2019-2020学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法 第二课时

第三章空间向量与立体几何3．2立体几何中的向量方法第二课时用空间向量解决垂直关系梳理知识夯实基础自主学习导航目标导学1．能利用平面法向量证明两个平面的垂直问题．2．能利用直线的方向向量和平面的法向量证明直线与平面垂直．‖知识梳理‖空间垂直关系的向量表示(1)线线垂直：设直线l，m的方向向量分别为a，b，则l⊥m⇔a⊥b⇔_________.(2)线面垂直：设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔________⇔_______________.(3)面面垂直：若平面α的法向量为u，平面β的法向量为ν，则α⊥β⇔u⊥ν⇔____________.a·b＝0a∥ua＝ku，k∈Ru·ν＝0解剖难点探究提高重点难点突破空间中的垂直关系包括线线垂直，线面垂直和面面垂直，这几种垂直关系是可以相互转化的，判定或证明垂直关系的方法主要是用判定定理或直线的方向向量、平面的法向量间的关系进行的．空间中垂直关系的证明方法如下：1．线线垂直：(1)可以证明两直线的方向向量的数量积为0.(2)可以证明两直线所成角为直角．2．线面垂直：(1)根据判定定理转化为线线垂直．(2)证明直线的方向向量与平面的法向量平行．3．面面垂直：(1)根据判定定理证明线面垂直．(2)证明两个平面的法向量垂直．归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一利用空间向量证明线线垂直如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，求证：BD⊥PC.【思路探索】欲证BD⊥PC，可建立空间直角坐标系，只需证出BD→·PC→＝0即可．【证明】以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，设PA＝h，AB＝a，则B(a,0,0)，D(0，a,0)，C(a，a,0)，P(0,0，h)，∴BD→＝(－a，a,0)，PC→＝(a，a，－h)，又BD→·PC→＝－a2＋a2＋0＝0，∴BD→⊥PC→，即BD⊥PC.[名师点拨]利用空间向量证明线线垂直时，只需确定两条直线的方向向量，由数量积为0即可得证.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，DB的中点，求证：EF⊥B1C.证明：建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则E(0,0,1)，F(1,1,0)，B1(2,2,2)，C(0,2,0)．∴EF→＝(1,1，－1)，B1C→＝(－2，0，－2)．又EF→·B1C→＝1×(－2)＋1×0＋(－1)×(－2)＝0，∴EF→⊥B1C→，即EF⊥B1C.题型二证明线面垂直在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，D1B1的中点，求证：EF⊥平面B1AC.【思路探索】可以通过验证EF→与平面B1AC内两条相交直线的方向向量垂直证明EF⊥平面B1AC；也可以通过验证直线EF的方向向量与平面B1AC的法向量平行证明EF⊥平面B1AC.【证明】设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2)．证法一：EF→＝(－1，－1,1)，AB1→＝(0,2,2)，AC→＝(－2,2,0)．∵EF→·AB1→＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝0，EF→·AC→＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝0，∴EF⊥AB1，EF⊥AC，又AB1∩AC＝A，∴EF⊥平面B1AC.证法二：设平面B1AC的法向量为n＝(x，y，z)．∵AB1→＝(0,2,2)，AC→＝(－2,2,0)，AB1∩AC＝A，∴n⊥AB1→，n⊥AC→，即n·AB1→＝2y＋2z＝0，n·AC→＝－2x＋2y＝0.令x＝1，可得平面B1AC的一个法向量为n＝(1,1，－1)．又EF→＝(－1，－1,1)，即EF→＝－n，∴EF→∥n，∴EF⊥平面B1AC.[名师点拨]利用空间向量证明线面垂直的方法有两种：一种是利用判定定理，即通过证明向量数量积为零来验证直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直；另一种是利用法向量即验证直线的方向向量与平面的法向量平行.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱BB1的中点，在棱DD1上是否存在一点P，使MD⊥平面PAC?解：如图所示，以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系D－xyz.则A(1,0,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，M1，1，12.假设存在P(0,0，z0)满足条件，则PA→＝(1,0，－z0)，AC→＝(－1,1,0)．设平面PAC的法向量为n＝(x，y，z)．则由PA→⊥n，AC→⊥n，得x－z0z＝0，－x＋y＝0.令x＝1，得y＝1，z＝1z0，即n＝1，1，1z0.若MD⊥平面PAC，则MD→∥n，由MD→＝－1，－1，－12，得z0＝2.∵正方体的棱长为1，且21，∴棱DD1上不存在点P，使MD⊥平面PAC.题型三证明平面与平面垂直三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如右图所示，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝3，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC的中点．证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1.【思路探索】利用向量证明一个平面内含有另一个平面的垂线或证明两个平面的法向量相互垂直．【证明】证法一：如图，建立空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0，3)，C1(0,1，3)．∵D为BC的中点，∴D点坐标为(1,1,0)．∴AD→＝(1,1,0)，AA1→＝(0,0，3)，BC→＝(－2,2,0)．∴AD→·BC→＝1×(－2)＋1×2＋0×0＝0，AA1→·BC→＝0×(－2)＋0×2＋3×0＝0.∴AD→⊥BC→，AA1→⊥BC→.∴BC⊥AD，BC⊥AA1.又A1A∩AD＝A，∴BC⊥平面A1AD.又BC⊂平面BCC1B1，∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.证法二：同证法一建系后，得AA1→＝(0,0，3)，AD→＝(1,1,0)，BC→＝(－2,2,0)，CC1→＝(0，－1，3)．设平面A1AD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，由n1·AA1→＝0，n1·AD→＝0，得3z1＝0，x1＋y1＝0.令y1＝－1，则x1＝1，z1＝0，∴n1＝(1，－1,0)．平面BCC1B1的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，由n2·BC→＝0，n2·CC1→＝0，得－2x2＋2y2＝0，－y2＋3z2＝0.令y2＝1，则x2＝1，z2＝33，∴n2＝1，1，33.∵n1·n2＝1－1＋0＝0，∴n1⊥n2.∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.[名师点拨]证明面面垂直常用的方法有两种，一种是利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明；另一种是证明两个平面的法向量垂直.如图所示，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD.证明：设AB＝BC＝CD＝DA＝AS＝1，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，S(0,0,1)，E12，12，12.证法一：连接AC，设AC与BD相交于点O，连接OE，则点O的坐标为12，12，0.∵AS→＝(0,0,1)，OE→＝0，0，12，∴OE→＝12AS→，∴OE∥AS.又AS⊥底面ABCD，∴OE⊥平面ABCD.又OE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD.证法二：设平面BDE的法向量为n1＝(x，y，z)．∵BD→＝(－1,1,0)，BE→＝－12，12，12，∴n1⊥BD→，n1⊥BE→⇒－x＋y＝0，－12x＋12y＋12z＝0.令x＝1，可得平面BDE的一个法向量为n1＝(1,1,0)．∵AS⊥底面ABCD，∴平面ABCD的一个法向量为n2＝AS→＝(0,0,1)．∵n1·n2＝0，∴平面BDE⊥平面ABCD.即学即练稳操胜券课堂基础达标1．已知点A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，P(x,0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为()A．(1,0，－2)B．(1,0,2)C．(－1,0,2)D．(2,0，－1)解析：由题意，知AB→＝(－1，－1，－1)，AC→＝(2,0,1)，AP→＝(x，－1，z)，又PA⊥平面ABC，所以AB→·AP→＝(－1，－1，－1)·(x，－1，z)＝0，得－x＋1－z＝0.①AC→·AP→＝(2,0,1)·(x，－1，z)＝0，得2x＋z＝0，②联立①②，解得x＝－1，z＝2，故点P的坐标为(－1,0,2)．答案：C2．设直线l1的方向向量为a＝(1,2，－2)，直线l2的方向向量为b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m＝()A.12B．1C．2D．3解析：∵l1⊥l2，∴a·b＝0，即1×(－2)＋2×3＋(－2)m＝0，∴m＝2.答案：C3．已知空间三点A(0,0,1)，B(－1,1,1)，C(1,2，－3)，若直线AB上一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为()A.12，12，1B．－12，－12，1C.12，－12，1D．－12，12，1解析：设M(x，y，z)，∴AM→＝(x，y，z－1)，AB→＝(－1,1,0)，CM→＝(x－1，y－2，z＋3)，由M点在AB上，得AM→＝λAB→，∴x－1＝y1，z－1＝0，∴x＝－y，z＝1，由CM⊥AB，得－(x－1)＋(y－2)＝0，即x－y＋1＝0，∴x＝－12，y＝12，z＝1，故选D.答案：D4．同时垂直于a＝(2,2,1)，b＝(4,5,3)的单位向量是________．解析：设同时垂直于a＝(2,2,1)，b＝(4,5,3)的单位向量为e＝(x，y，z)，则e·a＝0，e·b＝0，|e|＝1，∴2x＋2y＋z＝0，4x＋5y＋3z＝0，x2＋y2＋z2＝1，解得x＝13，y＝－23，z＝23或x＝－13，y＝23，z＝－23.答案：13，－23，23或－13，23，－235．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是B1B，DC的中点，求证：AE⊥平面A1D1F.证明：如图所示，建立空间直角坐标系D－xyz，设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，E1，1，12，A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，F0，12，0，∴AE→＝0，1，12，A1D1→＝(－1,0,0)，D1F→＝0，12，－1.证法一：设平面A1D1F的法向量为n＝(x，y，z)，则n·A1D1→＝0，n·D1F→＝0，即－x＝0，12y－z＝0，解得x＝0，y＝2z.令z＝1，则n＝(0,2,1)，又AE→＝0，1，12，∴n＝2AE→.∴n∥AE→，即AE→⊥平面A1D1F，因此，AE⊥平面A1D1F.证法二：由于AE→·A1D1→＝0，1，12·(－1,0,0)＝0，∴AE→⊥A1D1→，∴AE⊥A1D1.又AE→·D1F→＝0，1，12·0，12，－1＝0，∴AE→⊥D1F→，∴AE⊥D1F，又A1D1∩D1F＝D1，∴AE⊥平面A1D1F.