2019-2020学年高中数学 第3章 导数及其应用 3.3.3 导数的实际应用课件 新人教B版选修

第三章导数及其应用3.3导数的应用3.3.3导数的实际应用学习目标核心素养1.能利用导数解决实际问题．(重点)2.提高综合运用导数知识解题的能力，培养化归与转化意识．(难点).通过利用导数解决实际问题的学习，培养学生的数学建模、数学运算素养.自主预习探新知生活中的优化问题(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为________．(2)利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．优化问题(3)解决优化问题的基本思路上述解决优化问题的过程是一个典型的________过程数学建模1．将8分为两个非负数之和，使其立方和最小，则这两个数为()A．2和6B．4和4C．3和5D．以上都不对B[设一个数为x，则另一个数为8－x，其立方和y＝x3＋(8－x)3＝512－192x＋24x2(0≤x≤8)，则y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.当0≤x4时，y′0；当4x≤8时，y′0.所以当x＝4时，y取得极小值，也是最小值．所以这两个数为4和4.]2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件C[定义域为(0，＋∞)，令y′＝－x2＋81＝－(x＋9)(x－9)＝0得x＝9或x＝－9(舍)，当x∈(0,9)时，f′(x)＞0；当x∈(9，＋∞)时，f′(x)＜0.∴x＝9为函数的极大值点也是最大值点，∴该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．]3．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72cm3，其底面两邻边长之比为1∶2，则它的长为________，宽为________，高为________时，可使表面积最小．6cm3cm4cm[设底面宽为x，则长为2x，高为722x2＝36x2(0＜x＜6)，∴S表面积＝4x2＋54x，令S′＝8x3－27x2＝0得x＝3，当x∈(0,3)时，S′＜0；当x∈(3,6)时，S′＞0，∴x＝3为函数的极小值点也是最小值点，∴长为6cm，宽为3cm，高为4cm时可使表面积最小．]合作探究提素养用料最省(成本最低)问题【例1】一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和为最小？[思路探究]列出燃料费与速度关系→确定参数k→每小时费用→确定1千米总费用→求导→利用导数确定最值→结论[解]设速度为每小时v千米的燃料费为每小时p元，由题意得p＝k·v3，其中k为比例常数，当v＝10，p＝6，解得k＝6103＝0.006.于是有p＝0.006v3.设当速度为每小时v千米时，行1千米所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用是(0.006v3＋96)元，而行1千米所需时间为1v小时，所以行1千米的总费用为q＝1v(0.006v3＋96)＝0.006v2＋96v，q′＝0.012v－96v2＝0.012v2(v3－8000)，令q′＝0，解得v＝20.因为当v20时，q′0；当v20时，q′＞0，所以当v＝20时取得最小值．即当速度为20千米/小时时，航行1千米所需费用总和最小．解决实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题，需要求相应函数的最小值，此时根据f′x＝0求出极值点注意根据实际意义舍去不合适的极值点后，判断函数在该点附近满足左减右增，则此时的极小值就是所求函数的最小值.1．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单元：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．[解](1)设隔热层厚度为xm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝k3x＋5.再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝403x＋5.而建造费用为C1(x)＝6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×403x＋5＋6x＝8003x＋5＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－24003x＋52，令f′(x)＝0，即24003x＋52＝6.解得x＝5或x＝－253(舍去)．当0＜x＜5时，f′(x)＜0，当5＜x＜10时，f′(x)＞0，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元.利润最大问题【例2】当前，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生课外学习的一种趋势．假设某网校的套题每日的销售量y(单位：千套)与销售价格x(单位：元/套)满足的函数关系式为y＝mx－2＋4(x－6)2，其中2x6，m为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套．(1)求m的值；(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(精确到0.1)[思路探究](1)根据售价为4元/套时可售出套题21千套，求出m的值；(2)假设网校员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元，也就是每套题的成本为2元，则每套题的利润为(x－2)元，已知销售价格，则利润＝(销售价格－成本)×销售量，利用导数求最值．[解](1)当x＝4时，y＝21，代入函数关系式y＝mx－2＋4(x－6)2，得m2＋16＝21，解得m＝10.(2)由(1)可知，套题每日的销售量为y＝10x－2＋4(x－6)2，所以每日销售套题所获得的利润为f(x)＝(x－2)·10x－2＋4x－62＝10＋4(x－6)2(x－2)＝4x3－56x2＋240x－278(2x6)，所以f′(x)＝12x2－112x＋240＝4(3x－10)(x－6)(2x6)．令f′(x)＝0，得x＝103或x＝6(舍去)．当x∈2，103时，f′(x)0，函数f(x)单调递增；当x∈103，6时，f′(x)0，函数f(x)单调递减．所以x＝103是函数f(x)在区间(2,6)上的极大值点，也是最大值点，所以当x＝103≈3.3时，函数f(x)取得最大值．故当销售价格约为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大．1经济生活中优化问题的解法：经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动.2关于利润问题常用的两个等量关系：①利润＝收入－成本.②利润＝每件产品的利润×销售件数.2．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3x6，a为常数．已知当销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．[解](1)因为当x＝5时，y＝11，所以a2＋10＝11，所以a＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y＝2x－3＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)＝(x－3)2x－3＋10x－62＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6.从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)·(x－6)．于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)↗极大值42↘由上表可得x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.几何中的最值问题[探究问题]利用导数解决生活中的优化问题一般有哪些步骤？[提示]【例3】某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为64π3立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为4千元．设该容器的总建造费用为y千元．(1)将y表示成r的函数，并求该函数的定义域；(2)确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用．[思路探究]建立数学模型，列出函数关系式，利用导数求最值．[解](1)因为容器的体积为64π3立方米，所以4πr33＋πr2l＝643π，解得l＝643r2－43r，所以圆柱的侧面积为2πrl＝2πr643r2－43r＝128π3r－8πr23，两端两个半球的表面积之和为4πr2，所以y＝128π3r－8πr23×3＋4πr2×4＝128πr＋8πr2.又l＝643r2－43r＞0⇒r＜243，所以定义域为(0,243)．(2)因为y′＝－128πr2＋16πr＝16πr3－8r2，所以令y′＞0得2＜r＜243；令y′＜0得0＜r＜2，所以当r＝2时，该容器的建造费用最小为96π千元，此时l＝83.1．(改变问法)本题问题改为试求该容器表面积的最小值．[解]因为容器的体积为64π3立方米，所以4πr33＋πr2l＝643π，解得l＝643r2－43r，所以圆柱的侧面积为2πrl＝2πr643r2－43r＝128π3r－8πr23，两端两个半球的表面积之和为4πr2，故该容器的表面积y＝128π3r－8πr23＋4πr2＝128π3r＋4πr23，则y′＝－128π3r2＋8πr3＝8πr3－163r2，令y′＝0，解得r＝316，易知当r＝316时，表面积取得最小值，ymin＝16π·34.2．(变换条件)本题中若由于场地的限制，该容器的半径要限制在0，32范围内，求容器建造费用的最小值．[解]因为y′＝－128πr2＋16πr＝16πr3－8r2，所以令y′＞0得2＜r＜243；令y′＜0得0＜r＜2，故当r∈0，32时，函数单调递减，故当r＝32时，ymin＝310π3.1平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值.2立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际相关的问题.(3)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程．当堂达标固双基1．思考辨析(1)生活中常见到的收益最高，用料最省等问题就是数学中的最大、最小值问题．()(2)解决应用问题的关键是建立数学模型．()(3)解决实际问题，其中就包括确定函数的定义域，在求定义域时，一定要根据题目的条件，考虑自变量的实际意义．()[提示](1)√(2)√(3)√2．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高应为()A．33cmB．1033cmC．1633cmD．2033cmD[设高为h，则底面半径r＝400－h2(0＜h＜20)，∴体积V＝13πr2h＝π3(400h－h3)，令V′＝π3(400－3h2)＝0得h＝2033，当h∈0，2033时，V′＞0；当x∈2033，20时，V′＜