2019-2020学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1.3 空间向量基本定理 3.1.4

第3章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.3空间向量基本定理3.1.4空间向量的坐标表示学习目标核心素养1.掌握空间向量的基本定理及其推论，理解空间向量的正交分解，掌握用基底表示空间向量的方法．(重点、难点)2.理解空间向量坐标的定义，能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算，会根据向量的坐标运算判断两个空间向量平行．(重点)3.基向量的选取及应用．(易错点)1.借助空间向量的坐标运算，提升数学运算素养．2.通过空间向量基本定理的运用，培养数学抽象素养.自主预习探新知1．空间向量基本定理如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使_______________.2．基底、基向量在空间向量基本定理中，e1，e2，e3是空间______的三个向量，则把___________称为空间的一个基底，__________叫做基向量.0______作为基向量．p＝xe1＋ye2＋ze3不共面{e1，e2，e3}e1，e2，e3不能3．正交基底、单位正交基底如果空间一个基底的三个基向量是_____________，那么这个基底叫做正交基底．特别地，当一个正交基底的三个基向量都是_________时，称这个基底为单位正交基底，通常用________表示．4．空间向量基本定理的推论设O，A，B，C是________的四点，则对空间任意一点P，都存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得____________________.两两互相垂直单位向量{i，j，k}不共面OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→5．空间向量的坐标运算(1)空间向量的坐标在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则AB→＝______________________；当空间向量a的起点移至坐标原点时，其_________就是向量a的坐标．(a2－a1，b2－b1，c2－c1)终点坐标(2)空间向量的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量的加法a＋b＝_______________________向量的减法a－b＝_______________________数乘向量λa＝_____________，λ∈R向量平行a∥b(a≠0)⇔________________________，λ∈R(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)(λa1，λa2，λa3)b1＝λa1，b2＝λa2，b3＝λa3思考：(1)零向量能不能作为一个基向量？(2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组{x，y，z}是否唯一？[提示](1)不能．因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面．(2)唯一确定．C[由题意知，D1A1→，D1C1→，D1D→不共面，可以作为空间向量的一个基底．]1．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，可以作为空间向量一个基底的是()A.AB→，AC→，AD→B.AB→，AA1→，AB1→C.D1A1→，D1C1→，D1D→D.AC1→，A1C→，CC1→D[4a＝(12，－8,4)，2b＝(－4,8,0)，∴4a＋2b＝(8,0,4)．]2．已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则4a＋2b等于()A．(16,0,4)B．(8，－16,4)C．(8,16,4)D．(8,0,4)a＝(4，－8,3)b＝(－2，－3,7)[由题意知a＝(4，－8，3)，b＝(－2，－3,7)．]3．设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，则a，b的坐标分别为________．－1[ka－b＝k(1,2,3)－(－2,2，－2)＝(k＋2,2k－2,3k＋2)，a＋b＝(－1,4,1)．∵(ka－b)∥(a＋b)，∴k＋2－1＝2k－24＝3k＋2，解得k＝－1.]4．设a＝(1,2,3)，b＝(－2,2，－2)，若(ka－b)∥(a＋b)，则k＝________.合作探究提素养基底的判断【例1】(1)若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是________(填序号)．①{a，a＋b，a－b}；②{b，a＋b，a－b}；③{c，a＋b，a－b}；④{a＋b，a－b，a＋2b}．(2)若{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且向量OA→＝2e1＋e2＋e3，OB→＝e1－e2＋2e3，OC→＝ke1＋3e2＋2e3不能作为空间的一组基底，则k＝________.[思路探究](1)看各组向量是否共面，共面不能作为基底，否则可作基底；(2)OA→，OB→，OC→共面，利用共面向量定理求解．[解析](1)若c，a＋b，a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a，b，c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底．(2)因为OA→，OB→，OC→不能作为空间向量的一组基底，故OA→，OB→，OC→共面．由共面向量定理可知，存在实数x，y，使OC→＝xOA→＋yOB→，即ke1＋3e2＋2e3＝x(2e1＋e2＋e3)＋y(e1－e2＋2e3)．故k＝2x＋y，3＝x－y，2＝x＋2y，解得x＝83，y＝－13，k＝5.[答案](1)③(2)5基底的判断判断某一向量组能否作为基底，关键是判断它们是否共面．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．用基底表示空间向量【例2】如图所示，空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，试用向量a，b，c表示向量GH→.[思路探究]GH→＝OH→－OG→→用OD→表示OH→→用OB→，OC→表示OD→，用OA→，AG→表示OG→→用AD→表示AG→→用OD→，OA→表示AD→→用OB→，OC→表示OD→[解]GH→＝OH→－OG→，∵OH→＝23OD→，∴OH→＝23×12(OB→＋OC→)＝13(b＋c)，OG→＝OA→＋AG→＝OA→＋23AD→＝OA→＋23(OD→－OA→)＝13OA→＋23×12(OB→＋OC→)＝13a＋13(b＋c)，∴GH→＝13(b＋c)－13a－13(b＋c)＝－13a，即GH→＝－13a.用基底表示向量的技巧1．定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．2．找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变换、化简，最后求出结果．3．下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．1．如图所示，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1，设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，P是CA1的中点，M是CD1的中点．用基底{a，b，c}表示以下向量：(1)AP→；(2)AM→.[解]如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，连接AC，AD1，(1)AP→＝12(AC→＋AA1→)＝12(AB→＋AD→＋AA1→)＝12(a＋b＋c)．(2)AM→＝12(AC→＋AD1→)＝12(AB→＋2AD→＋AA1→)＝12a＋b＋12c.空间向量的坐标运算[探究问题]1．如何建立空间直角坐标系？[提示](1)用空间向量的坐标运算解决问题的前提是建立恰当的空间直角坐标系，为便于坐标的求解及运算，在建立空间直角坐标系时，要充分分析空间几何体的结构特点，应使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内．(2)进行向量的运算时，在能建系的情况下尽量建系化为坐标运算，并且按照右手直角坐标系建系，如图所示．2．如何运用空间向量的坐标运算解决几何问题？[提示]运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤：(1)建立恰当的空间直角坐标系；(2)求出相关点的坐标；(3)写出向量的坐标；(4)结合公式进行论证、计算；(5)转化为几何结论．【例3】如图，在长方体OAEB­O1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上，且AP＝2PA1，点S在棱BB1上，且SB1＝2BS，点Q，R分别是棱O1B1，AE的中点．求证：PQ∥RS.[思路探究]以O为原点，以OA→，OB→，OO1→的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，确定PQ→，RS→的坐标，利用向量共线证明．[解]如图，建立空间直角坐标系，则A(3,0,0)，B(0,4,0)，O1(0,0,2)，A1(3,0,2)，B1(0,4,2)．∵PA＝2PA1，SB1＝2BS，Q，R分别是棱O1B1，AE的中点，∴P3，0，43，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S0，4，23.于是PQ→＝－3，2，23＝RS→，∴PQ→∥RS→.∵R∉PQ，∴PQ∥RS.两向量平行的充要条件有两个：①a＝λb，②x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2，依此既可以判定两向量共线，也可以通过两向量平行求待定字母的值．2．已知四边形ABCD的顶点坐标分别是A(3，－1,2)，B(1，2，－1)，C(－1,1，－3)，D(3，－5,3)，求证：四边形ABCD是一个梯形．[证明]∵AB→＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，CD→＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)，∴－24＝3－6＝－36，∴AB→与CD→共线，即AB∥CD.又∵AD→＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)，BC→＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)，∴0－2≠－4－1≠1－2，∴AD→与BC→不平行．∴四边形ABCD为梯形．1．基底中不能有零向量．因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量．2．空间几何体中，要得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段所在直线为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标．3．用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则．逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．当堂达标固双基[答案](1)√(2)√(3)√(4)√1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若{a，b，c}为空间一个基底，且p＝xa＋yb＋zc.若p＝0，则x＝y＝z＝0.()(2)若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面．()(3)以原点O为起点的向量OP→的坐标和点P的坐标相同．()(4)若OP→＝(2,3,0)，则点P在平面xOy内．()2．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是()A．向量AB→的坐标与点B的坐标相同B．向量AB→的坐标与点A的坐标相同C．向量AB→与向量OB→的坐标相同D．向量AB→与向量OB→－OA→的坐标相同D[因为A点不一定为坐标原点，所以A，B，C都不对；由于AB→＝OB→－OA→，故D正确．](2,1，－1)[b＝(2a＋b)－2a＝(0,1,3)－2(－1,0,2)＝(2,1，－1)．]3．已知向量a＝(－1,0,2)，2a＋b＝(0,1,3)，则b＝________.4．设a＝(2,3,0)，b＝(－3，－2,1)，计算2a＋3b,5a－6b，并确定λ，μ的值，使λa＋μb与向量b平行．[解]∵a＝(2,3,0)，b＝(－3，－2,1)，∴2a＋3b＝2(2,3,0)＋3(－3，－2,1)＝(4,6,0)＋(－9，－6,3)＝(－5,0,3)，5a－6b＝5(2,3,0)－6(－3，－2,1)＝(10,15,0)－(－18，－12,6)＝(28,27，－6)．∵λa＋μb＝λ(2,3,0)＋μ(－3，