2019-2020学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2.2 空间线面关系的判定课件 苏教

第3章空间向量与立体几何3.2空间向量的应用3.2.2空间线面关系的判定学习目标核心素养1.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系，能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．(重点)2.能用向量方法判定空间线面的平行和垂直关系．(重点、难点)3.向量法证明线面平行．(易错点)1.通过线面位置关系的判断与证明，培养逻辑推理素养．2.借助方向向量、法向量的应用，提升数学运算素养.自主预习探新知向量法判定线面关系设空间两条直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，两个平面α1，α2的法向量分别为n1，n2，则有下表：平行垂直l1与l2_______________l1与α1______________α1与α2______________e1∥e2e1⊥e2e1⊥n1e1∥n1n1∥n2n1⊥n2思考：若一个平面内一条直线的方向向量与另一个平面的法向量共线，则这两个平面是否垂直？[提示]垂直B[∵n＝(－2,0，－4)＝－2(1,0,2)＝－2a，∴n∥a，∴l⊥α.]1．若直线l的方向向量a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交平行[∵n1＝－3n2，∴n1∥n2，故α∥β.]2．已知不重合的平面α，β的法向量分别为n1＝12，3，－1，n2＝－16，－1，13，则平面α与β的位置关系是________．垂直[∵a·b＝(3,1，－2)·(－1,3,0)＝－3＋3＋0＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.]3．设直线l1的方向向量为a＝(3,1，－2)，l2的方向向量为b＝(－1,3,0)，则直线l1与l2的位置关系是________．垂直[∵n＝－2a，∴n∥a，又n是平面α的法向量，所以l⊥α.]4．若直线l的方向向量为a＝(－1,2,3)，平面α的法向量为n＝(2，－4，－6)，则直线l与平面α的位置关系是________．合作探究提素养利用空间向量证明线线平行【例1】如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．[证明]以点D为坐标原点，分别以DA→，DC→，DD1→为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，E0，0，12，C1(0,1,1)，F1，1，12，∴AE→＝－1，0，12，FC1→＝－1，0，12，EC1→＝0，1，12，AF→＝0，1，12，∵AE→＝FC1→，EC1→＝AF→，∴AE→∥FC1→，EC1→∥AF→，又∵F∉AE，F∉EC1，∴AE∥FC1，EC1∥AF，∴四边形AEC1F是平行四边形．1．两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相交或异面．2．直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．3．两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直．1．长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1.求证：EF∥AC1.[证明]如图所示，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设DA＝a，DC＝b，DD1＝c，则得下列各点的坐标：A(a，0,0)，C1(0，b，c)，E23a，23b，c，Fa，b3，23c.∴FE→＝－a3，b3，c3，AC1→＝(－a，b，c)，∴FE→＝13AC1→.又FE与AC1不共线，∴直线EF∥AC1.利用空间向量证明线面、面面平行[探究问题]在用向量法处理问题时，若几何体的棱长未确定，应如何处理？提示：可设几何体的棱长为1或a，再求点的坐标．【例2】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.[思路探究][证明]法一：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，M0，1，12，N12，1，1，于是DA1→＝(1,0,1)，DB→＝(1,1,0)，MN→＝12，0，12.设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥DA1→，n⊥DB→，即n·DA1→＝x＋z＝0，n·DB→＝x＋y＝0，取x＝1，则y＝－1，z＝－1，∴平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．又MN→·n＝12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN→⊥n.∴MN∥平面A1BD.法二：MN→＝C1N→－C1M→＝12C1B1→－12C1C→＝12(D1A1→－D1D→)＝12DA1→，∴MN→∥DA1→，∴MN∥平面A1BD.法三：MN→＝C1N→－C1M→＝12C1B1→－12C1C→＝12DA→－12A1A→＝12DB→＋BA→－12A1B→＋BA→＝12DB→－12A1B→.即MN→可用A1B→与DB→线性表示，故MN→与A1B→，DB→是共面向量，故MN∥平面A1BD.1．本例中条件不变，试证明平面A1BD∥平面CB1D1.[证明]由例题解析知，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，则CD1→＝(0，－1,1)，D1B1→＝(1,1,0)，设平面CB1D1的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则m⊥CD1→m⊥D1B1→，即m·CD1→＝－y1＋z1＝0，m·D1B1→＝x1＋y1＝0，令y1＝1，可得平面CB1D1的一个法向量为m＝(－1,1,1)，又平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．所以m＝－n，所以m∥n，故平面A1BD∥平面CB1D1.2．若本例换为：在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG.[证明]∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB，∴EF⊥AE，EF⊥BE.又∵AE⊥EB，∴EB，EF，EA两两垂直．以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，F(0,3,0)，D(0,2,2)，G(2，2,0)，∴ED→＝(0,2,2)，EG→＝(2,2,0)，AB→＝(2,0，－2)．设平面DEG的法向量为n＝(x，y，z)，则ED→·n＝0，EG→·n＝0，即2y＋2z＝0，2x＋2y＝0，令y＝1，得z＝－1，x＝－1，则n＝(－1,1，－1)，∴AB→·n＝－2＋0＋2＝0，即AB→⊥n.∵AB⊄平面DEG，∴AB∥平面DEG.1．向量法证明线面平行的三个思路(1)设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u，即a·u＝0.(2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．2．证明面面平行的方法设平面α的法向量为μ，平面β的法向量为v，则α∥β⇔μ∥v.向量法证明垂直问题【例3】如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)AE⊥CD；(2)PD⊥平面ABE.[思路探究]建系→求相关点的坐标→求相关向量的坐标→判断向量的关系→确定线线、线面关系[证明]AB，AD，AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PA＝AB＝BC＝1，则P(0,0,1)．(1)∵∠ABC＝60°，∴△ABC为正三角形，∴C12，32，0，E14，34，12.设D(0，y,0)，由AC⊥CD，得AC→·CD→＝0，即y＝233，则D0，233，0，∴CD→＝－12，36，0.又AE→＝14，34，12，∴AE→·CD→＝－12×14＋36×34＝0，∴AE→⊥CD→，即AE⊥CD.(2)法一：∵P(0,0,1)，∴PD→＝0，233，－1.又AE→·PD→＝34×233＋12×(－1)＝0，∴PD→⊥AE→，即PD⊥AE.∵AB→＝(1,0,0)，∴PD→·AB→＝0.∴PD⊥AB，又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.法二：AB→＝(1,0,0)，AE→＝14，34，12，设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，则x＝0，14x＋34y＋12z＝0，令y＝2，则z＝－3，∴n＝(0,2，－3)．∵PD→＝0，233，－1，显然PD→＝33n.∴PD→∥n，∴PD→⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE.1．证明线线垂直常用的方法证明这两条直线的方向向量互相垂直．2．证明线面垂直常用的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；(2)证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直．3．证明面面垂直常用的方法(1)转化为线线垂直、线面垂直处理；(2)证明两个平面的法向量互相垂直．2．在例3中，平面ABE与平面PDC是否垂直，若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．[解]由例3，可知CD→＝－12，36，0，PD→＝0，233，－1，设平面PDC的法向量为m＝(x，y，z)，则m·CD→＝－12x＋36y＝0，m·PD→＝233y－z＝0，令y＝3，则x＝1，z＝2，即m＝(1，3，2)，由例3知，平面ABE的法向量为n＝(0,2，－3)，∴m·n＝0＋23－23＝0，∴m⊥n.所以平面ABE⊥平面PDC.1．应用向量法证明线面平行问题的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．(3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．2．证明面面平行的方法设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．3．(1)证明线面垂直问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系来证明．(2)证明面面垂直问题，常转化为线线垂直、线面垂直或两个平面的法向量垂直.当堂达标固双基1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若向量n1，n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．()(2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．()[答案](1)√(2)√(3)√(4)×(3)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内所有直线的方向向量的数量积为0.()(4)两个平面垂直，则其中一个平面内的直线的方向向量与另一个平面内的直线的方向向量垂直．()2．已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)，a与b分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则()A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝152C．x＝3，y＝15D．x＝6，y＝152D[∵l1∥l2，∴a∥b，∴存在λ