2019-2020学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法 第三课时

第三章空间向量与立体几何3．2立体几何中的向量方法第三课时空间向量与空间角梳理知识夯实基础自主学习导航目标导学1．理解直线与平面所成角的概念．2．掌握利用向量的方法解决线线角、线面角、面面角的求法．‖知识梳理‖1．设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量分别为a，b，则cosθ＝___________.2．设直线l与平面α所成的角为θ，直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈a，n〉|＝___________.3．设二面角α－l－β的平面角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则|cosθ|＝___________.|a·b||a||b||a·n||a||n||n1·n2||n1||n2|解剖难点探究提高重点难点突破空间中的角共有三类：异面直线所成的角，线面角，二面角的平面角，过空间任意一点O做a′，b′两条直线分别与异面直线a，b平行，则a′，b′所夹的锐角或直角叫做异面直线a，b所成的角，其范围是0，π2，设a，b分别为异面直线a，b上的方向向量，则异面直线a，b所成的角θ满足cosθ＝|a·b||a||b|.直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角，其范围是0，π2，设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，则直线l与平面α所成的角θ满足sinθ＝|a·n||a||n|.在二面角α－l－β的棱上任取一点O，在两个半平面内分别做OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角α－l－β的平面角，二面角的平面角的取值范围是[0，π]．二面角的向量求法：利用向量求二面角的平面角有两种方法：①若AB，CD分别是二面角α－l－β的两个半平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB→与CD→的夹角(如图①)．②设n1，n2是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小(如图②)．归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一求异面直线所成的角如图，ABCD为矩形，AB＝2，AD＝4，PA⊥面ABCD，PA＝3，求异面直线PB与AC所成角的余弦值．【思路探索】建立空间直角坐标系，利用向量求解．【解】以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，P(0,0,3)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，则PB→＝(2,0，－3)，AC→＝(2,4,0)．设PB与AC所成的角为θ，则cosθ＝|PB→·AC→||PB→||AC→|＝422＋－32×22＋42＝413×25＝26565.[名师点拨]空间两条直线之间的夹角的范围是0，π2，因此利用向量求两条异面直线所成的角时，应首先找出两条直线上的方向向量a，b，再利用公式cosθ＝|a·b||a||b|求解．(2019·宿州市十三所重点中学期中)如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的棱长均为2，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值是()A.32B．12C.14D．0解析：以AC的中点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，则A1(0，－1,2)，B(3，0,0)，B1(3，0,2)，C(0,1,0)，A1B→＝(3，1，－2)，B1C→＝(－3，1，－2)，cos〈A1B→，B1C→〉＝A1B→·B1C→|A1B→||B1C→|＝222×22＝14.答案：C题型二求直线与平面所成的角已知在正三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长与底面边长相等，求AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值．【思路探索】解决此类问题的关键是建立空间直角坐标系，利用公式求解．【解】建立如图所示的空间直角坐标系E－xyz，其中坐标原点E为A1C1的中点，设棱长为1，则A12，0，1，B10，32，0，AB1→＝－12，32，－1.显然平面ACC1A1的一个法向量为n＝(0,1,0)，设AB1与侧面ACC1A1所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈AB→，n〉|＝|AB1→·n||AB1→||n|＝322＝64.∴AB1与面ACC1A1所成的角的正弦值为64.[名师点拨]求直线与平面的夹角的方法与步骤(1)用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向量．利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤为：①建立空间直角坐标系；②求直线的方向向量AB→；③求平面的法向量n；④计算：设线面角为θ，则sinθ＝|n·AB→||n||AB→|.(2)找直线在平面内的射影，充分利用线与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值).(2019·南昌高三一模)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝π2，AB＝AC＝2，AA1＝6，则直线AA1与平面AB1C1所成的角为()A.π6B．π4C.π3D．π2解析：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝π2，即AB⊥AC，以A为坐标原点，AC→，AB→，AA1→的方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B1(0,2，6)，C1(2,0，6)，A1(0,0，6)，AA1→＝(0,0，6)，AB1→＝(0,2，6)，AC1→＝(2,0，6)．设平面AB1C1的法向量为n＝(x，y，z)，则由n·AB1→＝0，n·AC1→＝0，得2y＋6z＝0，2x＋6z＝0，令x＝1，则y＝1，z＝－63，所以n＝1,1，－63.设直线AA1与平面AB1C1所成角为θ，则sinθ＝|cos〈n，AA1→〉|＝12，所以θ＝π6.答案：A题型三求二面角的平面角已知，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝2.求二面角A－PB－C的余弦值．【思路探索】解答本题可建立适当的空间直角坐标系，利用平面的法向量求解；也可在二面角的两个面内分别作棱的垂线，利用两线的方向向量所成的角求解．【解】解法一：如图，建立空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(2，1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，∴AP→＝(0,0,1)，AB→＝(2，1,0)．设平面PAB的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，由n1·AP→＝0，n1·AB→＝0，得z1＝0，2x1＋y1＝0.令x1＝1，则n1＝(1，－2，0)．又CP→＝(0，－1,1)，CB→＝(2，0,0)．设平面PBC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，由n2·CP→＝0，n2·CB→＝0，得－y2＋z2＝0，2x2＝0.令z2＝1，则n2＝(0,1,1)．∴cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1||n2|＝－23×2＝－33.∵所求二面角为锐角，∴二面角A－PB－C的余弦值为33.解法二：如图所示，取PB的中点D，连接CD.∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC.∴PC＝PA2＋AC2＝2.∵PC＝BC＝2，∴CD⊥PB.作AE⊥PB于E，那么二面角A－PB－C平面角的大小就等于DC→与EA→的夹角θ.∵PA⊥平面ABC，BC⊥AC，∴PC⊥BC.∴PB＝PC2＋BC2＝2.∴PD＝1，PE＝PA2PB＝12.∴DE＝PD－PE＝12.又∵AE＝AP·ABPB＝32，CD＝1，AC＝1，AC→＝AE→＋ED→＋DC→，且AE→⊥ED→，ED→⊥DC→，∴|AC→|2＝|AE→|2＋|ED→|2＋|DC→|2＋2|AE→|·|DC→|·cos(π－θ)，即1＝34＋14＋1－2×32×1×cosθ，解得cosθ＝33，故二面角A－PB－C的余弦值为33.[名师点拨]用向量法求二面角(或其某个三角函数值)的步骤(1)建立适当的坐标系，写出相应点的坐标．(2)求出两个半平面的法向量n1，n2.(3)设二面角的平面角为θ，则|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|.(4)根据图形判断θ为钝角还是锐角，从而求出θ(或三角函数值).(2019·包头四中高二期中)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点，试用空间向量知识解下列问题：(1)求证：AB1⊥平面A1BD；(2)求二面角A－A1D－B的余弦值．解：(1)证明：取BC中点O，连接AO，∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC，∵在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1，取B1C1中点为O1，以O为原点，OB→，OO1→，OA→的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O－xyz，则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，3)，A(0,0，3)，B1(1,2,0)，∴AB1→＝(1,2，－3)，BD→＝(－2,1,0)，BA1→＝(－1,2，3)，∵AB1→·BD→＝－2＋2＋0＝0，AB1→·BA1→＝－1＋4－3＝0，∴AB1→⊥BD→，AB1→⊥BA1→，BD∩BA1＝B，∴AB1⊥平面A1BD.(2)设平面A1AD的法向量为n＝(x，y，z)，且AD→＝(－1,1，－3)，AA1→＝(0,2,0)．∵n⊥AD→，n⊥AA1→，∴n·AD→＝0，n·AA1→＝0，∴－x＋y－3z＝0，2y＝0，令z＝1，得n＝(－3，0,1)为平面A1AD的一个法向量，由(1)知，AB1⊥平面A1BD，∴AB1→为平面A1AD的一个法向量，又∵cos〈n，AB1→〉＝n·AB1→|n||AB1→|＝－3－32×22＝－64，∴二面角A－A1D－B的余弦值为64.即学即练稳操胜券课堂基础达标1．若平面α的法向量为n，直线l的方向向量为a，直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是()A．cosθ＝n·a|n||a|B．cosθ＝|n·a||n||a|C．sinθ＝n·a|n||a|D．sinθ＝|n·a||n||a|解析：若直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量与该平面的法向量所成的角为β，则θ＝β－90°或θ＝90°－β，cosβ＝n·a|n||a|，∴sinθ＝|cosβ|＝|n·a||n||a|.答案：D2.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1(侧棱与底面垂直)中，AA1＝AB＝AC，AB⊥AC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，P是A1B1的中点，则直线PQ与AM所成的角为()A.π6B．π4C.π3D．π2解析:以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，设AA1＝AB＝AC＝2，则AM→＝(0,2,1)，Q(1,1,0)，P(1，0,2)，QP→＝(0，－1,2)，所以QP→·AM→＝0，即QP→⊥AM→所以QP与AM所成的角为π2.答案：D3．在二面角α－l－β中，平面α的一个法向量n1＝(3，－1，－22)，平面β的一个法向量n2＝0，12，2，则二面角α－l－β的大小为()A．120°B．150°C．30°或150°D．60°或120°解析：设二面角为θ，则|cosθ|＝|n1·n2||n1||n2|＝32，又θ∈[0°，180°]∴θ＝30°或θ＝150°.答案：C4．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝3，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为()A.π6B．π4C.π3D．π2解析：因为AB＝1，AC＝2，BC＝3，AC2＝BC2＋AB2，所以AB⊥BC.因为三棱柱为直三棱柱，所以BB1⊥平面ABC.以B为原点，BC，BA，BB1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz，则A(0,1,0)，C(3，0,0)．设B1(0,0，a)，则C1(3，0，a)，所以D32，12，a2，E0，0，a2，所以DE→＝－32，－12，0，又平面BB1C1C的一个法向量为BA→＝(0,1,0)．设直线DE与平面BB1C1C所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈DE→，BA→〉|＝12，所以θ＝π6.答案：A5．如图，在矩形ABCD中，CD＝2，