2019-2020学年高中数学 第3章 导数及其应用 3.3.2 利用导数研究函数的极值(一)课件

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第三章导数及其应用3.3导数的应用3.3.2利用导数研究函数的极值(一)学习目标核心素养1.了解函数极值的概念,能从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.(重点)3.掌握函数在某一点取得极值的条件.(难点)1.通过极值的概念及极值与导数的关系的学习,培养学生的数学抽象素养.2.借助利用导数求函数极值的方法提升学生的逻辑推理、数学运算素养.自主预习探新知1.函数极值的概念满足条件:函数y=f(x)的定义域内一点x0,存在____________________.(1)极大值点与极大值条件:对于开区间内所有点x,都有____________________.结论:f(x)在点x0处取得______,____为函数f(x)的一个极大值点,记作:____________________.一个包含x0的开区间f(x)<f(x0)极大值x0y极大值=f(x0)(2)极小值点与极小值条件:对于开区间内所有点x,都有____________________.结论:f(x)在点x0处取得______,____为函数f(x)的一个极小值点,记作:____________________.f(x)>f(x0)极小值x0y极小值=f(x0)思考1:极值点是不是一个点?[提示]极值点不是点,是函数f′(x)的变号零点,是函数取得极值的点的横坐标,是一个实数.2.函数的单调性与极值(1)x0是(a,b)上的极大值点:①f′(x0)=__.②x∈(a,x0)时,f(x)是____的.③x∈(x0,b)时,f(x)是____的.(2)x0是(a,b)上的极小值点:①f′(x0)=__.②x∈(a,x0)时,f(x)是____的.③x∈(x0,b)时,f(x)是____的.0增加减少0减少增加3.求可导函数y=f(x)的极值的步骤(1)求导数__________.(2)求方程______________的所有实数根.(3)对每个实数根进行检验,判断在每个根的______,导函数f′(x)的符号如何变化.①如果f′(x)的符号________,则f(x0)是极大值.②如果f′(x)的符号________,则f(x0)是极小值.③如果在f′(x)=0的根x=x0的左右侧________,则f(x0)不是极值.f′(x)f′(x)=0左右侧由正变负由负变正符号不变思考2:导数值为0的点一定是函数的极值点吗?[提示]导数值为0的点不一定是函数的极值点,还要看在这一点附近导数的正负情况.1.设定义在(a,b)上的可导函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示,则f(x)的极值点的个数为()A.1B.2C.3D.4C[在极值点两侧导数一正一负,观察图象可知极值点有3个.]2.已知函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则()A.函数f(x)有1个极大值点,1个极小值点B.函数f(x)有2个极大值点,2个极小值点C.函数f(x)有3个极大值点,1个极小值点D.函数f(x)有1个极大值点,3个极小值点A[由f′(x)的图象可知f(x)在(-∞,x2)内递增,在(x2,x3)内递减,在(x3,+∞)递增,所以x2是f(x)的极大值点,x3是f(x)的极小值点.]3.函数y=3x3-9x+5的极大值为________.11[y′=9x2-9,令y′=0,得x=±1.当x变化时,y′,y的变化情况如下表:x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)y′+0-0+y↗极大值↘极小值↗从上表可以看出,当x=-1时,函数y有极大值3×(-1)3-9×(-1)+5=11.]合作探究提素养求函数的极值和极值点【例1】求下列函数的极值.(1)f(x)=3x+3lnx;(2)f(x)=x3-12x;(3)f(x)=2xx2+1-2.[思路探究]解答本题可先求使f′(x)=0成立的点,再结合定义域研究这些点附近左右两侧函数的单调性,进而判断极值.[解](1)函数f(x)=3x+3lnx的定义域为(0,+∞),f′(x)=-3x2+3x=3x-1x2,令f′(x)=0得x=1.当x变化时,f′(x),f(x)的变化状态如下表:x(0,1)1(1,+∞)f′(x)-0+f(x)↘3↗因此当x=1时,f(x)有极小值,并且极小值为f(1)=3.(2)函数f(x)的定义域为R;f′(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2).令f′(x)=0,得x1=-2或x2=2.当x变化时,f′(x),f(x)的变化状态如下表:x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)f′(x)+0-0+f(x)↗16↘-16↗∴由上表可知,当x=-2时,f(x)有极大值16,当x=2时,f(x)有极小值-16.(3)函数f(x)的定义域为R,f′(x)=x2+-4x2x2+2=-x-x+x2+2.令f′(x)=0,得x1=-1,x2=1.当x变化时,f′(x)、f(x)的变化状态如下表:x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)f′(x)-0+0-f(x)↘-3↗-1↘由上表可以看出,当x=-1时,函数有极小值f(-1)=-22-2=-3,当x=1时,函数有极大值f(1)=22-2=-1.求可导函数极值的步骤1确定函数的定义区间,求导数f′x.2求fx的拐点,即求方程f′x=0的根.3利用f′x与fx随x的变化情况表,根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值.提醒:不要忽略函数的定义域.1.求下列函数的极值:(1)f(x)=x3-3x2-9x+5;(2)f(x)=lnxx.[解](1)函数f(x)=x3-3x2-9x+5的定义域为R,且f′(x)=3x2-6x-9.解方程3x2-6x-9=0,得x1=-1,x2=3.当x变化时,f′(x)与f(x)的变化状态如下表:x(-∞,-1)-1(-1,3)3(3,+∞)f′(x)+0-0+f(x)↗10↘-22↗因此,x=-1是函数的极大值点,极大值为f(-1)=10;x=3是函数的极小值点,极小值为f(3)=-22.(2)函数f(x)=lnxx的定义域为(0,+∞),且f′(x)=1-lnxx2,令f′(x)=0,得x=e.当x变化时,f′(x)与f(x)的变化状态如下表:x(0,e)e(e,+∞)f′(x)+0-f(x)↗1e↘因此,x=e是函数的极大值点,极大值为f(e)=1e,没有极小值.已知函数极值求参数的值(范围)[探究问题]1.可导函数f(x)在点x0处取极值的充要条件是什么?[提示](1)可导函数的极值点是导数为零的点,但是导数为零的点不一定是极值点,即“函数y=f(x)在一点的导数值为零是函数y=f(x)在这点取极值的必要条件,而非充分条件.”(2)可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)=0,且在x0左侧和右侧f′(x)的符号不同.(3)如果在x0的两侧f′(x)的符号相同,则x0不是f(x)的极值点.2.函数在某个区间上有多个极值点,那么一定既有极大值也有极小值吗?[提示](1)函数f(x)在某区间内有极值,它的极值点的分布是有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.(2)当函数f(x)在某区间上连续且有有限个极值点时,函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的.【例2】已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1时有极值0,求常数a,b的值.[思路探究]由函数f(x)在x=-1处有极值,可得f′(-1)=0且f(-1)=0,由此列出方程求a,b的值,但还要注意检验求出的a,b的值是否满足函数取得极值的条件.[解]因为f(x)在x=-1时有极值0,且f′(x)=3x2+6ax+b,所以f′-1=0,f-1=0,即3-6a+b=0,-1+3a-b+a2=0,解得a=1,b=3或a=2,b=9.当a=1,b=3时,f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,所以f(x)在R上是增函数,无极值,故舍去.当a=2,b=9时,f′(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3).因为当x∈(-3,-1)时,f(x)是减少的;当x∈(-1,+∞)时,f(x)是增加的,所以f(x)在x=-1时取得极小值,因此a=2,b=9.1.(变换条件,改变问法)本例的其他条件不变,如果直线y=k与函数图象有三个交点,求k的取值范围.[解]由典例的解析可知f(x)=x3+6x2+9x+4,f′(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3),令f′(x)=0,得x1=-3,x2=-1.根据x1,x2列表,分析f′(x)的符号,f(x)的单调性和极值点.x(-∞,-3)-3(-3,-1)-1(-1,+∞)f′(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗所以f(x)的极大值是f(-3)=4,极小值是f(-1)=0.函数图象大致如图所示:要使直线y=k与函数图象有三个交点,则0<k<4.2.(变换条件)本例的条件改为“x=-3,x=-1是f(x)=x3+3ax2+bx+a2的两个极值点”,求常数a,b的值.[解]因为f′(x)=3x2+6ax+b,由极值点的必要条件可知3×-32+6a×-3+b=0,3×-12+6a×-1+b=0,即-18a+b+27=0,-6a+b+3=0,解得a=2,b=9,所以a=2,b=9.由函数的极值点求参数的步骤1列式:根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组,利用待定系数法求解.2验证:因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件,所以利用待定系数法求解后,必须验证根的合理性.函数极值的综合应用【例3】设a为实数,函数f(x)=-x3+3x+a.(1)求f(x)的极值;(2)是否存在实数a,使得方程f(x)=0恰好有两个实数根?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.[思路探究](1)由求极值的步骤可得;(2)法一:使极大值或极小值为0,可使f(x)恰有两个实根;法二:将方程的根转化为两函数的图象问题,利用函数单调性及极值画出函数大致图象,判断即可.[解](1)f′(x)=-3x2+3,令f′(x)=0,得x=-1或x=1.∵当x∈(-∞,-1)时,f′(x)0,当x∈(-1,1)时,f′(x)0,当x∈(1,+∞)时f′(x)0,∴f(x)的极小值为f(-1)=a-2,极大值为f(1)=a+2.(2)法一:∵f(x)在(-∞,-1)上单调递减,且当x→-∞时,f(x)→+∞,f(x)在(1,+∞)上单调递减,且当x→+∞时,f(x)→-∞,而a+2a-2,即函数的极大值大于极小值,∴当极大值等于0时,极小值小于0,此时曲线f(x)与x轴恰好有两个交点,即方程f(x)=0恰好有两个实数根,如图①所示.∴a+2=0,a=-2.①②当极小值等于0时,极大值大于0,此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点,即方程f(x)=0恰好有两个实数根,如图②所示.∴a-2=0,a=2.综上所述,当a=2或a=-2时,方程f(x)=0恰好有两个实数根.法二:方程f(x)=0恰好有两个实数根,等价于直线y=a与函数y=x3-3x的图象有两个交点.∵y=x3-3x,∴y′=3x2-3.令y′0,解得x1或x-1;令y′0,解得-1x1.∴y=x3-3x在(-1,1)上为减函数,在(1,+∞)和(-∞,-1)上为增函数.∴当x=-1时,y极大值=2;当x=1时,y极小值=-2.∴y=x3-3x的大致图象如图③.y=a表示平行于x轴的一条直线.由图象知,当a=2或a=-2时,y=a与y=x3-3x有两个相异交点.故当a=2或a=-2时,方程f(x)=0恰好有两个实数根.对于求方程fx=a的根的个数问题,我们可转化为求函数y=fx与函数y=a的图象的交点个数问题.在解决问题时,可遵循以下步骤:第一步:利用导数判断函数y=fx的单调性、极值等情况,综合各种信息画出函数y=fx的大

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