搜索
第三章概率3.4概率的应用学习目标核心素养1.通过实例进一步理解概率的意义及应用．(重点)2．能用概率的知识解决实际生活中的问题．(难点)1.通过概率的应用学习，体现了数学建模的核心素养．2．通过概率解决实际生活中的问题，培养数学运算的核心素养.自主探新知预习概率的应用概率是描述随机事件发生可能性大小的度量，它已经渗透到人们的日常生活中，成为一个常用的词汇，任何事件的概率是之间的一个数，它度量该事件发生的可能性．小概率事件(__________)很少发生，而大概率事件()则经常发生．概率接近10～1概率接近01．已知某人在投篮时投中的概率为50%，则下列说法正确的是()A．若他投100次，一定有50次投中B．若他投一次，一定投中C．他投一次投中的可能性大小为50%D．以上说法均错C[概率是指一件事情发生的可能性大小．]2．若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n)，则随着n的逐渐增加，有()A．f(n)与某个常数相等B．f(n)与某个常数的差逐渐减小C．f(n)与某个常数差的绝对值逐渐减小D．f(n)在某个常数附近摆动并趋于稳定D[随着n的增大，频率f(n)会在概率附近摆动并趋于稳定，这也是频率与概率的关系．]3．事件A发生的概率是35，则35表示的________．事件A发生的可能性的大小[根据概率的含义知35表示的是事件A发生的可能性大小．]4．在边长为2的正方形当中，有一个封闭曲线围成的阴影区域，向该正方形中随机撒入100粒豆子，恰有60粒豆子落入阴影区域内，那么阴影区域的面积近似为____________.125[设阴影区域的面积为S，则S4≈60100，S≈125.]合作提素养探究概率在密码中的应用【例1】为了保证信息安全传输，有一种称为密钥的密码系统(PrivateKeyCryptosystem)，其加密、解密原理如下：明文明文．设加密密钥为y＝ax＋1，明文“3”通过加密后得到密文“16”，接收方收到密文后，通过解密密钥解密得到明文“3”．(1)若接收方接到密文为“64”，则解密后的明文是多少？(2)若用数字1,2,3，…分别表示A，B，C，…(字母表中的顺序)，且在英文常用文章中字母“E”(即5)出现的概率为10.5%，则上述密码系统中，其对应的密文出现的概率是多少？[思路探究](1)由条件给出的信息可得16＝a3＋1，即求出a后，可解决．(2)利用明文与密文之间的对应关系结合条件给出判断．[解](1)由题意知，16＝a3＋1，解得a＝2.由64＝2x＋1，得x＝5，所以解密后的明文是“5”．(2)因为明文与密文之间是一一对应关系，所以其对应密文出现的概率也是10.5%.密码技术在军事、政治、经济方面有着广泛的用途.为了使密码设计更难破译，人们发明了许多反破译的方法，利用随机序列就是一种极为重要的方法，其原理是：利用取值在1到26之间的整数值随机数序列，使每个字母出现在密码中的概率都相等.1．现代社会对破译密码的要求越来越高，有一种密码把英文的明文(真实文)按字母分解，其中英文的a，b，c，…，z的26个字母(不论大小写)依次对应1,2,3，…，26，这26个自然数，见表格：abcdefghijklm12345678910111213nopqrstuvwxyz14151617181920212223242526给出下列一个变换公式：x′＝x＋12，x∈N，1≤x≤26，x不能被2整除.x2＋13，x∈N，1≤x≤26，x能被2整除.将明文转换成密文，如8→82＋13＝17，即h变成q；5→5＋12＝3，即e变成c.(1)按上述规定，将明文good译成密文是()A．loveB．eovlC．dhhoD．ohhd(2)按上述规定，若将某明文译成的密文是shxc，那么原来的明文是()A．lhhoB．ohhlC．loveD．eovl(1)C(2)C[(1)g→7→7＋12＝4→d，o→15→15＋12＝8→h，d→4→42＋13＝15→o，故明文good的密文是dhho.(2)逆变换公式为x＝2x′－1，x′∈N，1≤x′≤13，2x′－26，x′∈N，14≤x′≤26，则s→19→2×19－26＝12→l，h→8→2×8－1＝15→o，x→24→2×24－26＝22→v，c→3→2×3－1＝5→e，故密文shxc的明文是love.]概率在社会调查问题中的应用[探究问题]1．社会调查人员希望从人群的随机抽样调查中得到他们所提问题诚实的回答，但是被采访者常常不愿如实作出应答(特别是所提问题是敏感话题或令人为难时)，这该怎么办？[提示]1965年StanleyL．Warner发明了一种应用概率知识来消除这种不愿意情绪的方法．Warner的随机化应答方法要求人们随机地回答所提两个问题中的一个，而不必告诉采访者回答的是哪个问题．两个问题中有一个是敏感的或者是令人为难的；另一个问题是无关紧要的．这样应答者将乐意如实地回答问题，因为只有他知道自己回答的是哪个问题．2．你认为在问卷的设计中，除了考虑“难以启齿”问题外，还应考虑哪些因素？请举例说明．[提示]例如，调查中问题的措辞会对被调查者产生影响，举例来说，“你在多大程度上喜欢吸烟”与“你在多大程度上不喜欢吸烟”两种问法中，前者会比后者给出更为肯定的答案．再如，问题在问卷中的位置也会对调查者产生影响．一般地，比较容易的、不涉及个人的问题应当排在比较靠前的位置，较难的、涉及个人的问题放在后面，等等．3．调查人员根据调查问卷上的调查数据得到了我们想要的问题答案，他们这种做法的理论依据是什么？[提示]用样本估计总体，即用样本出现的频率近似地估计总体中该问题的概率，从而为决策做出指导．【例2】某地区公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行了调查．调查中使用了两个问题．问题1：你的父亲阳历生日日期是不是奇数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子．每个被调查者随机从袋中摸取1个球(摸出的球再放回袋中)，摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做．由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案．请问：如果在200人中，共有58人回答“是”，你能估计出此地区中学生吸烟人数的百分比吗？[思路探究]因为摸出红球与白球的可能性相同，所以我们近似地认为回答两个问题的人数相同，进而再求解．[解]由题意可知，每个学生从口袋中摸出1个白球或红球的概率都是0.5，即我们期望大约有100人回答了第一个问题，另100人回答了第二个问题．在摸出白球的情况下，回答父亲阳历生日日期是奇数的概率是186365≈0.51.因而在回答第一个问题的100人中，大约有51人回答了“是”．所以我们能推出，在回答第二个问题的100人中，大约有7人回答了“是”．即估计此地区大约有7%的中学生吸烟．社会调查问题中概率的应用1由于概率反映了随机事件发生的可能性的大小，概率是频率的近似值与稳定值，所以可以用样本出现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率.2实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来估计某个生物种群中个别生物种类的数量、某批次的产品中不合格产品的数量等.2．某地政府准备对当地的农村产业结构进行调整，为此政府进行了一次民意调查.100个人接受了调查，他们被要求在“赞成调整”“反对调整”“对这次调查不发表看法”中任选一项，调查结果如下表：男女合计赞成调整18927反对调整122537对这次调查不发表看法201636合计5050100随机选取一个被调查者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是多少？[解]用A表示事件“对这次调整表示反对”，B表示事件“对这次调整不发表看法”，则A和B是互斥事件，并且A∪B就表示事件“对这次调整表示反对或不发表看法”．由互斥事件的概率加法公式，得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝37100＋36100＝0.73.总体估计中概率的应用【例3】为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量．[思路探究]利用古典概型的特征，等可能性可估计．[解]设保护区中天鹅的数量约为n，假定每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只，设事件A＝{带有记号的天鹅}，则P(A)＝200n.①第二次从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号，由概率的统计定义可知P(A)＝20150.②由①②两式，得200n＝20150，解得n＝1500，所以该自然保护区中天鹅的数量约为1500只．用古典概型概率的观点求随机事件的概率时，首先对于在试验中出现的结果的可能性认为是相等的，其次是通过一个比值的计算来确定随机事件的概率．3．某家具厂为某游泳比赛场馆生产观众座椅．质检人员对该厂所产2500套座椅进行抽检，共抽检了100套，发现有5套次品，试问该厂所产2500套座椅中大约有多少套次品？[解]设有n套次品，由概率的统计定义可知n2500≈5100，解得n≈125.所以该厂所产2500套座椅中大约有125套次品．1．本节课的重点是对概率意义的理解．难点是应用概率知识解决实际生活中的问题．2．本节课要掌握以下几类问题(1)理解概率的意义，应用概率解决密码破译问题．(2)概率在社会调查中的应用．(3)概率知识在总体估计中的应用．3．本节的易错点是不能正确应用概率模型解决问题．当堂固双基达标1．思考辨析(1)事件A发生的概率很小时，该事件为不可能事件．()(2)某医院治愈某种病的概率为0.8，则10个人去治疗，一定有8人能治愈．()(3)平时的多次比赛中，小明获胜的次数比小华的高，所以这次比赛应选小明参加．()[答案](1)×(2)×(3)√2．在所有的两位数10～99中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率为()A.56B.45C.23D．12C[10～99中有90个两位数，这些两位数中，偶数有45个，10～99中有30个能被3整除的数，其中奇数有30÷2＝15(个)，∴所求的概率为45＋1590＝23.]3．电脑“扫雷”游戏的操作面被平均分成480块，其中有99块埋有地雷，现在操作面上任意点击一下，碰到地雷的概率为________．33160[由古典概型的概率公式可得碰到地雷的概率为99480＝33160.]4．中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明一定的奖品，其余没有奖品，参与游戏的观众有三次翻牌机会(翻过的牌不能再翻)．(1)第一次翻牌获奖的概率是多少？(2)某观众前两次翻牌均获奖，那么他第三次翻牌获奖的概率是多少？[解](1)第一次翻牌时有5个有奖品，故获奖的概率为P＝520＝14.(2)前两次翻牌均获奖，第三次翻牌时，只有3个有奖品，还有18个商标牌，故获奖的概率为P＝318＝16.