2019-2020学年高中数学 第3章 导数及其应用 3.4 生活中的优化问题举例课件 新人教A版选

第三章导数及其应用3．4生活中的优化问题举例梳理知识夯实基础自主学习导航目标导学1．了解导数在解决实际问题中的作用．2．掌握利用导数解决生活中的优化问题．优化问题‖知识梳理‖1．优化问题生活中经常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为______________．2．解决优化问题的基本思路解剖难点探究提高重点难点突破1．利用导数解决优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，抽象出实际问题的数学模型，列出函数关系式y＝f(x)．(2)求函数f(x)的导函数f′(x)，并解方程f′(x)＝0；求得函数可能的极值点．(3)比较函数f(x)在区间端点的函数值和可能极值点的函数值的大小，得出函数的最值．(4)根据实际问题的意义给出答案．2．用导数解决优化问题应注意(1)在列出函数的解析式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．(2)一般情况下，是通过求函数的极值来求得函数的最值．如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或在开区间上只有一个点使f′(x)＝0，则只要根据实际问题的意义判断该值是最大值还是最小值即可，也就是说不必再与端点处的函数值进行比较．归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一最大值问题用长为90cm、宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图)．问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？【思路探索】设出容器的高为xcm，则可用x表示出容器的长和宽，列出容器体积关于x的函数解析式，再利用导数求解．【解】设容器高为xcm，容器的容积为V(x)cm3，则V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4320x(0x24)．求V(x)的导数，得V′(x)＝12x2－552x＋4320＝12(x2－46x＋360)＝12(x－10)(x－36)．令V′(x)＝0，得x1＝10，x2＝36(舍去)．当0x10时，V′(x)0，那么V(x)为增函数；当10x24时，V′(x)0，那么V(x)为减函数．因此，在定义域(0,24)内，函数V(x)只有当x＝10时取得最大值，其最大值为V(10)＝10×(90－20)×(48－20)＝19600(cm3)．故当容器的高为10cm时，容器的容积最大，最大容积为19600cm3.[名师点拨]实际生活中的容积、面积最大，效率最高，利润最大等问题都需要用导数求解得相应的最大值，此时根据f′(x)＝0求出极值点后，要根据问题的实际意义舍去不合适的极值点．若函数在该点左增右减，则此时唯一的极大值就是所求实际问题的最大值.(2019·遂宁月考)某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x≥0)万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)＝a(x－1)＋2，g(x)＝6ln(x＋b)(a0，b0)．已知投资额为零时收益均为零．(1)求a，b的值；(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．解：(1)由投资额为零时收益为零，可知f(0)＝－a＋2＝0，解得a＝2.g(0)＝6lnb＝0，解得b＝1.(2)由(1)可得，f(x)＝2x，g(x)＝6ln(x＋1)．设投入经销B商品的资金为x万元(0x≤5)，则投入经销A商品的资金为(5－x)万元，设所获得的收益为S(x)万元，则S(x)＝2(5－x)＋6ln(x＋1)＝6ln(x＋1)－2x＋10(0x≤5)．S′(x)＝6x＋1－2，令S′(x)＝0，得x＝2.当0x2时，S′(x)0，函数S(x)单调递增；当2x≤5时，S′(x)0，函数S(x)单调递减．所以，当x＝2时，函数S(x)取得最大值，S(x)max＝S(2)＝6ln3＋6(万元)．所以，当投入经销A商品3万元，B商品2万元时，他可获得最大收益，收益的最大值约为(6ln3＋6)万元．题型二最小值问题(2019·江阴一中期中)某辆汽车以x千米/时的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求60≤x≤120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为15x－k＋4500x升，其中k为常数，且60≤k≤120.(1)若汽车以120千米/时的速度行驶时，每小时的油耗为11.5升，欲使每小时的油耗不超过9升，求x的取值范围；(2)求该汽车行驶100千米的油耗的最小值．【思路探索】(1)中先利用条件确定k的值．(2)中列出汽车行驶100千米的油耗的函数关系式，再求解．【解】(1)∵当x＝120时，每小时油耗11.5升，∴15120－k＋4500120＝11.5，解得k＝100.若每小时油耗不超过9升，则15x－100＋4500x≤9，解得45≤x≤100.又60≤x≤120，∴x的取值范围为[60,100]．(2)设汽车行驶100千米油耗为y升，则y＝100x·15x－k＋4500x＝20－20kx＋90000x2(60≤x≤120)．y′＝20kx2－180000x3＝20kx－180000x3，令y′＝0，得x＝9000k，当60≤9000k≤120，即75≤k≤150，又60≤k≤120，∴75≤k≤120时，当x＝9000k时，ymin＝20－k2900；当9000k120，即60≤k75时，当x＝120时，ymin＝1054－k6.综上，当75≤k120，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为20－k2900升，当60≤k75，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为1054－k6升．[名师点拨]认真读题，理解题意，建立数学模型是关键．化简函数关系式，利用导数求解．定义域要与实际问题相联系．有时要分情况讨论.某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房，经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积）解：设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，则f(x)＝(560＋48x)＋2160×100002000x＝560＋48x＋10800x，∴f′(x)＝48－10800x2.令f′(x)＝0，得x＝15.当x15时，f′(x)0；当0x15时，f′(x)0，因此，当x＝15时，f(x)取最小值．∴为了楼房每平方米的综合费用最小，该楼房应建为15层．题型三综合问题如图，已知抛物线y2＝4x的顶点为O，点A(5,0)．倾斜角为π4的直线l与线段OA相交，且不经过O，A两点，直线l交抛物线于点M，N，求使△AMN的面积最大时的直线l的方程．【思路探索】设直线l的方程为y＝x＋b，与y2＝4x联立，消去x，得关于y的一元二次方程．利用根与系数的关系求|MN|，求出点A到直线MN的距离d，得△AMN的面积S＝12|MN|·d，然后求S的最值．【解】依题意设直线l的方程为y＝x＋b，它与x轴的交点P(－b,0)(－5b0)．由y＝x＋b，y2＝4x，得y2－4y＋4b＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝4，y1y2＝4b.∴|y2－y1|＝y2＋y12－4y1y2＝42－16b＝41－b.∴|MN|＝2|y2－y1|＝42·1－b.又点A(5,0)到直线l的距离为d＝5＋b2.∴S△AMN＝12|MN|·d＝25＋b21－b.令f(b)＝(5＋b)2(1－b)(－5b0)，则f′(b)＝－3b2－18b－15.令f′(b)0得，－5x－1，此时f(b)单调递增；令f′(b)0得，x－1或x－5，此时f(b)单调递减．∴当b＝－1时，f(b)最大，即S△AMN最大，∴当△AMN面积最大时，直线l的方程为y＝x－1.[名师点拨]在利用导数研究实际问题中的最值时，如果在定义域内导数为零的点只有一个，它就是最值点，不必判断．为美化环境，某市计划在以A，B两地为直径的半圆弧AB︵上选择一点C建造垃圾处理厂(如图所示)，已知A，B两地的距离为10km，垃圾场对某地的影响度与其到该地的距离有关，对A，B两地的总影响度为对A地的影响度和对B地影响度的和，记C点到A地的距离为xkm，垃圾处理厂对A，B两地的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对A地的影响度与其到A地距离的平方成反比，比例系数为4；对B地的影响度与其到B地的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在AB︵的中点时，对A，B两地的总影响度为0.26.(1)将y表示成x的函数；(2)判断弧AB︵上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对A，B两地的总影响度最小？若存在，求出该点到A地的距离；若不存在，说明理由．解：(1)由题意AC⊥BC，BC2＝100－x2，则y＝4x2＋k100－x2(0x10)，其中，当x＝52时，y＝0.26，故k＝9.∴y＝4x2＋9100－x2(0x10)．(2)存在．由(1)可得y′＝－8x3＋－9×－2x100－x22＝10x2－40x2＋200x3100－x22，令y′＝0得x2＝40，∴x＝210，当0x210时，y′0，故函数在区间(0,210)上单调递减，当210x10时，y′0，故函数在区间(210，10)上单调递增，故x＝210时，函数有最小值．即当C点到A点的距离为210km时，垃圾处理厂对两地的总影响度最小．即学即练稳操胜券课堂基础达标1．把长度为16的线段分成两段，各围成一个正方形，它们面积和的最小值为()A．2B．4C．6D．8解析：设其中一段长为x，则另一段长为16－x(其中0x16)，则两个正方形面积之和为S(x)＝x42＋16－x42(0x16)，则S′(x)＝x216＋4－x42′＝14(x－8)．令S′(x)＝0，得x＝8.∴当0x8时，S′(x)0；当8x16时，S′(x)0.∴x＝8是函数S(x)的极小值点，也是最小值点．∴当x＝8时，S(x)取最小值，S(x)最小＝S(8)＝8，即两个正方形面积之和的最小值是8，故选D.答案：D2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件解析：依题意，得y′＝－x2＋81＝0，∴x＝9.易知x＝9为此函数唯一的极大值点即为最大值点．答案：C3．某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48m3，高为3m，如果箱底每1m2的造价为15元，箱壁每1m2的造价为12元，则箱子的最低总造价为()A．900元B．840元C．818元D．816元解析：设箱底一边的长度为xm，总造价为y元，依据题意得y＝12×32x＋16x×2＋15×16.∴y′＝721－16x2.令y′＝0，得x＝4或x＝－4(舍去)．当x＝4时，y＝816，即最低造价为816元．故选D.答案：D4．(2019·唐山月考)菱形ABCD的边长为2，现将△ACD沿对角线AC折起使平面ACD⊥平面ACB，求此时所成空间四面体体积的最大值()A.16327B．539C．1D．34解析：如图所示，AC与BD的交点为O，设∠CAB＝α，α∈(0°，90°)，则OB＝OD＝ABsinα＝2sinα，OA＝ABcosα＝2cosα，∴V＝13×12AC·OB·OD＝16×4cosα·2sinα·2sinα＝83cosαsin2α＝83cosα(1－cos2α)＝83cosα－83cos3α.令cosα＝t，则t∈(0,1)，∴V＝83t－83t3，t∈(0,1)，令V′＝83－8t2