2019-2020学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何本章整合提升课件 新人教A版选修2-1

第三章空间向量与立体几何本章整合提升空间向量可以看成是平面向量的推广，它们之间有许多共同性质，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等都是一致的；空间向量的加减运算、数乘运算、数量积运算及其运算律都与平面向量一致．注意：若O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序数组{x，y，z}，使OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，当且仅当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点共面．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，P到A，B，C，D的距离都等于2，给出以下结论：①(PA→＋PB→)·AB→＋AD→·AC→＝1；②PB→·PD→＝7；③PA→·PB→＝PC→·PD→；④PA→·PC→＝0.其中正确结论的序号是________．【解析】①如图所示M为AB的中点，∴PA→＋PB→＝2PM→，又∵PA＝PB，∴PM⊥AB，∴PM→·AB→＝0，又AD→·AC→＝1×2×22＝1.∴(PA→＋PB→)·AB→＋AD→·AC→＝1.故①正确；②连接BD，PB→·PD→＝|PB→|·|PD→|·cos∠BPD＝2×2×|PB→|2＋|PD→|2－|BD→|22|PB→||PD→|＝2×2×4＋4－22×2×2＝3.故②错；③由于P－ABCD为底面是边长为1的正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，∴∠APB＝∠CPD，又PA→·PB→＝|PA→||PB→|cos∠APB＝4cos∠APB，PC→·PD→＝|PA→||PB→|cos∠CPD＝4cos∠CPD，∴PA→·PB→＝PC→·PD→，故③正确，④显然不正确，故正确的有①③.【答案】①③向量作为工具来研究立体几何，真正把几何的形与代数中的数实现了有机结合，给立体几何的研究带来了极大的便利，利用空间向量可以解决空间中的一些线面关系，如平行(包括线线平行、线面平行、面面平行)，垂直(包括线线垂直、线面垂直、面面垂直)等．已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．(1)求证：BN⊥平面C1B1N；(2)设θ为直线C1N与平面CNB1所成的角，求sinθ的值；(3)设M为AB的中点，在BC边上求一点P，使MP∥平面CNB1，求BPPC的值．【解】(1)证明：∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，∴BA，BC，BB1两两垂直．且BC＝4，BA＝4，BB1＝8，AN＝4，以BA，BB1，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则N(4,4,0)，B1(0,8,0)，C1(0,8,4)，C(0,0,4)．∵BN→·NB1→＝(4,4,0)·(－4,4,0)＝－16＋16＝0，BN→·B1C1→＝(4,4,0)·(0,0,4)＝0，∴BN⊥NB1，BN⊥B1C1，且NB1与B1C1相交于B1，∴BN⊥平面C1B1N.(2)设n＝(x，y，z)为平面NCB1的法向量，则n·CN→＝0，n·NB1→＝0，∴x＋y－z＝0，－x＋y＝0，取n＝(1,1,2)．又∵C1N→＝(4，－4，－4)，∴sinθ＝|cos〈n，C1N→〉|＝|n·C1N→||n|·|C1N→|＝|1×4＋1×－4＋2×－4|6×48＝23.(3)∵M为AB的中点，∴M(2,0,0)．设P(0,0，a)(0≤a≤4)为BC上一点，则MP→＝(－2,0，a)．∵MP∥平面CNB1，∴MP→⊥n.∴MP→·n＝(－2,0，a)·(1,1,2)＝－2＋2a＝0，∴a＝1.又∵MP⊄平面CNB1，∴MP∥平面CNB1.∴当PB＝1时，MP∥平面CNB1，且BPPC＝13.空间中的角有异面直线所成的角、线面角、二面角的平面角，它是高考中的必考内容，尤其是二面角的求解，每年都会考查，并且空间几何体的考查形式多为锥体和不规则几何体．(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝22，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角M－PA－C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．解：(1)证明：∵AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，∴OP⊥AC，且OP＝23.连接OB，∵AB＝BC＝22AC，∴△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝12AC＝2.∵OP2＋OB2＝PB2，∴PO⊥OB.∵OP⊥AC，OP⊥OB，∴PO⊥平面ABC.(2)如图，以O为坐标原点，OB→的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系O－xyz.由已知，得O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0，－2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,23)．∴AP→＝(0,2,23)．取平面PAC的一个法向量OB→＝(2,0,0)．设M(a,2－a,0)(0a≤2)，则AM→＝(a,4－a,0)，设平面PAM的法向量为n＝(x，y，z)，由AP→·n＝0，AM→·n＝0，得2y＋23z＝0，ax＋4－ay＝0.可取n＝(3(a－4)，3a，－a)．∴|cos〈OB→，n〉|＝|OB→·n||OB→||n|＝|23a－4|23a－42＋3a2＋a2＝32，解得a＝－4(舍去)，a＝43.∴n＝－833，433，－43.又∵PC→＝(0,2，－23)，∴cos〈PC→，n〉＝PC→·n|PC→||n|＝16334×163＝34.∴PC与平面PAM所成角的正弦值为34.