搜索
第三章空间向量与立体几何3．1空间向量及其运算3．1.1空间向量及其加减运算梳理知识夯实基础自主学习导航目标导学1．了解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法运算．2．掌握空间向量的性质．‖知识梳理‖1．在空间，把具有___________和___________的量叫做空间向量，向量的___________叫做向量的长度或模．空间向量常用有向线段表示，有向线段的___________表示向量的模，空间向量也可以用字母表示如a等．大小方向大小长度2．几类特殊向量及运算律几类特殊向量①零向量：规定___________的向量叫做零向量，记为0.②单位向量：___________的向量称为单位向量．③相反向量：与向量a长度___________而方向___________的向量称为a的相反向量，记为－a.④相等向量：方向___________且模___________的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．长度为0模为1相等相反相同相等空间向量的加减法类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：OB→＝OA→＋AB→＝___________；CA→＝OA→－OC→＝___________.加法运算律交换律：a＋b＝___________；结合律：(a＋b)＋c＝___________a＋ba－bb＋aa＋(b＋c)解剖难点探究提高重点难点突破空间向量是对平面向量的拓展和提高．学习空间向量一定要注意结合平面向量，注意其联系，关于空间向量应注意以下几点：(1)向量既有大小，又有方向，因此无法比较大小，而向量的模是实数，可以比较大小．(2)有向线段是规定了方向的线段，是图形，可用它来表示向量，但向量不是有向线段．(3)由于空间的任意两个向量可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量，因此空间任意两个向量的加减运算类似于平面向量的加减运算，而且运算法则也类似于平面向量的运算法则．归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一空间向量的基本概念给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个向量的起点相同，终点相同，那么两个向量相等；③在空间将所有的单位向量的起点重合，终点所形成的图形为一个圆；④若两个空间向量|a|＝|b|，则a＝b；⑤对于空间向量m，n，p，若m＝n，n＝p，则m＝p.其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4【思路探索】根据向量的概念解题．【解析】由于零向量的方向是任意的，故①错；根据两个向量相等的概念可知②正确；由于在空间，将所有单位向量的起点重合，终点所形成的图形应为球面，故③错；根据两向量相等的定义，两向量相等，不仅要模相等，而且方向也要相同，④中的两个向量的方向未必相同，故④不正确；⑤显然正确，故正确的有②⑤.【答案】B[名师点拨]掌握空间向量的基本概念，是解决此类问题的关键.下列命题中正确的是________(填序号)．①单位向量都相等；②任一向量与它的相反向量不相等；③四边形ABCD是平行四边形的充要条件是“AB→＝DC→”；④模为0是一个向量方向不确定的充要条件．解析：①不正确，单位向量的模均相等且为1，但方向并不一定相同；②不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的；③④正确．答案：③④题型二空间向量的加减运算如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，化简下列向量的表达式，并在图中标出化简后得到的向量．(1)AB→＋BC→；(2)AB→＋AD→＋AA1→；(3)AA1→－AC→－CB→.【思路探索】利用三角形法则和平行四边形法则解题．【解】(1)AB→＋BC→＝AC→.(2)AB→＋AD→＋AA1→＝AC→＋AA1→＝AC1→.(3)AA1→－AC→－CB→＝AA1→－(AC→＋CB→)＝AA1→－AB→＝BA1→.[名师点拨](1)空间向量的加减运算与平面向量的加减运算一致，满足平行四边形法则和三角形法则，当多个向量相加，首尾相连(前一个向量的终点为后一个向量的起点)，和向量为由始至终(第一个向量的起点指向最后一个向量的终点)．(2)起点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为起点的对角线表示的向量.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量BD1→的是()①(A1D1→－A1A→)－AB→；②(BC→＋BB1→)－D1C1→；③(AD→－AB→)－DD1→；④(B1D1→－A1A→)＋DD1→.A．①②B．②③C．③④D．①④解析：①(A1D1→－A1A→)－AB→＝A1D1→＋AA1→＋BA→＝BD1→；②(BC→＋BB1→)－D1C1→＝BC→＋BB1→＋C1D1→＝BC1→＋C1D1→＝BD1→；③(AD→－AB→)－DD1→＝BD→－DD1→＝BD→－BB1→＝B1D→≠BD1→；④(B1D1→－A1A→)＋DD1→＝B1D1→＋AA1→＋DD1→＝B1D1→＋BB1→＋DD1→＝BD1→＋DD1→≠BD1→.因此，①②两式的运算结果为向量BD1→，而③④运算的结果不为向量BD1→.答案：A如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，化简下列向量表达式：(1)AA1→－CB→；(2)AB1→＋B1C1→＋C1D1→；(3)AD→＋AB→－A1A→.【思路探索】(1)中将－CB→用相反向量BC→表示，再利用平行四边形法则．(2)利用三角形法则．(3)利用－A1A→＝AA1→＝CC1→，化简．【解】(1)AA1→－CB→＝AA1→＋BC→＝AA1→＋A1D1→＝AD1→.(2)AB1→＋B1C1→＋C1D1→＝AD1→.(3)AD→＋AB→－A1A→＝AC→＋AA1→＝AC→＋CC1→＝AC1→.[名师点拨]平面向量运算的平行四边形法则、三角形法则也适用于空间向量的运算.在空间四边形ABCD中，点M，G分别是BC，CD边的中点，化简：(1)AB→＋12(BC→＋BD→)；(2)AG→－12(AB→＋AC→)．解：(1)∵12(BC→＋BD→)＝BG→，∴AB→＋12(BC→＋BD→)＝AB→＋BG→＝AG→.(2)AG→－12(AB→＋AC→)＝AG→－AM→＝MG→.即学即练稳操胜券课堂基础达标1．空间中任意四个点A，B，C，D，DA→＋CD→－CB→等于()A.DB→B．AC→C.AB→D．BA→解析：DA→＋CD→－CB→＝CD→＋DA→－CB→＝CA→－CB→＝BA→.答案：D2．下列说法中正确的是()A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|C．空间向量的减法满足结合律D．在四边形ABCD中，一定有AB→＋AD→＝AC→解析：|a|＝|b|，说明a与b模相等，但方向不确定．对于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，从而B正确．只定义加法具有结合律，减法不具有结合律，一般的四边形不具有AB→＋AD→＝AC→，只有在平行四边形中才能成立．故A、C、D均不正确．答案：B3．判断下列命题中为真命题的是()A．向量AB→与BA→长度相等B．将空间中所有的单位向量移到同一起点，则它们的终点构成一个圆C．空间向量就是空间中的一条有向线段D．不相等的两个空间向量的模必不相等解析：A正确，∵AB→＝－BA→，∴|AB→|＝|BA→|；B错，它们的终点构成一个球面；C错，空间向量可以用有向线段来表示，但不等同于有向线段；D错，向量不相等有可能模相等．答案：A4．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，设AB→＝a，BC→＝b，AC→＝c，则|a＋b＋c|＝()A．0B．3C．2＋2D．22解析：|a＋b＋c|＝2|AC→|＝22.答案：D5．如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，化简：(1)AB→＋BC→＋CD→－ED→；(2)AB→＋GD→＋EC→.解：(1)AB→＋BC→＋CD→－ED→＝AC→＋CD→＋DE→＝AD→＋DE→＝AE→.(2)AB→＋GD→＋EC→＝AB→＋BG→＋GF→＝AG→＋GF→＝AF→.