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概率第三章3.1几何概型3.1.1几何概型课前自主预习1．通过实例体会几何概型的含义，会区分古典概型和几何概型．2．掌握几何概型的概率计算公式，会求一些事件的概率．1．几何概型的定义与特点(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．(2)特点：①可能出现的结果有；②每个结果发生的可能性相等．2．几何概型中事件A的概率的计算公式P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.长度(面积或体积)无限多个1．几何概型有何特点？[提示]①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；②每个基本事件出现的可能性相等．2．古典概型与几何概型有何区别？[提示]古典概型的试验结果是有限的，而几何概型的试验结果是无限的．3．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)几何概型的概率与构成事件的区域形状无关．()(2)在射击中，运动员击中靶心的概率在(0,1)内．()(3)几何概型的基本事件有无数多个．()(4)从区间[－1,1]上取一个数，求取到1的概率属于几何概型．()[答案](1)√(2)×(3)√(4)×课堂互动探究题型一与长度、角度有关的几何概型【典例1】(1)如图所示，A、B两盏路灯之间长度是30m，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C、D，问A与C，B与D之间的距离都不小于10m的概率是多少？(2)如图所示，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条直线CM，与线段AB交于点M.求AMAC的概率.[思路导引](1)在A、B之间每一位置处安装路灯C，D都是一个基本事件，基本事件有无限多个，且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件发生的概率只与长度有关；(2)过直角顶点C在∠ACB内部作一条直线CM，与线段AB交于点M.基本事件有无限多个，且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件发生的概率只与角度有关．[解](1)记E：“A与C、B与D之间的距离都不小于10m”，把AB三等分，由于中间长度为30×13＝10(m)，∴P(E)＝1030＝13.(2)在AB上取AC′＝AC，则∠ACC′＝180°－45°2＝67.5°.设事件A＝{在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，AMAC}，则所有可能结果的区域角度为90°，事件A的区域角度为67.5°，∴P(A)＝67.5°90°＝34.(1)与长度有关的几何概型问题综述①如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为：P(A)＝构成事件A的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度.②将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．(2)与角度有关的几何概型的求法①当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，常以角度的大小作为区域度量来计算概率．②与角度有关的几何概型的概率计算公式为P(A)＝构成事件A的区域角度试验的全部结果所构成的区域角度.③解决此类问题的关键是事件A在区域角度内是均匀的，进而判定事件的发生是等可能的．④对于一个具体问题，能否用几何概型的概率公式计算事件的概率，关键在于能否将问题几何化，也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数建立适当的坐标系，在此基础上，将试验的每一个结果一一对应于该坐标系中的每一点，使得全体结果构成一个可度量的区域．⑤如果试验结果涉及的区域可用角表示，则可以判定需利用与角度有关的几何概型概率的计算公式解决．对于此类题，往往角的始边是固定的，只要考虑终边位置的情况即可．[针对训练1](1)在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为________．(2)某汽车站每隔15min有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间超过10min的概率．[解析](1)∵区间[－1,2]的长度为3，由|x|≤1得x∈[－1,1]，而区间[－1,1]的长度为2，x取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取一个数x，|x|≤1的概率P＝23.(2)设上一辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T2到达，则线段T1T2的长度为15，设T是线段T1T2上的点，且T1T＝5，T2T＝10，如图所示．记“等车时间超过10min”为事件A，则当乘客到达车站的时刻t落在线段T1T上(不含端点)时，事件A发生．∴P(A)＝T1T的长度T1T2的长度＝515＝13，即该乘客等车时间超过10min的概率是13.[答案](1)23(2)13题型二与面积有关的几何概型问题【典例2】(1)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A.14B.π8C.12D.π4(2)如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)＝x＋1，x≥0，－12x＋1，x0的图象上．若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于()A.16B.14C.38D.12[解析](1)不妨设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形的内切圆的半径为1，面积为π.由于正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，所以黑色部分的面积为π2，故此点取自黑色部分的概率为π24＝π8，故选B.(2)易知点C的坐标为(1,2)，点D的坐标为(－2,2)，所以矩形ABCD的面积为6，阴影部分的面积为32，故所求概率为14.[答案](1)B(2)B(1)与面积有关的几何概型的概率公式如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：P(A)＝构成事件A的区域面积试验的全部结果所构成的区域面积.(2)解与面积相关的几何概型问题的三个关键点①根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题；②找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积；③套用公式，从而求得随机事件的概率．[针对训练2]如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是()A．1－π4B.π2－1C．2－π2D.π4[解析]由几何概型知所求的概率P＝S图形DEBFS矩形ABCD＝2×1－14×π×12×22×1＝1－π4.[答案]A题型三与体积有关的几何概型的问题【典例3】一个多面体的直观图和三视图如下图所示，M是AB的中点，一只蜻蜓在几何体ADF—BCE内自由飞翔，则它飞入几何体F—AMCD内的概率为()A.34B.23C.12D.13[解析]由三视图可知DA，DC，DF两两垂直，且DA＝DC＝DF＝a，∴VF—AMCD＝13S梯形AMCD·DF＝14a3.又VADF—BCE＝12a3，∴蜻蜓飞入几何体F—AMCD内的概率为P＝VF—AMCDVADF－BCE＝12.[答案]C体积型几何概型问题解法探秘(1)如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的体积及事件A占的体积．其概率的计算公式为：P(A)＝构成事件A的体积试验的全部结果构成的体积.(2)解决此类问题一定要注意几何概型的条件，并且要特别注意所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆．[针对训练3](1)一只蝴蝶(体积忽略不计)在一个长、宽、高分别为5,4,3的长方体内自由飞行，若蝴蝶在飞行过程中始终保持与长方体的6个面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”，那么蝴蝶“安全飞行”的概率为()A.110B.25C.π45D.45－π45(2)一个靶子如图所示，随机地掷一个飞镖扎在靶子上，假设飞镖既不会落在靶心，也不会落在阴影部分与空白的交线上，现随机向靶掷飞镖30次，则飞镖落在阴影部分的次数约为()A．5B．10C．15D．20[解析](1)长方体的体积为5×4×3＝60，蝴蝶“安全飞行”区域的体积为3×2×1＝6.根据几何概型的概率计算公式，可得蝴蝶“安全飞行”的概率为160＝110.(2)阴影部分对应的圆心角度数和为60°，所以飞镖落在阴影内的概率为60°360°＝16，飞镖落在阴影内的次数约为30×16＝5.[答案](1)A(2)A课堂归纳小结1．几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型．2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目．3．注意理解几何概型与古典概型的区别.4.理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.