2019-2020学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法 第一课时

第三章空间向量与立体几何3．2立体几何中的向量方法第一课时用空间向量解决平行关系梳理知识夯实基础自主学习导航目标导学1．理解直线的方向向量与平面的法向量．2．掌握运用方向向量和平面法向量，证明平行问题的方法．3．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系．‖知识梳理‖1．空间中任意一条直线l的位置可以由___________以及___________确定，这个向量叫做直线的方向向量．2．若直线l垂直于平面α，取直线l的方向向量a，则a⊥α，则a叫做平面α的___________．l上一个定点一个向量法向量解剖难点探究提高重点难点突破空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行．(1)线线平行设直线l1，l2的方向向量分别是a，b，则要证明l1∥l2，只需证明a∥b，即a＝kb(k∈R)．(2)线面平行①设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u，即a·u＝0.②根据线面平行的判定定理：“如果直线(平面外)与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．③根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线的向量线性表示即可．(3)面面平行①由平面与平面平行的判定定理可知，要证明面面平行，只要转化为证明相应的线面平行、线线平行即可．②若能求出平面α，β的法向量u，ν，则要证明α∥β，只需证明u∥ν即可．归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一求直线的方向向量，平面的法向量如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．(1)求直线MN的方向向量；(2)求平面A1BD的一个法向量．【思路探索】(1)建立空间直角坐标系，求出点M，N的坐标，从而得MN的方向向量．(2)设出平面A1BD的法向量，利用法向量与平面内的两个向量的数量积为零，列出方程组求解．【解】如图所示，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则可求得D(0,0,0)，B(1,1,0)，A1(1,0,1)，M0，1，12，N12，1，1.(1)MN→＝12，0，12，故直线MN的方向向量为12，0，12.(2)设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·DA→1＝0且n·DB→＝0，得x＋z＝0，x＋y＝0.取x＝1，得y＝－1，z＝－1.从而得n＝(1，－1，－1)．所以，平面A1BD的一个法向量为(1，－1，－1)．[名师点拨]1．欲求一个平面的法向量，一般要建立空间直角坐标系，先设出平面的法向量n＝(x，y，z)，然后找出平面内两个不共线的向量a，b，然后建立关于x，y，z的方程组a·n＝0，b·n＝0，解方程组即得法向量．2．由于上述方程组的解有无数多个，故只需给x，y，z中的一个赋值即可得到一个确定的平面的法向量，赋的值不同，所求平面的法向量也就不同，但它们都是共线向量.(1)若点A－12，0，12，B12，2，72在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A.13，23，1B．13，1，23C.23，13，1D．1，23，13(2)已知AB→＝(2,2,1)，AC→＝(4,5,3)，则平面ABC的一个单位法向量可以表示为()A．a＝(－1,2，－2)B．a＝12，－1，1C．a＝13，－23，23D．a＝13，23，－23解析：(1)AB→＝OB→－OA→＝12，2，72－－12，0，12＝(1,2,3)＝313，23，1，而与AB→共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量．(2)设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则AB→·n＝0，AC→·n＝0，得2x＋2y＋z＝0，4x＋5y＋3z＝0，令x＝1，解得y＝－2，z＝2，从而得平面ABC的一个法向量为n＝(1，－2,2)，与n共线的单位向量为13，－23，23.答案：(1)A(2)C题型二利用向量证明平行问题已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1、DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.【思路探索】建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，再利用方向向量和法向量的关系证明线面平行、面面平行．另外，对于(1)，还可以根据共面向量定理证明，即将向量FC1→用平面ADE内的两个不共线向量线性表示，从而证明线面平行．【证明】如图所示建立空间直角坐标系D－xyz，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，所以FC1→＝(0,2,1)，DA→＝(2,0,0)，AE→＝(0,2,1)．(1)证法一：设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1⊥DA→，n1⊥AE→，即2x1＝0，2y1＋z1＝0，令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2)．因为FC1→·n1＝－2＋2＝0，所以FC1→⊥n1.又因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE.证法二：若设FC1→＝λDA→＋μAE→，则(0,2,1)＝λ(2,0,0)＋μ(0,2,1)．∴2λ＝0，2μ＝2，μ＝1，解得λ＝0，μ＝1，即FC1→＝AE→，于是FC1→∥AE→.又因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE.(2)因为C1B1→＝(2,0,0)，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的法向量．由n2⊥FC1→，n2⊥C1B1→，得2y2＋z2＝0，2x2＝0，令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)．因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.[名师点拨]设直线l，m的方向向量为a，b，平面α，β的法向量为u，ν，则：线线平行：l∥m⇔a∥b；线面平行：l∥α⇔a⊥u；面面平行：α∥β⇔u∥ν.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E分别为B1A，C1C的中点．求证：DE∥平面ABC.证明：如图建立空间直角坐标系A－xyz，令AB＝AA1＝4，∴A(0,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，E(0,4,2)，∴DE→＝(－2,4,0)，又平面ABC的一个法向量为AA1→＝(0,0,4)．∴DE→·AA1→＝－2×0＋4×0＋0×4＝0，∴DE→⊥AA1→，又DE⊄平面ABC，∴DE∥平面ABC.即学即练稳操胜券课堂基础达标1．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于()A．2B．－4C．4D．－2解析：∵α∥β，∴(1,2，－2)＝λ(－2，－4，k)，∴k＝4.答案：C2．已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)，a与b分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则()A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝152C．x＝3，y＝15D．x＝6，y＝152解析：∵l1∥l2，∴a∥b，∴存在λ∈R，使a＝λb，则有2＝3λ，4＝λx,5＝λy，∴x＝6，y＝152.答案：D3．若平面α，β的法向量分别为a＝12，－1，－3，b＝(－1,2,6)，则()A．α∥βB．α⊥βC．α∥β或α与β重合D．α与β相交但不垂直解析：∵a＝12，－1，－3，b＝(－1,2,6)，∴b＝－2a，∴a∥b，∴α∥β或α与β重合．答案：C4．直线l的方向向量为a＝(2，－1,1)，平面α的法向量为n＝12，0，－1，则l与α的位置关系为________．解析：∵a＝(2，－1,1)，n＝12，0，－1，∴a·n＝2×12＋(－1)×0＋1×(－1)＝0，∴a⊥n，∴l⊂α或l∥α.答案：l∥α或l⊂α5．如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝λAA′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．证明：MN∥平面A′ACC′.证明：如图所示，以A为坐标原点，AB，AC，AA′所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A－xyz.设AA′＝1，则AB＝AC＝λ，于是A(0,0,0)，B(λ，0,0)，C(0，λ，0)，A′(0,0,1)，B′(λ，0,1)，C′(0，λ，1)，所以Mλ2，0，12，Nλ2，λ2，1.从而MN→＝0，λ2，12.又AB⊥平面A′ACC′，所以平面A′ACC′的一个法向量是AB→＝(λ，0,0)．因为MN→·AB→＝0，且MN⊄平面A′ACC′，所以MN∥平面A′ACC′.