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第三章概率3.1随机事件的概率3.1.1随机事件的概率学习目标核心素养1.了解随机事件、必然事件、不可能事件的含义．(重点)2．会初步列出重复试验的结果．(重点)3．理解频率与概率的区别与联系．(难点、易混点)通过概率的学习，培养数学抽象素养.自主预习探新知1．必然事件、不可能事件与随机事件事件类型定义必然事件在条件S下，__________的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件不可能事件在条件S下，____________的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件一定会发生一定不会发生确定事件必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件随机事件在条件S下，____________________的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件事件确定事件与随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C……表示可能发生也可能不发生2.频率与概率(1)频数与频率在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中____________________为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝nAn为事件A出现的频率．事件A出现的次数nA(2)概率随机事件发生____________用概率来度量，概率是客观存在的．对于给定的随机事件A，事件A发生的______________随着试验次数的增加稳定于____________，因此可用______________来估计____________，即P(A)≈nAn.可能性的大小频率fn(A)概率P(A)频率fn(A)概率P(A)思考：两位同学在相同的条件下，都抛掷一枚硬币100次，得到正面向上的频率一定相同吗？[提示]不一定．1．事件“经过有信号灯的路口，遇上红灯”是()A．必然事件B．不可能事件C．随机事件D．以上均不正确[答案]C2．下列说法正确的是()A．任何事件的概率总是在(0，1]之间B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率D．概率是随机的，在试验前不能确定C[由频率与概率的有关概念知，C正确．]3．“同时抛掷两枚质地均匀的硬币，记录正面向上的枚数”，该试验的结果共有________种．3[正面向上的枚数可能为0，1，2，共3种结果．]0.8[810＝0.8.]4．某人射击10次，恰有8次击中靶子，则该人击中靶子的频率是________．合作探究提素养事件类型的判断【例1】指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件：(1)中国体操运动员将在下一届奥运会上获得全能冠军；(2)出租车司机小李驾车通过4个十字路口都将遇到绿灯；(3)若x∈R，则x2＋1≥1；(4)小红书包里只有数学书、语文书、地理书、政治书，她随意拿出一本，是漫画书．[解](1)(2)中的事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；(3)中的事件一定会发生，所以是必然事件；(4)中小红书包里没有漫画书，所以是不可能事件．判断事件类型的思路判断一个事件是随机事件、必然事件还是不可能事件，首先一定要看条件，其次是看在该条件下所研究的事件是一定发生(必然事件)、不一定发生(随机事件)，还是一定不会发生(不可能事件)．1．给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②当“x为某一实数时可使x20”是不可能事件；③“每年的国庆节都是晴天”是必然事件；④“从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个，5个都是次品”是随机事件．其中正确命题的个数是()A．4B．3C．2D．1B[③“每年的国庆节都是晴天”是随机事件，故错误；①②④的判断均正确．]试验结果的列举【例2】设集合M＝{1，2，3，4}，a∈M，b∈M，(a，b)是一个基本事件．(1)“a＋b＝5”这一事件包含哪几个基本事件？(2)“a＝b”这一事件包含哪几个基本事件？(3)“直线ax＋by＝0的斜率k－1”这一事件包含哪几个基本事件？[解]这个试验的基本事件构成集合Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．(1)“a＋b＝5”包含以下4个基本事件：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)．(2)“a＝b”这一事件包含以下4个基本事件：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)．(3)直线ax＋by＝0的斜率k＝－ab－1，所以ab1.所以ab.所以包含以下6个基本事件：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)．不重不漏地列举试验的所有可能结果的方法(1)结果是相对于条件而言的，要弄清试验的结果，必须首先明确试验中的条件．(2)根据日常生活经验，按照一定的顺序列举出所有可能的结果，可应用画树状图、列表等方法解决．2．下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的所有结果．(1)抛掷两枚质地均匀的硬币；(2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素组成集合A的子集．[解](1)一次试验是指“抛掷两枚质地均匀的硬币一次”，试验的可能结果有4个：(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)．(2)一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素组成集合A的一个子集”，试验的结果共有4个：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}．随机事件的频率与概率[探究问题]1．随机事件的频率与试验次数有关吗？[提示]频率是事件A发生的次数与试验总次数的比值，当然与试验次数有关．2．随机事件的概率与试验次数有关吗？[提示]概率是客观存在的一个确定的数，与试验做不做，做多少次完全无关．3．试验次数越多，频率就越接近概率吗？[提示]不是．随着试验次数的增多(足够多)，频率稳定于概率的可能性在增大．在事件的概率未知的情况下，我们常用频率作为概率的估计值．即概率是频率的稳定值，频率是概率的估计值．【例3】某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数01234≥5频数605030302010(1)记A为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P(A)的估计值；(2)记B为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P(B)的估计值．思路点拨：(1)由已知可得续保人本年度的保费不高于基本保费的频数(一年内出险次数小于2的频数)，进而可得P(A)的估计值；(2)由已知可得续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%的频数(一年内出险次数大于1且小于4的频数)，进而可得P(B)的估计值．[解](1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50200＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30200＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.1．(变条件)某射击运动员进行飞碟射击训练，七次训练的成绩记录如下：射击次数n100120150100150160150击中飞碟数nA819512081119127121(1)求各次击中飞碟的频率；(保留三位小数)(2)该射击运动员击中飞碟的概率约为多少？[解](1)计算nAn得各次击中飞碟的频率依次约为0.810，0.792，0.800，0.810，0.793，0.794，0.807.(2)由于这些频率非常地接近0.800，且在它附近摆动，所以运动员击中飞碟的概率约为0.800.[解]事件C发生当且仅当一年内出险次数大于或等于4，由表中数据知，一年内出险次数大于或等于4的频率为20＋10200＝0.15，故P(C)的估计值为0.15.2．(变结论)本例条件不变，记C为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费的150%”，求P(C)的估计值．随机事件概率的理解及求法(1)理解：概率可看作频率理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．当试验的次数越来越多时，频率越来越趋近于概率．当次数足够多时，所得频率就近似地看作随机事件的概率．(2)求法：通过公式fn(A)＝nAn＝mn计算出频率，再由频率估算概率．1．辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件，在给定的条件下判断是一定发生(必然事件)，还是不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件)．2．随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率．3．写试验结果时，要按顺序写，特别要注意题目中的有关字眼，如“先后”“依次”“顺序”“放回”“不放回”等.当堂达标固双基1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“抛掷硬币五次，均正面向上”是不可能事件．()(2)在平面图形中，三角形的内角和是180°是必然事件．()(3)频率与概率可以相等．()[答案](1)×(2)√(3)√2．下列事件中的随机事件为()A．若a，b，c都是实数，则a(bc)＝(ab)cB．没有水和空气，人也可以生存下去C．抛掷一枚硬币，反面向上D．在标准大气压下，温度达到60℃时水沸腾C[A中的等式显然对任意实数a，b，c是恒成立的，故A是必然事件；在没有空气和水的条件下，人是绝对不能生存下去的，故B是不可能事件；抛掷一枚硬币时，在没得到结果之前，并不知道会是正面向上还是反面向上，故C是随机事件；在标准大气压的条件下，只有温度达到100℃，水才会沸腾，当温度是60℃时，水是绝对不会沸腾的，故D是不可能事件．]3．“连续抛掷两枚质地均匀的骰子，记录朝上的点数”，该试验的结果共有________种．36[试验的全部结果为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共36种．]4．一个地区从某年起4年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示：时间范围1年内2年内3年内4年内新生婴儿数n554496071352017190男婴数m2883497069948892(1)计算男婴出生的频率(保留4位小数)；(2)这一地区男婴出生的概率约是多少？[解](1)计算mn即得男婴出生的频率依次约为0.5200，0.5173，0.5173，0.5173.(2)由于这些频率非常接近0.5173，因此，这一地区男婴出生的概率约为0.5173.