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第3章概率3.1随机事件及其概率学习目标核心素养1.体会确定性现象与随机现象的含义．2．了解必然事件、不可能事件及随机事件．3．了解随机事件发生的不确定性及频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及概率与频率的区别．(难点)4．理解概率的统计定义，知道根据概率的统计定义计算概率的方法．(重点)1.通过对事件性质的判断来锻炼学生的逻辑推理核心素养．2．通过对数据的分析、计算来培养学生的数据分析、数学运算核心素养.自主预习探新知1．随机事件(1)确定性现象、随机现象在一定条件下，事先就能断定____________某种结果，这种现象就是确定性现象．在一定条件下，某种现象____发生，也可能不发生，事先____断定出现哪种结果，这种现象就是随机现象．发生或不发生可能不能(2)试验、事件一次试验就是对于某个现象的条件实现一次，例如对“掷一枚硬币，出现正面”这个现象来说，做一次试验就是________________．而试验的每一种可能的结果，都是一个事件．(3)必然事件、不可能事件、随机事件在一定条件下，必然会发生的事件叫做必然事件；将硬币抛掷一次在一定条件下，肯定_____发生的事件叫做不可能事件；在一定条件下，____________________的事件叫做随机事件．我们用_________等大写英文字母表示随机事件，如我们记“某人射击一次，中靶”为事件___．不会可能发生也可能不发生A，B，CA2．随机事件的概率(1)频数与频率在一定条件下，重复进行了n次试验，如果某一事件A出现了m次，则事件A出现的频数是___，称事件A出现的次数与试验总次数的比例___为事件A出现的频率．mmn(2)概率的统计定义一般地，如果随机事件A在n次试验中发生了m次，当试验的次数n很大时，我们可以发现事件A发生的频率__趋近于一个常数，这个常数随着试验次数的增加越来越_____，我们把这个常数作为事件A发生的概率的近似值，即P(A)≈mn.稳定mn这里这个常数的意义就代表是随机事件的______，由于随着试验次数的增加，频率越来越接近概率，也即概率是频率的_____值，所以用频率来定义概率是合理的，可行的．(3)必然事件和不可能事件的概率可以把必然事件和不可能事件当成随机事件的两种特殊情况来考虑，分别用___和__来表示，显然P(Ω)＝1，P(∅)＝0.所以对任何一个事件A，都有__________.概率期望Ω∅0≤P(A)≤1思考：频率与概率之间有什么关系？[提示](1)频率是随机的，是一个变量，在试验前不能确定，且可能会随着试验次数的改变而改变，它反映的是某一随机事件出现的频繁程度，反映了随机事件出现的可能性的大小，近似反映了概率的大小．比如全班同学都做了10次掷硬币的试验，但得到正面向上的频率可以是不同的．(2)概率是一个确定的常数，是客观存在的，它是频率的科学抽象，与每次试验无关，不随试验结果的改变而改变，从数量上反映随机事件发生的可能性大小．例如，如果一个硬币质地均匀，则掷该枚硬币出现正面向上的概率是0.5，与做多少次试验无关．(3)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近于概率．在实际问题中，随机事件的概率未知，常用大量重复试验中事件发生的频率作为它的估计值．1．有下列现象：①连续掷一枚硬币两次，两次都出现正面向上；②异性电荷互相吸引；③在标准大气压下，水在1℃结冰；④南通某天下雨．其中是随机现象的是()A．①③B．②③C．①④D．③④C[随机现象的典型特征是不能事先预料哪一种结果会出现，据此逐个分析，所以①④正确．]③[因白色商品共2件，而要抽出3件商品，故抽出的3件中至少有1件为红色的，故选③.]2．在10件同类商品中，有8件红色的，2件白色的，从中任意抽取3件．给出下列事件：①3件都是红色；③3件都是白色；③至少有1件红色；④至少有1件白色．其中是必然事件的序号为________．3．某英语试题中，共有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，则随机选择其中一个选项正确的概率是14，某家长说：“要是都不会做，每题都随机选择其中一个选项，则一定有3题答对．”这句话____________________________________．(填“正确”“错误”或“不一定”)错误[把解答一个选择题作为一次试验，答对的概率是14，说明了答对的可能性大小是14，由于每次试验的结果都是随机的，因而做12次试验，结果都是随机的，那么答对3道题的可能性较大，但是并不一定答对3道题，也可能都选错，也可能有1,2,3,4，…甚至12道题选择正确．]200[根据题意，得300×23＝200.]4．将一枚骰子掷300次，则掷出的点数大于2的次数大约是________．合作探究提素养事件的有关概念【例1】判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件．(1)抛一石块，下落；(2)在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化；(3)某人射击一次，中靶；(4)如果ab，那么a－b0；(5)掷一枚硬币，出现正面；(6)导体通电后，发热；(7)从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，得到4号签；(8)某电话机在1分钟内收到2次呼叫；(9)没有水分，种子能发芽；(10)在常温下，焊锡熔化．[解](1)是必然事件，该现象是大自然的客观规律所致．(2)是不可能事件，在标准大气压下，只有温度高于0℃时，冰才融化．(3)是随机事件，射击一次可能中靶，也可能不中靶．(4)是必然事件，由不等式性质可得．(5)是随机事件，因为将一枚硬币抛掷一次，可能出现正面向上，也可能出现反面向上．(6)是必然事件，导体通电发热是物理现象．(7)是随机事件，从5张标签中任取一张，每张都有被取到的可能．(8)是随机事件，因为结果有不可预知性．(9)是不可能事件，因为种子只有在有水分的条件下，才能发芽．(10)是不可能事件，因为金属锡只有在高温下才能熔化．要判定某事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的．其次再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生．一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．1．有下列事件：①足球运动员罚点球命中；②在自然数集合中任取一个数为偶数；③在标准大气压下，水在100℃时沸腾；④已知A＝{1,2,3}，B＝{3,4}，则B⊆A；⑤光线在均匀介质中发生折射现象；⑥任意两个奇数之和为奇数．在上述事件中为随机事件的有________，为必然事件的有________，为不可能事件的有________．①②③④⑤⑥[①足球运动员罚点球可能命中，也可能不命中；②在自然数集合中任取一个数可能为奇数，也可能为偶数；③在标准大气压下，水在100℃时一定沸腾；④已知A＝{1,2,3}，B＝{3,4}，则B⊆A是不可能的；⑤光线在均匀介质中是沿直线传播的，不可能发生折射现象；⑥任意两个奇数之和为偶数．]2．分析下面给出的五个事件哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？(1)某地2月3日下雪；(2)函数y＝ax(a0且a≠1)在定义域上是增函数；(3)实数的绝对值不小于0；(4)在标准大气压下，水在1℃结冰；(5)a，b∈R，则ab＝bA．[解](1)随机事件，某地在2月3日可能下雪，也可能不下雪．(2)随机事件，函数y＝ax当a1时在定义域上是增函数，当0a1时在定义域上是减函数．(3)必然事件，实数的绝对值非负．(4)不可能事件，在标准大气压下，水在0℃以下结冰．(5)必然事件，若a，b∈R，则ab＝ba恒成立．对概率意义的理解【例2】某种病的治愈概率是0.3，那么前7个人没有治愈，后3个人一定能治愈吗？如何理解治愈的概率是0.3?思路点拨：解答本题要理解概率的意义．[解]如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈的概率是0.3，指随着试验次数的增加，即治疗的病人数的增加，大约有30%的人能够治愈．对于一次试验来说，其结果是随机的，因此前7个病人没治愈是可能的，而对后3个病人来说，其结果仍然是随机的，即有可能治愈，也有可能没治愈．治愈的概率是0.3，是指如果患病的有1000人，那么我们根据治愈的频率应在治愈概率附近摆动这一前提，就可以认为这1000人中，大约有300人能治愈，这个事先估计对于医药卫生部门是很有参考价值的．这也进一步说明了随机事件的概率只是反映了大量重复试验条件下，随机试验A发生的频率的稳定性．随机事件的发生具有随机性，概率值仅说明事件发生的可能性的大小，因此，在解释随机事件的概率时，凡是出现“必定”“肯定”之类的确定性字眼，一般都是错误的．3．如果某种彩票中奖的概率为11000，那么买1000张彩票一定能中奖吗？请用概率的意义解释．思路点拨：买1000张彩票，相当于做1000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以做1000次试验的结果也是随机的，也就是说，买1000张彩票有可能没有1张中奖．[解]不一定能中奖．因为买1000张彩票相当于做1000次试验，而每次试验的结果都是随机的，即每张彩票可能中奖也可能不中奖，因此，1000张彩票中可能没有1张中奖，也可能有1张、2张或者多张中奖．4．试解释下列情况中概率的意义．(1)某商场为促进销售，实行有奖销售活动，凡购买其商品的顾客中奖的概率为0.20；(2)一生产厂家称：我们厂生产的产品合格的概率是0.98.思路点拨：有奖销售活动中，凡购买其商品的顾客中奖的概率表示购买其商品的顾客中奖的可能性的大小；生产厂家所说的产品合格的概率表示其厂生产的产品合格的可能性的大小．[解](1)指购买其商品的顾客中奖的可能性为20%.(2)指其厂生产的产品合格的可能性是98%.频率与概率的关系及求法【例3】某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示：分组[500，900)[900，1100)[1100，1300)[1300，1500)[1500，1700)[1700，1900)[1900，＋∞)频数4812120822319316542频率(1)将各组的频率填入表中；(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1500小时的概率．思路点拨：分析数据→计算频率→估计概率[解](1)频率依次是：0．048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.(2)样本中寿命不足1500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，所以样本中灯管使用寿命不足1500小时的频率是6001000＝0.6，所以灯管使用寿命不足1500小时的概率约为0.6.1．频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率．频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近左右摆动，这个稳定值就是概率．2．解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率．①③④[由频率与概率的定义及两者之间的关系知①③④正确，②不正确．]5．下列说法：①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；②百分率是频率，不是概率；③频率是不能脱离具体的n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的是________．6．某种菜籽在相同的条件下发芽试验结果如下表：菜籽粒数251070130310700150020003000发芽粒数24960116282639133918062715发芽频率(1)填写表中的菜籽发芽的频率；(2)求该种菜籽发芽的概率．思路点拨：事件A出现的频数nA与试验次数n的比值fn(A)＝nAn即为事件A发生的频率，当事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上时，这个常数即为事件A发生的概率．[解](1)根据表格计算不同情况下种子发芽的频率分别是：1,0.8,0.9,0.857,0.892,0.910,0.913,0.893，0.903，0.905.(2)随着菜籽粒数的增加，菜籽发芽的频率越来越接近于0