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概率第三章3．1随机事件的概率3．1.1随机事件的概率课前自主预习1．了解随机事件、必然事件、不可能事件、确定事件等基本概念．2．了解随机事件概率的定义和随机事件的发生存在着规律性．3．理解频率与概率的区别与联系．1.事件1确定事件不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件2随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件2．频数与频率在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的________为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝nAn为事件A出现的频率．3．概率(1)含义：概率是度量随机事件发生的_____________的量．(2)与频率联系：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的___________随着试验次数的增加稳定于___________，因此可以用频率fn(A)来估计__________．次数nA可能性大小频率fn(A)概率P(A)概率P(A)判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值．()(2)任意事件A发生的概率P(A)总满足0P(A)1.()(3)若事件A的概率趋近于0，即P(A)→0，则事件A是不可能事件．()[提示](1)√(2)×必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0.(3)×当P(A)→0，事件A发生的可能性很小．课堂互动探究题型一事件类型的判断【典例1】在下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件：(1)如果a、b都是实数，那么a＋b＝b＋a;(2)从分别标有1,2,3,4,5,6的6张号签中任取一张，得到4号签；(3)没有水分，种子发芽；(4)某电话总机在60秒内接到至少15个电话；[思路导引]结合必然事件、不可能事件、随机事件的定义可知．[解](1)对任意实数，都满足加法的交换律，故此事件是必然事件.(2)从6张号签中任取一张，得到4号签，此事件可能发生，也可能不发生，故此事件是随机事件.(3)适宜的温度和充足的水分，是种子萌发不可缺少的两个条件，没有水分，种子就不可能发芽，故此事件是不可能事件.(4)电话在60秒内接到至少15次传唤，此事件可能发生，也可能不发生，故此事件是随机事件.判断一个事件是随机事件、必然事件还是不可能事件，首先一定要看条件，其次是看在该条件下所研究的事件是一定发生(必然事件)、不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件).[针对训练1]指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；(2)三角形的内角和为180°；(3)没有空气和水，人类可以生存下去；(4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；(5)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．[解](1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件．(2)所有三角形的内角和均为180°，所以是必然事件．(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件．(4)同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件．(5)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件.题型二随机事件的频率与概率【典例2】某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如图频率分布直方图：(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数；(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例.[思路导引](1)根据频率分布直方图求出样本中分数小于70的频率，然后利用频率估计概率；(2)计算出样本中分数在[40,50)内的人数，然后按比例求出总体中分数在此范围内的人数；(3)先求出样本中男女生人数，然后利用样本比例估计总体比例.[解](1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6,所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4,所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9,分数在区间[40,50)内的人数为100－100×0.9－5＝5.所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×5100＝20人．(3)由题意知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.02＋0.04)×10×100＝60，所以样本中分数不小于70的男生人数为60×12＝30，所以样本中男生人数为30×2＝60人，女生人数为100－60＝40人，男生和女生的比例为60∶40＝3∶2.故总体中男生和女生人数比例为3∶2.随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率.此类题目的解题方法是：先利用频率的计算公式依次计算出各个频率值，然后根据频率与概率的关系估计事件发生的概率.[针对训练2]某保险公司利用简单随机抽样的方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元)01000200030004000车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率.[解](1)设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P(A)＝1501000＝0.15，P(B)＝1201000＝0.12.由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3000元和4000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100辆，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24辆．所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为24100＝0.24.由频率估计概率得P(C)＝0.24.题型三试验结果分析【典例3】某人做试验，从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中，无放回地取两个小球，每次取一个，先取的小球的标号为x，后取的小球的标号为y，这样构成有序实数对(x，y)．(1)写出这个试验的所有结果；(2)写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件．[思路导引]根据日常生活的经验按一定的顺序逐个列出全部结果．[解](1)当x＝1时，y＝2,3,4；当x＝2时，y＝1,3,4；当x＝3时，y＝1,2,4；当x＝4时，y＝1,2,3.因此，这个试验的所有结果是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)．(2)记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件A，则A＝{(2,1)，(2,3)，(2,4)}．列举试验所有可能结果的方法(1)结果是相对于条件而言的，要弄清试验的结果，必须首先明确试验中的条件；(2)根据日常生活经验，按照一定的顺序列举出所有可能的结果，可应用画树形图、列表等方法解决．[针对训练3]袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机试验的条件和结果．(1)从中任取1球；(2)从中任取2球．[解](1)条件为：从袋中任取1球．结果为：红、白、黄、黑4种．(2)条件为：从袋中任取2球．若记(红，白)表示一次试验中，取出的是红球与白球，结果为：(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)6种．课堂归纳小结1．对随机事件的频率与概率的理解对于一个随机事件而言，其频率是在[0,1]内变化的一个数，并且随着试验次数的增加，随机事件发生的频率逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是概率．因此可以说，频率是变化的，而概率是不变的，是客观存在的．2．频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小．3．频率是不能脱离具体的n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值．4．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．