°＝12.(2)原式＝2cos60°－5°－3sin5°sin90°－5°＝cos5°＋3sin5°－3sin5°cos5°＝cos5°cos5°＝1.1．对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径(1)化为特殊角的三角函数值；(2)化为正负相消的项，消去求值；(3)化为分子、分母形式，进行约分再求值．2．在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换．提醒：在逆用两角和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求．1．求下列各式的值：(1)sin165°；(2)sin14°cos16°＋sin76°cos74°；(3)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)．[解](1)sin165°＝sin(180°－15°)＝sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝6－24.(2)sin14°cos16°＋sin76°cos74°＝sin14°cos16°＋cos14°sin16°＝sin(14°＋16°)＝sin30°＝12.(3)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°＋60°)＋cos(θ＋15°＋30°)－3cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°)cos60°＋cos(θ＋15°)sin60°＋cos(θ＋15°)cos30°－sin(θ＋15°)sin30°－3cos(θ＋15°)＝12sin(θ＋15°)＋32cos(θ＋15°)＋32cos(θ＋15°)－12sin(θ＋15°)－3cos(θ＋15°)＝0.【例2】已知0＜β＜π4，π4＜α＜3π4，cosπ4－α＝35，sin3π4＋β＝513，求cos(α＋β)的值．思路点拨：注意3π4＋β－π4－α＝π2＋(α＋β)，可通过求出3π4＋β和π4－α的正、余弦值来求cos(α＋β)．给值求值[解]由0＜β＜π4，π4＜α＜34π得－π2＜π4－α＜0，34π＜34π＋β＜π.∴cos3π4＋β＝－1213，sinπ4－α＝－45，cos(α＋β)＝sinπ2＋α＋β＝sin3π4＋β－π4－α＝sin3π4＋βcosπ4－α－cos3π4＋βsinπ4－α＝513×35－－1213×－45＝－3365.解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来.1当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.2当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.3角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式.2．已知α，β是锐角，且sinα＝437，cos(α＋β)＝－1114，求sinβ的值．[解]∵α是锐角，且sinα＝437，∴cosα＝1－sin2α＝1－4372＝17.又∵cos(α＋β)＝－1114，α，β均为锐角，∴sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝5314.∴sinβ＝sin(α＋β－α)＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝5314×17－－1114×437＝32.[探究问题]1．把12sinx＋32cosx化成Asin(ωx＋φ)的形式A＞0，ω＞0，|φ|＜π2.提示：12sinx＋32cosx＝cosπ3sinx＋sinπ3cosx＝sinx＋π3.形如asinx＋bcosx的函数的化简及应用2.3sinx＋cosx如何化成Asin(ωx＋φ)的形式A＞0，ω＞0，|φ|＜π2？提示：3sinx＋cosx＝232sinx＋12cosx＝2sinx＋π6.【例3】已知函数f(x)＝2sinx＋π6－2cosx，x∈π2，π，求函数f(x)的值域．思路点拨：先将函数f(x)化简为f(x)＝asinx＋bcosx的形式，然后化为f(x)＝a2＋b2sin(x＋φ)的形式解决．[解]f(x)＝2sinx＋π6－2cosx＝3sinx－cosx＝2sinx－π6，∵π2≤x≤π，∴π3≤x－π6≤5π6.∴12≤sinx－π6≤1.∴函数f(x)的值域为[1,2]．1．(变结论)本题条件不变，将函数f(x)用余弦函数表示．[解]f(x)＝3sinx－cosx＝232sinx－12cosx＝2sinxsinπ3－cosxcosπ3＝－2cosxcosπ3－sinxsinπ3＝－2cosx＋π3.2．(变结论)本例条件不变，求函数f(x)的单调区间．[解]f(x)＝2sinx－π6，由2kπ－π2≤x－π6≤2kπ＋π2，得2kπ－π3≤x≤2kπ＋2π3，与π2≤x≤π取交集得π2≤x≤2π3，∴函数f(x)的单调递增区间为π2，2π3；由2kπ＋π2≤x－π6≤2kπ＋3π2，得2kπ＋2π3≤x≤2kπ＋5π3，与π2≤x≤π取交集得2π3≤x≤π，∴函数f(x)的单调递减区间为2π3，π.一般地，对于asinα＋bcosα形式的代数式，可以提取a2＋b2，化为Asinωx＋φ的形式，公式asinα＋bcosα＝a2＋b2sinα＋φ或asinα＋bcosα＝a2＋b2cosα－φ称为辅助角公式.利用辅助角公式可对代数式进行化简或求值.提醒：在使用辅助角公式时常因把辅助角求错而致误.教师独具1．本节课的重点是两角和与差的正弦公式，难点是公式的灵活应用．2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sinβcos(α＋β)－cosβsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：sinβcos(α＋β)－cosβsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sinα.3．运用两角和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，运用恰当的公式快速求解．当堂达标固双基1．sin20°cos10°－cos160°sin10°＝()A.12B．－12C.32D．－32A[原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝12.]2．若cosα＝－45，α是第三象限角，则sinα＋π4＝________.－7210[∵cosα＝－45，α是第三象限角，∴sinα＝－35，∴sinα＋π4＝sinαcosπ4＋cosαsinπ4＝－35×22＋－45×22＝－7210.]3．若α是锐角，且满足sinα－π6＝13，则sinα的值为________．3＋226[∵α是锐角，∴0＜α＜π2，∴－π6＜α－π6＜π3，又sinα－π6＝13，∴cosα－π6＝223.∴sinα＝sinα－π6＋π6＝sinα－π6cosπ6＋cosα－π6sinπ6＝13×32＋223×12＝3＋226.]4．若函数f(x)＝sin2x＋π6＋cos2x＋π3.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的值域．[解]f(x)＝sin2x＋π6＋cos2x＋π3＝sin2xcosπ6＋cos2xsinπ6＋cos2xcosπ3－sin2xsinπ3＝32sin2x＋12cos2x＋12cos2x－32sin2x＝cos2x.(1)T＝2π2＝π.(2)∵cos2x∈[－1,1]，∴f(x)∈[－1,1]．