2019-2020学年高中数学 第3章 导数及其应用本章整合提升课件 新人教A版选修1-1

第三章导数及其应用本章整合提升利用导数求函数的单调区间，也就是求f′(x)0或f′(x)0的解集．由f′(x)0得函数的单调递增区间，由f′(x)0，得函数的单调递减区间．需要注意的是：当函数在定义域内的增区间(或减区间)多于一个时，它们之间不能用并集符号“∪”和“或”连接．已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．【思路探索】(1)先求导函数f′(x)，再对a进行分类讨论．由f′(x)0得单调递增区间，由f′(x)0得单调递减区间．(2)对参数a进行分类讨论，利用导数判断函数的单调性，从而判断是否有两个零点，最后确定a的取值范围．【解】(1)∵f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a)．①当a≥0时，∵ex＋2a0，∴当x1时，f′(x)0；当x1时，f′(x)0.∴f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．②当a0时，由f′(x)＝0，得x＝1或x＝ln(－2a)．若a＝－e2，则f′(x)＝(x－1)(ex－e)0恒成立，∴f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．若a－e2，则ln(－2a)1，∴当x∈(－∞，ln(－2a))∪(1，＋∞)时，f′(x)0；当x∈(ln(－2a)，1)时，f′(x)0，∴f(x)在(－∞，ln(－2a))，(1，＋∞)上单调递增，在(ln(－2a)，1)上单调递减．若a－e2，则ln(－2a)1，∴当x∈(－∞，1)∪(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)0；当x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)0，∴f(x)在(－∞，1)，(ln(－2a)，＋∞)上单调递增，在(1，ln(－2a))上单调递减．(2)①设a0，则由(1)知，f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，又f(1)＝－e0，f(2)＝a0，取b满足b0且blna2，则f(b)a2(b－2)＋a(b－1)2＝ab2－32b0，∴在(1，b)内，(1,2)内f(x)有两个零点．②设a＝0，则f(x)＝(x－2)ex，∴f(x)只有一个零点．③设a0，若a≥－e2，由(1)知，f(x)在(1，＋∞)上单调递增，又当x≤1时，f(x)0，∴f(x)不存在两个零点；若a－e2，则由(1)知，f(x)在(1，ln(－2a))上单调递减，在(ln(－2a)，＋∞)上单调递增，又当x≤1时，f(x)0，∴f(x)不存在两个零点．综上，a的取值范围是(0，＋∞).函数的极值(最值)问题是每年高考的必考内容，主要考查可导函数的极值(最值)求法以及由函数的极值确定参数的取值或取值范围．设f(x)＝alnx＋12x＋32x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值．【思路探索】(1)根据题意知f′(1)＝0，可求a的值；(2)确定f(x)的定义域―→求f′(x)―→解方程f′(x)＝0―→判断f′(x)在方程根左右的符号―→求出极值．【解】(1)∵f(x)＝alnx＋12x＋32x＋1(x0)，∴f′(x)＝ax－12x2＋32.由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，故该切线的斜率为0，即f′(1)＝0，从而a－12＋32＝0，解得a＝－1.(2)由(1)知f(x)＝－lnx＋12x＋32x＋1(x0)，∴f′(x)＝－1x－12x2＋32＝3x2－2x－12x2＝3x＋1x－12x2.令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－13x2＝－13不在定义域内，舍去．当x∈(0,1)时，f′(x)0，故f(x)在(0,1)上为减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3，无极大值．如图(1)∠ACB＝45°，BC＝3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC＝90°(如图(2)所示)．当BD的长为多少时，三棱锥A－BCD的体积最大．【思路探索】设BD＝x，则CD＝3－x.易知AD⊥平面BCD，BD⊥CD，AD＝CD，从而可用x表示出三棱锥A－BCD的体积，利用导数求得最大值．【解】在如图(1)所示的△ABC中，设BD＝x，则CD＝3－x(0x3)．由AD⊥BC，∠ACB＝45°，知△ADC为等腰直角三角形，从而AD＝CD＝3－x.由AD⊥DC，AD⊥BD，且DC∩BD＝D，知AD⊥平面BCD.又∠BDC＝90°，所以S△BCD＝12x(3－x)．于是VA－BCD＝13S△BCD·AD＝13·12x(3－x)·(3－x)＝16(9x－6x2＋x3)．令g(x)＝16(9x－6x2＋x3)，则g′(x)＝12(3－4x＋x2)＝12(x－1)(x－3)．令g′(x)＝0，得x＝1或x＝3(舍去)．当x∈(0,1)时，f′(x)0，此时f(x)单调递增；当x∈(1,3)时，f′(x)0，此时f(x)单调递减．所以当x＝1时，f(x)取得极大值，也是最大值．故当BD的长为1时，三棱锥A－BCD的体积最大.对于可导函数f(x)来说，利用导数可以判断f(x)的单调区间、极值，从而也可以确定函数f(x)的图象的大概形状，于是也可以确定函数f(x)＝0的根的个数．已知函数f(x)＝x3，g(x)＝x＋x.求函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数，并说明理由．【思路探索】构造函数h(x)＝x3－x－x，根据函数的零点定理判断．求零点的个数，可利用导数研究函数的单调性，通过函数单调性把函数的零点个数确定下来．【解】由h(x)＝x3－x－x知，x∈[0，＋∞)，而h(0)＝0，且h(1)＝－10，h(2)＝6－20，则x＝0为h(x)的一个零点，且h(x)在(1,2)内有零点．因此，h(x)至少有两个零点．h′(x)＝3x2－1－12x－12，记φ(x)＝3x2－1－12x－12，则φ′(x)＝6x＋14x－32.当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)0，因此φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x)在(0，＋∞)内至多有一个零点．又φ(1)0，φ330，则φ(x)在33，1内有零点，所以φ(x)在(0，＋∞)内有且只有一个零点．记此零点为x1，则当x∈(0，x1)时，φ(x)φ(x1)＝0；当x∈(x1，＋∞)时，φ(x)φ(x1)＝0.所以，当x∈(0，x1]时，h(x)单调递减．而h(0)＝0，则h(x)在(0，x1]内无零点；当x∈(x1，＋∞)时，h(x)单调递增，则h(x)在(x1，＋∞)内至多有一个零点．从而h(x)在(0，＋∞)内至多有一个零点．综上所述，函数h(x)有且只有两个零点.1.利用导数证明不等式我们知道利用导数可以证明函数的单调性，利用转化的思想，利用导数也可以证明不等式．根据不等式的特点，构造函数，然后证明该函数是单调的，再借鉴函数值达到证明不等式的目的．设函数f(x)＝lnx－x＋1.(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：当x∈(1，＋∞)时，1x－1lnxx；(3)设e1，证明：当x∈(0,1)时，1＋(e－1)xex.【思路探索】(1)求出导函数f′(x)，然后确定函数的单调性；(2)利用(1)的结论证明；(3)构造新函数g(x)＝1＋(e－1)x－ex，然后通过研究g(x)的单调性来证明．【解】(1)由题设，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－1，令f′(x)＝0，得x＝1.当0x1时，f′(x)0；当x1时，f′(x)0.∴f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．(2)证明：由(1)知，f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝0，即f(x)＝lnx－x＋1≤f(1)＝0.∴当x≠1时，lnxx－1.∴当x∈(1，＋∞)时，lnxx－1，ln1x1x－1＝1－xx，∴1x－1lnxx.(3)证明：由题设e1，设g(x)＝1＋(e－1)x－ex，则g′(x)＝e－1－exlne，令g′(x)＝0，得x0＝lne－1lnelne.∴当xx0时，g′(x)0，g(x)单调递增；当xx0时，g′(x)0，g(x)单调递减．由(2)知1e－1lnee，∴0x01.又g(0)＝g(1)＝0，∴当0x1时，g(x)0.∴当x∈(0,1)时，1＋(e－1)xex.2．利用导数研究不等式恒成立问题对于不等式恒成立求参数的问题，常采用分离参数法，化成m≥f(x)或m≤f(x)的形式，然后利用导数求出f(x)的最值，由m≥f(x)max或m≤f(x)min，即可求出m的取值范围．设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t0)．(1)求f(x)的最小值g(t)；(2)若g(t)－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．【思路探索】(1)f(x)是二次函数可配方求解；(2)构造函数h(t)＝g(t)－(－2t＋m)，利用导数h′(t)求g(t)的最大值．【解】(1)由题意得f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t0)，∵t0，∴当x＝－t时，f(x)取得最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即g(t)＝－t3＋t－1.(2)令h(t)＝g(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，则h′(t)＝－3t2＋3＝－3(t＋1)(t－1)．令h′(t)＝0，得t＝－1或t＝1.又t0.∴t＝1.当t变化时，h′(t)，h(t)的变化情况如下表：t(0,1)1(1,2)h′(t)＋0－h(t)极大值1－m∴h(t)在(0,2)内的最大值为1－m.∴g(t)－2t＋m在(0,2)内恒成立等价于h(t)0在(0,2)内恒成立，即等价于1－m0，即m1.∴实数m的取值范围是(1，＋∞)．[名师点拨]在利用导数解决问题时，要注意等价转化思想、数形结合思想的应用．在数学问题求解过程中，需要用到函数的单调性或最值的，都可以运用导数作为工具来解决．