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概率第三章3．1随机事件的概率3．1.3概率的基本性质课前自主预习1．了解事件的关系与运算．2．理解互斥事件、对立事件的概念．3．掌握概率的基本性质，并能运用这些性质求一些简单事件的概率．4．理解并事件与交事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系．1．事件的关系(1)包含关系：一般地，对于事件A与事件B，如果事件A______，则事件B一定_____，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)，记作_________(或A⊆B)．不可能事件记作_____，任何事件都包含不可能事件．(2)相等关系：一般地，若_________，且________，那么称事件A与事件B相等，记作A＝B.发生发生B⊇AØB⊇AA⊇B2．事件的运算(1)并事件：若某事件C发生当且仅当事件A发生______事件B发生，则称此事件C为事件A与事件B的__________(或和事件)，记作C＝A∪B(或C＝A＋B)．(2)交事件：若某事件C发生当且仅当事件A发生______事件B发生，则称此事件C为事件A与事件B的交事件(或积事件)，记作C＝_________(或C＝AB)．或并事件且A∩B3．概率的性质(1)范围：任何事件的概率P(A)∈___________．(2)必然事件的概率：必然事件的概率P(A)＝___.(3)不可能事件的概率：不可能事件的概率P(A)＝____.(4)概率加法公式：如果事件A与事件B互斥，则有P(A∪B)＝_______________．(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，那么A∪B为必然事件，则有P(A∪B)＝_________＋_______＝1，即P(A)＝__________．[0,1]10P(A)＋P(B)P(A)P(B)1－P(B)1．在同一试验中，设A，B是两个随机事件，“若A∩B＝Ø，则称A与B是两个对立事件”，对吗？[提示]这种说法不正确．对立事件是互斥事件的特殊情况，除了满足A∩B＝Ø外，A∪B还必须为必然事件．从数值上看，若A，B为对立事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1.2．在同一试验中，对任意两个事件A，B，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)一定成立吗？[提示]不一定．只有A与B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)才成立．3．互斥事件的概率加法公式是否可以推广到多个互斥事件的情况？[提示]可以．若事件Ai(i＝1,2,3，…，n)彼此互斥，则P(A1∪A2∪A3∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋…＋P(An)．课堂互动探究题型一互斥事件与对立事件【典例1】某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)恰有1名男生与恰有2名男生；(2)至少有1名男生与全是男生；(3)至少有1名男生与全是女生；(4)至少有1名男生与至少有1名女生．[思路导引]判断两个事件是否互斥，就要考察它们是否能同时发生；判断两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生．[解](1)因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件．(2)因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件．(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们对立．(4)由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．(1)判断事件是否互斥的两步骤第一步，确定每个事件包含的结果；第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生，若是，则两个事件不互斥，否则就是互斥的．(2)判断事件对立的两步骤第一步，判断是互斥事件；第二步，确定两个事件必然有一个发生，否则只有互斥，但不对立．[针对训练1]某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件：(1)A与C.(2)B与E.(3)B与D.(4)B与C.(5)C与E.[解](1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件；由于事件B发生会导致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B一定不发生，故B与E还是对立事件．(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件．(4)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订甲报”、“只订乙报”、“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报纸”中包括“一种报纸也不订”、“只订甲报”、“只订乙报”．也就是说事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件.(5)由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况，所以事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件.题型二事件的运算【典例2】盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．问：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？(2)事件C与A的交事件是什么事件？[思路导引]事件的运算⇒利用事件间运算的定义，借助集合间运算的思想求解．[解](1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球，或2个红球1个白球，故D＝A∪B.(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球，故C∩A＝A.引申探究：在本例中，设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有一个白球}，那么事件C与A，B，E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？[解]C＝A∪B∪E；C∩F＝A∪B.进行事件运算应注意的问题(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断．但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理．[针对训练2]在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A＝{出现1点}，B＝{出现3点或4点}，C＝{出现的点数是奇数}，D＝{出现的点数是偶数}．(1)说明以上4个事件的关系；(2)求两两运算的结果．[解]在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6种基本事件，记作Ai＝{出现的点数为i}(其中i＝1,2，…，6)．则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.(1)事件A与事件B互斥，但不对立，事件A包含于事件C，事件A与D互斥，但不对立；事件B与C不是互斥事件，事件B与D也不是互斥事件；事件C与D是互斥事件，也是对立事件．(2)A∩B＝Ø，A∩C＝A，A∩D＝Ø.A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出现点数1或3或4}，A∪C＝C＝{出现点数1或3或5}，A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出现点数1或2或4或6}．B∩C＝A3＝{出现点数3}，B∩D＝A4＝{出现点数4}.题型三互斥事件与对立事件的概率【典例3】在数学考试中，小王的成绩在90分以上(含90分)的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，在60分以下(不含60分)的概率是0.07.求：(1)小王在数学考试中取得80分以上(含80分)成绩的概率；(2)小王数学考试及格的概率．[思路导引]先判断所求事件与已知事件的关系，然后选择公式求解．[解]设小王的成绩在90分以上(含90分)、在80～89分、在60分以下(不含60分)分别为事件A，B，C，且A，B，C两两互斥．(1)设小王的成绩在80分以上(含80分)为事件D，则D＝A＋B，所以P(D)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋0.51＝0.69.(2)设小王数学考试及格为事件E，由于事件E与事件C为对立事件，所以P(E)＝1－P(C)＝1－0.07＝0.93.概率公式的应用(1)互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)是一个非常重要的公式，运用该公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，然后求出各事件的概率，用加法公式得出结果．(2)当直接计算符合条件的事件个数比较烦琐时，可间接地先计算出其对立事件的个数，求得对立事件的概率，然后利用对立事件的概率加法公式P(A)＋P(B)＝1，求出符合条件的事件的概率．[针对训练3]经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队等候的概率是多少？(2)至少3人排队等候的概率是多少？[解]记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A、B、C、D、E、F互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)解法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D∪E∪F，所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.解法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.课堂归纳小结1．互斥事件和对立事件既有区别又有联系．互斥，未必对立；对立，一定互斥．2．互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．3．求复杂事件的概率通常有两种方法(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率.